高中数学人教A版（2019）必修 第二册 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 教案

教 案
教学基本信息
课题 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
学科 数学 学段： 高中 年级 高一
教材 书名：普通高中教科书数学必修第二册A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
教学目标及教学重点、难点
本节课主要研究平面向量数乘运算的坐标表示；探究如何用坐标表示两个向量共线的充要条件。教学中关注向量具有几何与代数双重属性，通过应用向量共线的坐标表示判断三点共线问题，解决定比分点确定分点的坐标公式的问题，体会向量坐标运算所带来的优越性，提高转化思想、方程思想、数形结合和分类讨论的意识，共设计4道例题。
教学过程(表格描述)
教学环节 主要教学活动 设置意图
引入 在前面的学习中，我们理解了平面向量基本定理及其意义；借助平面直角坐标系，掌握了平面向量的正交分解及坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减运算.首先我们一起来回顾平面向量加、减运算的坐标表示. 已知向量，则 用文字语言表述为：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 请大家思考，我们当时探究的过程中是通过怎样的路径解决的呢？ 我们首先已知向量的坐标，利用向量的正交分解，取与轴，轴方向相同的两个单位向量，向量和向量作为一组基底，则向量可以分解为，向量可以分解为，接着利用向量的加、减运算，得到新向量，这里所得向量也是用向量和向量线性表示的.最后，我们再根据正交分解，利用向量的坐标定义，得到新向量对应的坐标表示，从而形成由已知向量坐标到向量线性运算后所得向量的坐标的研究路径. 回顾所学，提炼解决问题的一般路径，引导学生进一步探索研究.
新课 我们知道，平面向量的线性运算包括加、减运算和数乘运算，那么平面向量的数乘运算该如何用坐标来表示呢？我们可否延续这样的研究路径，去探究平面向量数乘运算的坐标表示呢？ 下面，我们来思考这样的一个问题： 问题1 已知向量，你能得出()的坐标吗 我们延续研究平面向量加、减运算的坐标表示的路径，已知向量的坐标为，利用向量的正交分解，取与轴，轴方向相同的两个单位向量，向量和向量作为一组基底，则向量可以分解为，现在我们的目的求解的坐标，因此，根据向量数乘运算满足分配律，可将表示为再根据向量数乘运算满足结合律，得到，原式等于 此时，我们就得到了用基底向量和向量线性表示的形式，因此，我们再根据正交分解，利用向量的坐标定义，得到： 这就是平面向量数乘运算的坐标表示. 用文字语言表述为：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 至此，我们得到了平面向量的加、减、数乘这三个线性运算的坐标表示. 我们来提炼一下整个探究过程中的方法，我们从已知向量出发，利用向量的正交分解，取一组基底向量和向量，将向量分解为用向量和向量的表达式，通过向量已有的加、减、数乘运算，得到和向量、差向量、以及数乘运算后所得向量的表达式，在正交分解情景下，从而得到加、减、数乘运算的坐标表示.实现了从已知向量坐标到向量线性运算后所得向量坐标的研究路径. 下面我们通过一个例题，具体体会平面向量数乘运算的坐标表示. 已知，求的坐标. 根据平面向量数乘运算的坐标表示，我们得到： 根据平面向量加法运算的坐标表示，原式 即利用平面向量数乘运算的坐标表示，我们求出了这两个向量的线性组合的坐标. 在学习平面向量的数乘运算时，我们利用向量的数乘运算刻画了两个向量共线的充要条件，接下来，一个自然的想法是，向量的共线是否也能通过坐标来表示呢？ 下面我们一起探究问题2：如何用坐标表示两个向量共线的条件？ 首先，请大家回忆什么是向量共线？ 我们称：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.并且我们规定：零向量与任意向量平行（或共线）. 接着，回忆两个向量共线的充要条件是什么？ 前面我们已经证明过两个向量共线的充要条件，即对于向量，其中，共线的充要条件是存在唯一的实数，使现在，我们的目标是用坐标表示两个向量共线的充要条件，因此我们需要先将向量的坐标表示出来，这样，我们的核心问题就转化到了将向量用坐标表示了. 因此，我们首先设设，其中请大家思考这里，那对应的坐标有何要求呢？不难发现，向量，即对应的横纵坐标至少有一个不为零. 因为向量共线，根据向量共线的充要条件，所以存在唯一的实数，使得根据平面向量数乘运算的坐标表示，等于根据相等向量的定义，得到如下方程组： 我们现在的目标是用向量坐标来表示这一条件，因此我们要对方程 组进行消元，消去，那么如何进行消元呢？ 有的同学可能会说，将方程组的两个方程相除，消去，得到：，这里我们要注意，该条件中要求且，而这与至少有一个不为零这一条件显然是不等价的，忽略了且这一情况，因此这种消元的方式不严谨. 同理，消元得到的这一条件中，显然忽略了且这一情况，同样是不可取的. 或许，还有同学选择将方程组中分别除到等式左侧，得到，从而得到这一条件，而这一条件中要求且，同样的，这与至少有一个不为零这一条件显然是不等价的，忽略了或这两种情况，所以这种消元的方式也不严谨. 那么我们怎么消元，才能避开出现不严谨的情况呢？我们不妨采取交叉相乘的方式，得到，从而得到 这里同样的，我们检验一下，当或当时，该条件是否依旧成立？ 当时，由方程得，，此时，条件成立. 当时，由方程得，，此时，条件仍然成立.由此，我们判断这个条件是严谨的！ 因此，通过以上分析和探究，我们最终得到：已知向量，其中则向量共线的充要条件是. 我们来提炼一下整个探究过程中的方法，上述过程我们探究了向量共线的充要条件的坐标表示，过程中，我们将我们已有的向量形式的充要条件坐标化，利用坐标运算，得到坐标形式下的充要条件，本质上是将几何的问题代数化的一个过程，这也为我们后续解决向量共线问题提供了两条路径. 下面，我们利用这一充要条件来解决一个向量共线的问题： 已知，且//，求. 因为平行向量又称共线向量，所以根据两个向量共线的充要条件的坐标表示，得到解得 以上是向量共线的充要条件的坐标表示的直接应用. 温故知新，通过对平面向量加、减运算的坐标表示的研究路径的复习，引入本节新课，探究平面向量数乘运算的坐标表示。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力. 应用本节课所学，进一步探索、解决平面向量共线的充要条件的坐标表示，提高学生对坐标运算的应用意识，体会坐标运算的简洁性. 过程中关注代数运算的严谨性. 直接应用，深化概念.
例题 已知，判断三点之间的位置关系. 请大家利用本节课所学内容解决这一问题. 我们要判断三点之间的位置关系，需要从“形”的角度入手，在平面直角坐标系中作出三点，如图，观察图形，我们猜想三点共线，想要证明三点共线，我们可将问题转化为证明含有公共点的任意两个向量共线的问题，比如：向量，共线的问题.利用今天学习的两个向量共线的充要条件的坐标表示，或者两个向量共线的概念均可证明这一问题.下面我们从这两个角度分别求解，先考虑坐标表示： 方法1，根据向量的坐标与点坐标之间的联系， 得到向量 因为所以根据向量共线的充要条件的坐标表示，得到//因为直线，直线有公共点，所以三点共线.这里我们要关注两点，第一点，由得到的//，我们的依据是坐标形式下的向量共线的充要条件.另外，在证明三点共线的问题时，要注意转化成为具有公共点的向量共线的问题. 下面我们再通过向量共线的充要条件的另外一种形式，证明向量，共线. 在刚刚得到向量，坐标的基础上，由得到即：存在一个实数，使得又因为直线，直线有公共点，同样的，我们证明了三点共线.这里我们关注到，在解法2中，通过向量的坐标运算，得到了 利用向量共线充要条件的数乘运算形式，最终证明了三点共线. 我们来提炼一下上述过程中的两种处理策略，我们首先将证明三点共线的问题转化为证明具有公共点的两个向量，向量，共线的问题，方法1应用了本节课所学习的坐标形式下的向量共线的充要条件，证明了向量，共线.方法2，则侧重了向量共线的概念，从向量间满足的数乘运算关系，证明了向量，共线.这两种方法也成为我们后续解决向量共线问题的两种基本策略. 下面看这样一个问题： 设是线段上的一点，点的坐标分别是 （1）当是线段的中点时，求点的坐标； （2）当是线段的一个三等分点时，求点的坐标. 这里我们要求点的坐标，可以根据向量的坐标与点坐标之间的联系，将其转化为以原点为起点，为终点的向量的坐标.同理，点的坐标可转化为向量的坐标.如图，根据平面向量基本定理，我们可以选取已知向量为一组基底，将向量用向量线性表示，再代入坐标，实现向量的坐标化表示. 下面我们具体求解： （1）当是线段的中点时， 因为的坐标分别是， 所以向量 如图，我们的目标是用已知向量为一组基底，将向量用向量线性表示，显然向量是以为邻边的平行四边形的对角线的一半，利用平行四边形法则，由向量的线性运算可知：向量 ，代入坐标，等于，等于，所以点的坐标是 相信同学们还会有不同的解法，我们再通过另外一种角度来思考这个问题，当是线段的中点，根据上面例题的求解过程带给我们的启示，如图，这里我们可以看到点三点共线，且向量，我们现在的目标是求点的坐标，因此，需要将这个向量的表达式坐标化，这里我已知点的坐标，想要表示向量的坐标，还需设出点的坐标，通过坐标运算，利用方程的思想，寻找之间满足的关系.下面我们沿着这条思路具体求解. 设点的坐标，则向量， 因为，且， 代入坐标，所以 根据相等向量的定义，所以得到方程组 解得 所以，点的坐标是 下面我们一起小结一下这两个方法，方法一是将所求点的坐标转化为向量的坐标，结合几何图形，利用已知向量为一组基底，通过线性运算求解得到的，突出了“以形助数”的特点；方法二则从代数方法的角度入手，设出所求点的坐标，将线段的分点用向量表达式，即：向量来刻画，再把向量表达式坐标化，利用方程的思想，把问题转化为求解一个二元一次方程组的问题，体现了“以数辅形”的特点.最终，得到了线段中点的坐标. 下面我们提炼出这一结论： 若点的坐标分别为，线段的中点的坐标为，则 此公式为线段的中点坐标公式. 接下来我们再看第二小问，当是线段的一个三等分点时，求点的坐标. 根据第一问的已知经验，我们同样可以从几何和代数两个角度分别求解.这里我们只介绍方法一，我们从几何图形的角度考虑，如图，当是线段的一个三等分点时，有两种情况，因此我们需要分类讨论 （i）如图，我们现在的目标是用已知向量为一组基底，将向量用向量，显然这里不可能直接得到这样的线性关系，因此，我们先将向量放在△，利用三角形法则，得到向量，接着我们的目标转化为将向量用基底向量表示，那如何构建向量与向量的联系呢？ 这里，我们观察图形，可以得到向量或向量，这里我们的目标是用基底向量表示，因此，我们选择将向量代换为，得到接着，我们就可以在△中，将向量分解为向量，得到原式等于继续整理，得到代入坐标，原式 即 点的坐标是 （ii）同理，第二类情况，如图，我们现在的目标仍然是用已知向量为一组基底，将向量用向量线性表示，显然这里同样不能直接得到这样的线性关系，因此，我们先将向量放在△，利用三角形法则，得到向量，同样的，我们需要将向量用基底向量表示，构建向量与向量的关系.根据第一类讨论的经验，这里我们将向量代换为，得到，接着，在△中，将向量分解为向量，得到原式等于继续整理，得到代入坐标，原式 那么，点的坐标是 以上我们利用向量的线性运算及其坐标表示这一工具，充分讨论，得出了线段的中点和三等分点的坐标公式.这里，我们不妨对比一下这两个公式，从结构上看，我们看到中点的坐标公式中，横纵坐标分母都是2，而三等分点的坐标公式中，横纵坐标分母都是3，大家思考这是为什么呢？不难发现，中点，三等分点，实质上都是几何图形线段上的一个特殊的分点位置，中点将线段等分为两份，三等分点则将线段等分为三份，因此在公式的代数表达上也有着类似的体现，所以说几何特征与代数表达之间有着紧密的联系.通过以上的探究，我们也体会到了利用向量的坐标运算在解决问题中所带来的优越性. 那前面我们探究的是线段的中点和三等分点的坐标表示，能否将上述特殊位置推广至一般情况呢？ 我们来探究如下问题： 显然，该问题是前面两问的推广，前面我们向量和分别满足的是向量、或的关系，而这里只是将向量间的数乘关系用一个实数来表示，将问题一般化.因此，我们可以延续前面的思路求解.我们可以考虑第一种解法，利用平面向量基本定理，用基底向量表示向量，求得向量的坐标，从而求得点的坐标.也可以采取第二种策略，应用方程的思想，通过设点的坐标，将已知的向量式用坐标表示.前面第2小问，我们应用的是方法一，这里我们再用方法二进行探究. 首先，设点的坐标为，则向量 因为向量，坐标化， 则有 根据平面向量数乘运算的坐标表示，原式等于 根据相等向量的定义，得到方程组： 解得 所以，点的坐标是. 我们称上述探究的问题为定比分点问题，这里的点坐标称为定比分点坐标公式， 其中，当时，点的坐标是显然，中点坐标公式是定比分点坐标公式的一种特例.至此，我们通过由特殊到一般的数学方法，延续前面探究问题的一般思路，拓展延伸，求出了一般情况下的定比分点坐标公式. 下面，我们来梳理，提炼一下整个过程的方法.本题将所求的点坐标转化为一个向量的坐标，利用几何关系，找到向量的线性运算表达式，再将向量表达式坐标化，得到所求向量的坐标，最终求出所求点的坐标.形成了从代数问题，转化为几何图形问题，再回到代数问题的一个回路. 通过例题的讲解，引导学生用代数方法刻画几何对象的特征，进而用代数方法证明几何关系.体会向量的工具性. 通过对图形的分析，找寻向量间的关系，引导学生在研究平面向量问题的过程中，充分挖掘题目中已有图形的特征.培养学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识. 通过两种方法的对比，在学生体会不同解决策略的本质的同时，对比几何和代数两种方法，感受到向量坐标运算的优势，引入坐标运算解决几何问题的必要性. 延续第一问的探索思路，继续挖掘线段三等分点中的几何图形特征，选取已知向量作为基底，应用平面向量基本定理求解.培养学生分类讨论的意识、转化的思想和数形结合思想. 对比第二问的方法，第三问采取代数法，应用本节课学习的坐标运算，应用方程思想进行求解，感受代数运算在解决几何问题中的优越性. 通过设未知量求解向量的过程，让学生体会数学建模和方程思想在用向量法研究几何问题中的应用.
总结 同学们，今天我们在学面向量加、减运算的坐标表示的基础上，学面向量数乘运算的坐标表示，得到以下结论： 已知向量的坐标为，则并利用数乘运算的坐标表示，得到了向量共线的充要条件的坐标表示，即： 若向量，其中，则向量共线的充要条件是. 并在已有的坐标运算的基础下，进而探索求解得到了定比分点的坐标公式，特别地，当时，得到了中点坐标公式，在求解过程中，我们充分体会了利用向量研究几何性质与代数表达的优越性. 通过对平面向量加、减运算、数乘运算的坐标表示的学习和研究，相信同学们对于向量数量积运算是否也能用坐标表示？有了一定的想法，大家也不妨尝试着去主动探究. 通过本节课例题的分析与讲解，显然面对几何问题时，对比选取基底，构造向量间的线性运算关系的方法，引入向量的坐标运算后，我们可以应用向量的坐标运算，将几何问题转化成为代数运算，从而形成代数关系，再利用代数关系“翻译”为几何特征，即：利用向量的坐标运算实现了几何问题的代数表达，这也为后面学习解析几何、立体几何，研究“形”的问题，提供了基础与便利.这里在处理代数关系时，要注意明确我们的运算对象，准确地掌握运算法则. 通过小结与展望，让学生进一步巩固本节所学内容，提炼本节课的解决问题的基本策略，提高学生的概括能力.再一次体会平面向量坐标运算的引入，为利用向量法研究几何图形的性质与度量带来了便捷.
作业 1.若点，则与是否共线？ 2.已知点，向量，点是线段的三等分点，求点的坐标. 帮助学生巩固所学内容，通过基本应用对本节课知识进行检测与反馈.