高中数学人教A版（2019）必修 第二册 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 教案

教 案
教学基本信息
课题 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示
学科 数学 学段： 高中 年级 高一
教材 书名：普通高中教科书数学必修第二册A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
教学目标及教学重点、难点
本节课主要探究平面向量加、减运算的坐标表示，在教学中始终抓住向量具有几何与代数双重属性，引导学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉向量的坐标表示及运算法则、运算律；熟悉向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，加强方程思想和数学应用意识。
教学过程(表格描述)
教学环节 主要教学活动 设置意图
引入 在前面的学习中，我们学面向量的加、减运算，从图形的角度明确了向量线性运算的几何意义；随后，我们又借助平面直角坐标系，通过正交分解的方法将向量用唯一的有序实数对表示出来；引入坐标后可使向量中形的运算转化成数的运算，将数与形紧密地结合起来.本节课我们将一起继续学习平面向量加、减运算的坐标表示. 回顾所学，让学生自由思考，引导学生进一步观察.研探.
新课 问题1已知向量向量你能得出的坐标吗？向量的坐标是怎么得到的？ 在平面直角坐标系中，设与轴，轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为一组正交分解的基底，则向量可以分解为. 同理，向量的坐标为，即向量可由与轴、轴方向相同的两个单位向量向量和向量表示为 那么，将向量和向量作和，得到， 首先去括号，观察式子结构，根据平面向量加法的交换律，我们可以将 又因为向量的数乘运算满足分配律： 进一步化简得， 从而得到向量的坐标表示，即向量. 因此我们得到，两个向量的和的坐标表示，就是将两个向量的横坐标相加作为和向量的横坐标，纵坐标相加作为和向量的纵坐标. 同理，我们也可利用上述方法，得到向量和向量的差为. 就此，我们得到了平面向量加、减运算的坐标表示. 因此，两个向量和或差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和或差. 方法提炼：因为向量是可以进行运算的，在前面的学习中我们已经掌握了向量间符号运算、几何运算的方法，那么这两者与向量的坐标运算有着紧密的联系，我们利用正交分解的意义将向量的坐标表示回归到几何本质，再通过向量的几何运算，得到在正交分解情景下和向量与差向量的表达式，从而得到加、减运算坐标的表达形式. 例 已知向量求的坐标. 根据平面向量加法的坐标表示，我们可以得到：横坐标相加作为和向量的横坐标，纵坐标相加作为和向量的纵坐标. 同理，根据平面向量减法的坐标表示，横坐标相减得到差向量的横坐标，纵坐标相减得到差向量的纵坐标. 得到两向量的差为 练习 已知向量若求的坐标. 此题中的坐标已知，与的和向量的坐标已知， 所以我们不妨先设要求的未知向量的坐标为. 向量根据平面向量加法的坐标表示， 得到即， 得到方程组；进一步得到，即 方法提炼：任意向量坐标，与表示此向量的有向线段的起点坐标，终点坐标，三者“知二求一”，在求解过程中往往用到设未知量的方法，应用方程思想求解. 问题2 如图所示，已知点点你能得出向量的坐标吗？ 根据上述，我们先在平面直角坐标系中画出示意图，其中点为向量的起点，点为向量的终点. 要想求一个向量的坐标，我们可以把这个向量平移到以原点为起点的位置，用平移后的终点坐标来表示向量的坐标，那么这里有没有更简单的方法呢？ 根据平面向量坐标表示的定义可以知道， 点的坐标就是向量的坐标，点的坐标就是向量的坐标，由此，我们作出向量，将点的坐标与向量的坐标统一起来，进而，再根据平面向量减法的定义，用向量表示与向量的差你表示向量，即 .根据平面向量减法的坐标表示； 进一步表示为. 因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 方法提炼：向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与向量所在的位置无关；当一个向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变；在求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去起点坐标即可得到该向量的坐标，简记为“任意向量坐标=终点坐标-起点坐标”. 巩固练习，已知两点坐标，分别求的坐标. ① 由上述探究结论，我们知道，向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 向量是由指向的有向线段，点为起点，点为终点， 因此向量的坐标就应该用点坐标减去点坐标， 即向量； 向量是由指向的有向线段， 因此向量的坐标就应该用点坐标减去点坐标， 即. ② 同理可得：. 在前面的学习中，我们学习了相反向量的概念，即长度相等，方向相反的向量；任意向量与其相反向量的和是零向量. 观察上题中的结果，不难发现，如果我们已经求出了向量 的坐标表示，也可以通过相反向量的关系得到向量 的坐标表示. 温故知新，通过对向量坐标定义的复习，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力. 通过思考，得到向量加法、减法的坐标表示，提高学生分析问题、推理能力. 通过例题讲解，让学生明白怎样求向量加法、减法的坐标运算，提高学生解决问题的能力。 练习提高，深化概念. 通过探究，总结如何由向量起点、终点坐标求向量的坐标，提高学生解决问题的能力，培养学生数形结合的思想. 通过巩固练习，进一步理解向量加法、减法的坐标运算，提高学生解决问题的能力.
例题 例 若点，则与有什么位置关系？证明你的猜想. 我们在平面直角坐标系中画出四个点的位置，猜想与是平行的.数学中的结论需要有严格的数据作为支撑. 要想判断和的位置关系，问题可以转化为研究向量和向量的位置关系;我们来具体通过向量的坐标计算，证明猜想 由点，点坐标可得向量； 同理，由点，点坐标可得向量. 所以，.根据向量相等的定义，向量和向量的方向是相同的，即向量和向量是平行向量；这两个向量是平行的，那么与之对应的直线呢？向量的平行和直线的平行有什么不同之处？ 其本质区别就是平行向量可以是重合的，而平行的直线不能重合！ 因此，我们还要借助图形，辨析两线段最准确的位置关系； 通过画图，我们得到两条直线并不重合，所以. 例 如图所示，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为求顶点的坐标. 首先我们思考一个问题，题目中的已知向量有哪些，能否用它们来表示点的坐标 点的坐标又可以等价于什么呢 根据向量坐标表示的定义可以知道，点D的坐标就是向量OD的坐标. 因此这道题可以由点坐标的求解转化成向量坐标的求解问题；观察图形，相信同学们不难发现： 题目中已知三点坐标即向量坐标，能否通过向量的运算求得向量的坐标呢？其实，我们只需把向量OD分别放在以A，B，C三点为顶点的三角形中即可利用三角形法则求解 例如： ①路径1：可以将向量表示成向量和向量的和，即，方程中的和都是未知量，但因为向量和向量是相等向量， 因此：.带入向量坐标，求得向量OD坐标为（2,2）. 所以顶点的坐标为. ②路径2：我们可以将向量表示成向量和向量的和， 即 根据求得向量BD坐标为（2,2） 因此：.因此，将上面求得的坐标带入求得 所以顶点的坐标为. ③路径3：我们还可以将向量表示成向量和向量的和，即，方程中的和都是未知量，但因为向量和向量是相等向量， 所以顶点的坐标为. 以上三条路径，都是在找寻题目中两个已知的向量使其和向量为向量OD，进一步应用向量加法的三角形法则进行求解，具体来说就是把向量OD放到三角形OAD，三角形OBD，三角形OCD中，虽然在选择上有所不同，但本质都是在利用向量加法的三角形法则进行求解. 通过三条路径的计算，我们也不难发现，这其中蕴含着策略的选择，如果我们选择了三角形OAD、三角形OCD这两条路径，则可以直接利用相等向量求解出向量OD， 但如果我们选择利用三角形OBD，则需要先求出向量BD，才能求出向量OD的坐标表示. 因此同学们在动笔做题之前，一定要先分析好题目中各个向量之间的关系，寻求最佳的路径！ 在实际学习中，我们了解到平行四边形的性质还有很多，利用不同的性质还可以得到本题的不同解答，构造出以向量OD为一条边的不同三角形. 如利用平行四边形对角线互相平分的性质，就可以得到路径4 ④路径4：连接对角线，设相交于点，则点既是的中点，又是的中点.由点是的中点，得向量. 同理，由点是的中点，得向量， 所以，即. 于是， 将向量坐标带入，得， 所以顶点的坐标为. 上述问题四种路径的求解过程中，都是利用图形中已有的向量关系，通过向量的加减运算求出目标向量. 除了上述方法，同学们还有其他思路，求解未知点或者未知向量的坐标吗？ 我们还可以，利用前面练习中，在求解向量坐标问题中使用过的设未知量求解的方法除了上述方法，同学们还有其他思路求解未知点或者未知向量的坐标吗？ 我们还可以，利用前面在求解向量坐标问题中使用过的设未知量求解的方法. 先来分析一下设未知量求解目标对象的过程，我们不妨先设点 ， 坐标中有两个未知量和需要求解，求解的过程需要建立方程组； 如何建立方程，需要我们仔细观察几何图形中的关系； 在之前的学习中，我们已经研究过平面几何中的特殊位置关系和数量关系 因为题目中明确指出了该四边形为平行四边形，所以我们应用平行四边形中的不同性质，应该能构造不同的方程组求解点坐标. 根据平行四边形对边平行且相等的性质，我们得到线段和线段平行且相等，即向量，根据两个向量相等，则它们的坐标相等，向量坐标已知，向量坐标未知，联系方程思想，构建两向量坐标间的关系，从而求解问题. 解法2：因为向量，向量 ， 又因为， 所以，解得.所以顶点的坐标为. 方法小结，解法2在求解过程中主要的方法是寻找与D有关的相等向量，例如：向量AB和向量DC，再比如：向量AD和向量BC等等. 至此，我们探究了求解此题的两种方法.解法1：利用向量加法的三角形法则求解，解法2：设未知量求解.我们来比较一下两种解法在思想方法上的异同点. 解法1利用平面向量加法的平三角形法则，通过求解向量的坐标，进而得到点的坐标，解题过程中应用了数形结合的思想方法. 解法2找寻题目中的等量关系，直接设未知量求解，解题过程中应用了方程思想. 但两种方法的解题核心是不变的，都是通过找寻一组相等的向量，其中一个向量已知，另一个未知，利用坐标的相等，建立方程组求解. 通过例题的讲解，引导学生用代数方法刻画几何对象，进而用代数方法论证几何关系.体会向量的工具性. 通过对图形的分析，找寻向量间的关系，引导学生在研究平面向量问题的过程中，充分挖掘题目中已有图形的特征.培养学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识. 比较三条路径在计算中的不同之处，引导学生思考对于解题策略的选择. 继续挖掘题目中几何图形的特征，构造辅助线，培养学生数形结合的思想. 复习回顾设未知量求解向量的过程，让学生体会数学建模和方程思想在用向量法研究几何问题中的应用. 方法类比，引导学生思考了，挖掘题目中已知图形的特征，利用图形中元素的基本关系列出向量等式，结合向量的坐标运算，使计算与图形融为一体.
总结 今天我们学面向量加、减运算的坐标表示，得到了以下结论： 1.若则； . 2.若则. 3.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择适当的运算路径，求得运算结果等。在这一节的学习中，我们需要明确运算对象为向量，掌握其运算法则，明确向量坐标运算的步骤和顺序，将向量坐标形式的运算与学习过的向量符号形式、几何图形形式的运算联系起来. 4.在向量坐标运算问题的求解中，常常需要利用已有的平行和相等关系，通过设未知量的方法，建立方程组求解；因此向量法是以基本的几何图形及其相互关系为出发点解决问题，由此可以把众多的平面几何知识串联起来，形成有机联系的整体.平面向量坐标运算的引入，为用向量研究几何图形的性质与度量带来了便捷. 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力，培养学生的数形结合思想和方程思想.
作业 已知作用在坐标原点的三个力分别为求作用在原点的合力的坐标. 帮助学生巩固所学内容，对本节课知识进行检测与反馈.