高中数学人教A版（2019）必修 第二册 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 教案

教 案
教学基本信息
课题 6.3.5平面向量数量积的坐标表示
学科 数学 学段： 高中 年级 一年级
教材 书名：普通高中教科书数学必修第二册A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
教学设计参与人员
姓名 单位 联系方式
设计者 许文军 北京市第五中学 13611280854
实施者 许文军 北京市第五中学 13611280854
指导者 雷晓莉 东城区教师研修中心 13651227381
课件制作者 许文军 北京市第五中学 13611280854
其他参与者 无
教学目标及教学重点、难点
本节课研究平面向量数量积的坐标表示及数量积坐标表示的应用.利用向量坐标表示的概念、数量积的运算律及定义推导出数量积的坐标表示，应用体现在向量模及夹角的坐标表示．在这个过程中，感受将向量数量积的运算转化为向量坐标的运算过程，从数与形两方面对向量的夹角进行认识，感受向量数量积数与形的双重属性，提升直观想象、数学抽象和数学运算等素养．
教学过程(表格描述)
教学环节 主要教学活动 设置意图
引入 这节课我们一起来学习面向量数量积的坐标表示．前面我们利用向量坐标表示的概念，探究了平面向量的加法、减法以及数乘的坐标表示，今天我们继续利用向量坐标表示的概念，探究数量积的坐标表示． 开门见山，点明本节课的主题.
新课 环节1 推导数量积的坐标表示 已知的横、纵坐标分别是，向量的横、纵坐标分别是，怎样用的坐标表示的数量积呢？ 由平面向量的坐标表示的概念可知：这里分别是与轴同向的单位向量. 所以 又 所以 这就是说,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 解决这个问题的关键，一是用向量坐标表示的概念去表示向量；二是运用数量积的运算律；三是利用数量积的定义. 可将向量的数量积运算归结为向量坐标的运算，从而实现向量运算的完全数量化. 注意符号语言与文字语言的等价性.
环节2 数量积的坐标表示的应用1：向量模的坐标表示 探究完数量积的坐标表示，自然而然地想到数量积的坐标表示的应用，那么从哪些角度去探究其应用呢？ 我们知道：向量既有大小又有方向，那么我们就可以从大小（模）和方向两条路径来探究坐标表示的应用. 若则 或 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为那么 （平面内两点间距离公式） 采用特殊化的思想：令，即推出 进而得到模的坐标表示，从而推导出平面内两点之间的距离公式.
环节3 数量积的坐标表示的应用2：两向量夹角余弦值的坐标表示 一般情形 设都是非零向量, 是与的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示可得 特殊情形 设则 用坐标表示两个向量的夹角余弦值. 用坐标表示两个向量垂直的充要条件. 研究夹角问题，遵循从一搬到特殊的原则，特殊情形包含在一般情形之中．
环节4 两向量夹角余弦值的坐标表示及余弦函数的有界性产生柯西不等式 与结合产生柯西不等式： 体会向量在几何基本元素与代数运算之间的桥梁与纽带作用．
例题 例题：若 （1）判断的形状 证明你的猜想； （2）求 （3）过点作于点，求点的坐标. ． 例题第一问是已知三点的坐标，判断以这三点为顶点的三角形的形状；第二问求的余弦值分三步，第一步求;第二步求第三步利用数量积除以模的乘积所得的商就是的余弦值； 第三问的解决有一定的难度，从数上看去建立方程组，从形上看利用数量积的几何意义.
问题6：你能用向量的方法证明两角差的余弦公式： 吗？ 利用向量的坐标推导两角差的余弦公式.并在其中感受“利用几何图形建立直观，通过代数运算刻画规律” 是这一章的核心所在. 总之，有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标.
总结 本节课讲了两方面的内容探究，其一探究了平面向量数量积的坐标表示； 其二探究了平面向量数量积的坐标表示的应用：首先探究了向量模的坐标表示， 推导出平面内两点之间的距离公式； 其次探究了两个向量夹角余弦值的坐标表示，得到两个向量垂直的充要条件. 体会向量是联系“代数方法”与“几何基本元素”的桥梁与纽带. 对知识和方法进行总结提升．
作业 1. 分别在平面直角坐标系中作出下列各组点,猜想以为顶点的三角形的形状,然后给出证明. (1) (2) 2. 求证:以为顶点的四边形是一个矩形. 这两道作业题是选自教材的练习题，分别是对课上例题的巩固练习．