河北省衡水市武强高中校2021-2022学年高二上学期第二次月考（11月）数学试卷（Word版，含答案）

武强中学2021—2022学年度上学期第二次月考
高二数学试题
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为
A. B. C. D.
2. 数列中，，，则等于
A. B. C. D.
3. 过点且垂直于直线的直线方程为
A. B. C. D.
4. 等差数列的前项和为，若，则
A. B. C. D.
5. 直线与轴，轴分别交于点，，以线段为直径的圆的方程为
A. B.
C. D.
6. 已知椭圆的焦点为，过点的直线与交于，两点．若的周长为，则椭圆的标准方程为
A. B. C. D.
7. 在直三棱柱中，，，点为棱的中点，则点到平面的距离等于
A. B. C. D.
8. 设为坐标原点，直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点．若的面积为，则的焦距的最小值为
A. B. C. D.
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆的离心率是，则的值可能是
A. B. C. D.
10. 下列说法中，正确的有
A. 过点且在轴截距相等的直线方程为
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线的倾斜角为
D. 过点并且倾斜角为的直线方程为
11. 已知是等差数列的前项和，且，则下列说法正确的是
A. 中的最大项为 B. 数列的公差
C. D. 当且仅当时，
12. 如图，在三棱锥中，，，，，且到平面的距离为，则下列说法正确的是
A. 三棱锥的体积为
B.
C. 与所成角的大小为
D. 三棱锥外接球的表面积为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线过定点，且倾斜角为，则直线的一般式方程为 ．
14. 双曲线的一条渐近线方程为，则 ．
15. 将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为 ．
16. 已知为双曲线：的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为 ．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 设等差数列满足，．
求数列的通项公式；
求的前项和及使得最小的的值．
18. 已知圆和直线，点是圆上的动点．
求圆的圆心坐标及半径
求点到直线的距离的最小值．
19. 已知正方体中，，分别是棱和对角线的中点．
证明：平面；
求直线与直线所成角的大小．
20. 已知椭圆：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
求椭圆的方程；
过椭圆的左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，求．
21. 在四棱锥中，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，，，，．
证明：．
求二面角的余弦值．
22. 已知抛物线：过点过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．
求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
求证：为线段的中点．
高二数学试题参考答案
一 选择题：CDAD ACBC
二 选择题：AC ABD
三 填空题：
四 解答题：
17.解：，，
；
，则，
结合二次函数的性质可知当时，最小．
即使得最小的的值为．
18.解：圆的标准方程为，
圆心坐标为，半径为．
圆心到直线的距离
点到直线的距离的最小值为．
19.证明：连接，
因为，分别是棱和对角线的中点，
所以，
因为，，
所以；
解：设正方体中的棱长为，
以为原点，分别为轴、轴、轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以
所以，
所以
所以直线与直线所成角的大小为．
20.解：由题意：，即，
短轴一个端点到右焦点的距离为，即，
而，所以，，所以椭圆的方程：；
由Ⅰ，左焦点，直线的方程：，
设，，
联立直线与椭圆的方程，消去整理得：，
所以，，．
21.证明：取的中点，连接，，
为等边三角形，．
在直角梯形中，，，，
，为等腰三角形，．
，，平面．
平面，
解：由知，，，两两垂直，
以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
即
令，得．
设平面的一个法向量为，
，即
可得平面的一个法向量为，
，
又二面角为钝二面角，故其余弦值为．
22.解：过点，，解得，
抛物线的方程为，焦点坐标为，准线为；
证明：由题意可得，直线的斜率存在，设过点的直线方程为，，
，，直线为，直线为：，
由题意知，，
由，可得，
，，且，，
为线段的中点．