福建省南安市两校2021-2022学年高二上学期第二次阶段考（12月）数学试题（Word版含答案）

2021-2022学年高二年南安侨光中学-昌财实验中学联合考试数学科试卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.椭圆的一个焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为,若,则=（ ）
A.12 B.24 C.36 D.48
3.双曲线的一条渐近线方程是( )
A． B． C． D．
4．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，
点在平面内，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在数列中，，则等于（ ）
A．12 B．14 C．20 D．22
6．直线与圆相切,则=( )
A． B． C． D．2
7.已知数列满足=1, 且 , 则 等于( )
A． B． C． D．
8. 若圆上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在
圆上，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
9.已知是椭圆C：的左焦点，是椭圆C上的任意一点，点，
则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10.在正四棱柱中， 是侧面内的动点，
且记与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
二 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
11.下列四个命题中真命题有( )
A.直线在轴上的截距为
B.经过定点的直线都可以用方程表示.
C．直线必过定点
D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是
12.已知数列其前n项和为，则下列选项正确的是（ ）
A. 若数列为等比数列，且，则
B. 若数列为等差数列，且，则
C. 若数列为等差数列，,的最大值在n=6或7时取得
D. 若数列为等比数列，则也为等比数列
13. 已知四边形为正方形,⊥平面，四边形与四边形也都为正方形，
连接，，，为的中点，则下列结论正确的是(　 　)
A．
B．与所成角为
C． 与平面所成角为
D．⊥平面
14．设A，B是抛物线E：上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是（ ）
A．若直线AB过抛物线的焦点F，则 的最小值为1
B.有且只有两条直线过点且与抛物线E只有一个公共点
C．若，则为定值
D．若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
15. 抛物线上一点到焦点的距离为1,则点的纵坐标是 。
16. 已知数列{}的前项和为，则通项公式= 。
17. 如图，在的二面角内，于， 于，
且，则的长为 。
18.已知双曲线的左、右焦点
分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的渐近线在
第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为 。
三、解答题：本题共5小题，每小题12分，共60分
19．（本小题12分）已知为等差数列的前n项和．
（1）求
（2）设，为数列的前n项和，求证：
20.（本小题12分）在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，
记外接圆为圆.
（1）求圆的方程；
（2）在圆上是否存在点，使得？ 若存在，求点的个数；若不存在，
说明理由．
21．（本小题12分）已知抛物线E关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点在抛物线上．
(1)求该抛物线E的方程及其准线方程．
(2)直线过抛物线E的焦点，交该抛物线于两点，且，求的长度
22. （本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD中，ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，,
(1)求二面角的余弦值．
(2)在PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由；
23. （本小题12分）已如椭圆E：（）的离心率为，点在上.
（1）求的方程：
（2）斜率不为0的直线经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由
2021年秋高二年南安侨光中学-昌财实验中学联合考试数学科试卷参考答案
一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.-5BCBBC 6-10DAADB
二 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
11.AC 12. BC 13. ABD 14 .ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
15. 16. 17. 18.
三、解答题：本题共5小题，每小题12分，共60分
19.解：（1）an＝2n﹣1，
（2）＝＝，
∴Tn＝b1+b2+…+bn＝＝＜
20.
21解：（1）抛物线E的方程：
（2）
22解：(1)
(2)存在点E，使PC⊥平面ADE.
以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.
则D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(，0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)．
所以＝(，1，－1)，＝(0,1，－1)．
设＝λ (0≤λ≤1)，则＝λ＝λ(，1，－1)，
所以E(λ，λ，1－λ)．
由·＝(0,1，－1)·(λ，λ，1－λ)＝λ－1＋λ＝0，得λ＝，
即当点E为PB的中点时，PC⊥DE.
由矩形ABCD知AD⊥CD，由PD⊥平面ABCD知PD⊥AD，
又PD∩CD＝D，所以AD⊥平面PDC，所以AD⊥PC.
又AD∩DE＝D，所以PC⊥平面ADE.
所以，当点E为PB的中点时，PC⊥平面ADE.
23。（1）E的方程为.
（2）假设存在定点，使得.
由对称性可知，点必在轴上，故可设.
因为，所以直线与直线的倾斜角互补，因此.
设直线的方程为：，，
由消去，得，
，所以，
所以，，因为，所以，
所以，即.
整理得，
所以，即.
所以，即，对恒成立，即对恒成立，所以.所以存在定点，使得.
2021年秋高二年南安侨光中学-昌财实验中学联合考试数学科试卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.椭圆的一个焦点坐标是（ B ）
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为,若,则=（ C ）
A.12 B.24 C.36 D.48
3.双曲线的一条渐近线方程是( B )
A． B． C． D．
4．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，
点在平面内，则（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在数列中，，则等于 （ C ）
A．12 B．14 C．20 D．22
6．直线与圆相切,则=( D )
A． B． C． D．2
7.已知数列满足=1, 且 , 则 等于( A)
A． B． C． D．
8. 若圆上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在
圆上，则的取值范围是( A)
A． B． C． D．
9.已知是椭圆C：的左焦点，是椭圆C上的任意一点，点，
则的最大值为（ D ）
A． B． C． D．
10.在正四棱柱中， 是侧面内的动点，且记与平面所成的角为，则的最大值为（ B ）
二 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
11.下列四个命题中真命题有( AC )
A.直线在轴上的截距为
B.经过定点的直线都可以用方程表示.
C．直线必过定点
D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是
12.已知数列其前n项和为，则下列选项正确的是（BC ）
A. 若数列为等比数列，且，则
B. 若数列为等差数列，且，则
C. 若数列为等差数列，,的最大值在n=6或7时取得
D. 若数列为等比数列，则也为等比数列
13. 已知四边形ABCD为正方形⊥平面ABCD，四边形与四边形也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，则下列结论正确的是(　ABD　)
A．
B．与所成角为
C． 与平面所成角为
D．⊥平面
解析：选ABC　由题意得，所得几何体可以补形成一个正方体，如图所示．
以D为原点，DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设AD＝DC＝DG＝2，
则D(0,0,0)，C(0,2,0)，E(2,0,2)，
F(0,2,2)，B(2,2,0)，H(1，2,1)．
A．＝(2,0,2)，＝(－2,0,2)，
∴·＝－4＋0＋4＝0，
∴⊥，∴DE⊥BF，A是正确的．
B．＝(－2,2,0)，＝(1,0,1)．
设EF与CH所成的角为θ，θ∈，
∴cos θ＝eq \f(|·|,||||)＝.
∵θ∈，∴θ＝，B是正确的．
C．＝(－2,2，－2)，＝(2,2,0)，＝(0,2,2)．
设n＝(x，y，z)是平面DBF的一个法向量，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(·n＝0，, ·n＝0，))即取x＝1，∴n＝(1，－1,1)．
∵＝－2n，∴∥n，∴EC⊥平面DBF，C是正确的．
D．＝(－2,0,2)，由图象易得m＝(1,1,0)是平面ACFE的一个法向量，
设BF与平面ACFE所成的角为θ，θ∈，
∴sin θ＝|cos〈，m〉|＝eq \f(|·m|,|||m|)＝，∴θ＝，D是不正确的．
故选A、B、C.
14．设A，B是抛物线E：上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是（ ACD ）
A．若直线AB过抛物线的焦点F，则 的最小值为1
B.有且只有两条直线过点且与抛物线E只有一个公共点
C．若，则为定值
D．若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
15. 抛物线上一点到焦点的距离为1,则点的纵坐标是_______
16. 已知数列{}的前项和为，则通项公式=_________．
答案：
17. 如图，在的二面角内，于， 于，且，则的长为 。
18.已知双曲线的左、右焦点
分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的渐近线在
第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为 。
三、解答题：本题共5小题，每小题12分，共60分
19．（本小题12分）已知为等差数列的前n项和．
（1）求
（2）设，为数列的前n项和，求证：
19解：（1）an＝2n﹣1，
（2）＝＝，
∴Tn＝b1+b2+…+bn＝＝＜．
20.（本小题12分）在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，
记外接圆为圆.
（1）求圆的方程；
（2）在圆上是否存在点，使得？ 若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．
21．（本小题12分）已知抛物线E关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点在抛物线上．
(1)求该抛物线E的方程及其准线方程．
(2)直线过抛物线E的焦点，交该抛物线于两点，且，求的长度
21解：（1）抛物线E的方程：
（2）
22. （本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD中，ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，
PD＝CD＝1，AD＝
(1)求二面角的余弦值．
(2)在PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由；
22解：(1)
(2)存在点E，使PC⊥平面ADE.
以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.
则D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(，0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)．
所以＝(，1，－1)，＝(0,1，－1)．
设＝λ (0≤λ≤1)，则＝λ＝λ(，1，－1)，
所以E(λ，λ，1－λ)．
由·＝(0,1，－1)·(λ，λ，1－λ)＝λ－1＋λ＝0，得λ＝，
即当点E为PB的中点时，PC⊥DE.
由矩形ABCD知AD⊥CD，由PD⊥平面ABCD知PD⊥AD，
又PD∩CD＝D，所以AD⊥平面PDC，所以AD⊥PC.
又AD∩DE＝D，所以PC⊥平面ADE.
所以，当点E为PB的中点时，PC⊥平面ADE.
23. （本小题12分）已如椭圆E：（）的离心率为，点在上.
（1）求的方程：
（2）斜率不为0的直线经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由
23【答案】（1）（2）存在x轴上的定点，使得
（1）根据椭圆离心率和过的点，得到关于，的方程组，解得，的值，从而得到椭圆的方程；（2）设存在定点，对称性可知设，根据，得到，即得，直线的方程为：与椭圆联立，得到，，从而得到和的关系式，根据对恒成立，从而得到的值.
23【详解】（1）因为椭圆E的离心率，所以①，
点椭圆上，所以②，
由①②解得，.故E的方程为.
（2）假设存在定点，使得.
由对称性可知，点必在轴上，故可设.
因为，所以直线与直线的倾斜角互补，因此.
设直线的方程为：，，
由消去，得，
，所以，
所以，，
因为，所以，
所以，即.
整理得，
所以，即.
所以，即，对恒成立，
即对恒成立，所以.所以存在定点，使得.
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