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27.2.1 相似三角形的判定（4）教案
课题 27.2.1 相似三角形的判定（4） 单元 第27单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 理解并掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法。掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理。能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
重点 1.“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法。2.判定两个直角三角形相似的方法。
难点 运用两个三角形相似的判定方法解决简单问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题判定两三角形相似的方法1.定义法: 对应角相等，对应边的比相等 的两个三角形相似.2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 相似 .3. 三边 对应成比例的两个三角形相似.4. 两边 对应成比例且 夹角 相等的两个三角形相似. 教师：观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．探究一：有一个角对应相等的两个三角形相似吗？ 教师提问：一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？教师提问：如果一个三角形的两个角分别于另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？ 探究二：有两个个角对应相等的两个三角形相似吗？ 已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B ，∠A＝∠A′.求证:△ABC∽△A′B′C′.证明：在△A′B′C′的边A′B′ (或延长线)上截取A′D=AB, 过点 D 作 DE∥B′C′.∵ DE∥B′C′∴△A′DE∽△A′B′C′.∵∠B=∠B′，∴∠ADE=∠B′.又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，∴△ADE ≌△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC. 思考自议回答问题，回顾知识。学生观察导入中的图片，认真思考问题。 教师出示问题师生一起回顾上节课学习的关于图形的相似多边形相关知识。从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情。
讲授新课 提炼概念利用两组角来判定三角形相似的定理：如果一个三角形的两个角分别于另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简称“两角分别相等的两个三角形相似.”符号语言：∵, ∠B=∠B′∴ △ ABC ∽ △A′B′C.【想一想】思考：对于△ABC和△A′B′C′，∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？不一定。三、典例精讲【例2】如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC 一点，AE =5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90°.又∵∠C=90°，∠A=∠A，∴ △AED ∽△ABC.∴∴AD=.教师归纳知识点：判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.【想一想】对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等. 那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°， .求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.分析：要证明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可设法证若设=k，则只需证k.证明：设=k，则AB=kA′B′，AC=kA′C′由勾股定理，得BC=， B′C′ =∴.∴∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.教师讲解：判定直角三角形相似的方法（2）：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似.简称“斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.” （HL） 教师出示问题，师生共同探究关于两角分别相等的两个三角形相似的知识。 教师出示问题探究问题，师生共同探究判定两个直角三角形相似的方法。
课堂检测 四、巩固训练1．如图，∠1＝∠2＝∠3，则以下结论不正确的是 ( )A．△DEC∽△ABC B．△ADE∽△BEAC．△ACE∽△BEA D．△ACE∽△BCA 答案： C2.在一次数学活动课上,为了测量河宽AB,小聪采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走40m到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达Ｄ处，再右转90度走到Ｅ处，使Ｂ，Ｃ，Ｅ三点恰好在一条直线上，量得DE＝20m，这样就可以求出河宽ＡＢ．请你算出结果（要求给出解题过程） ( http: / / www.21cnjy.com / )解：∵ AB⊥AD，DE⊥AD．∴ ∠BAC＝∠EDC＝Rt∠．又∵ ∠ACB＝∠DCE，∴ △ABC∽△DEC(有两个角对应相等的两个三角彩相似)，∴ ＝．∵ AC＝45，CD＝15，DE＝20，∴ ＝，∴ AB＝＝60(m)．答：河宽AB是60m．3.已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB长.解：∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB ,∴ ∴ AB2 = AD · AC.∵ AD=2, AC=8,∴ AB =4.4.如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当AB 的长为多少时，△ACB 与△ADC相似．解：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，∴要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时， 有 ， 即 ，解得 AB=3；(2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时， 有 ， 即 ，解得 AB=3 ．∴当AB为3或3时，这两个直角三角形相似．5.如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F．求证：.证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，∴ ∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE =∠BFD (对顶角相等).∴ △FEA ∽ △ FDB，∴.
课堂小结
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27.2.1 相似三角形的判定（4）学案
课题 27.2.1 相似三角形的判定（4） 单元 第27单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 理解并掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法。掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理。能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
重点 1.“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法。2.判定两个直角三角形相似的方法。
难点 运用两个三角形相似的判定方法解决简单问题。
教学过程
导入新课 【引入思考】判定两三角形相似的方法1.定义法: 的两个三角形相似.2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 .3. 对应成比例的两个三角形相似.4. 对应成比例且 相等的两个三角形相似. 观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．探究一：有一个角对应相等的两个三角形相似吗？ 探究二：有两个个角对应相等的两个三角形相似吗？ 已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B ，∠A＝∠A′.求证:△ABC∽△A′B′C′.
新知讲解 提炼概念 利用两组角来判定三角形相似的定理：如果一个三角形的两个角分别于另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简称“两角分别相等的两个三角形相似.”符号语言：∵, ∠B=∠B′∴ △ ABC ∽ △A′B′C.【想一想】思考：对于△ABC和△A′B′C′，∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？典例精讲 【例2】如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC 一点，AE =5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.【想一想】对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等. 那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°， .求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
课堂练习 巩固训练1．如图，∠1＝∠2＝∠3，则以下结论不正确的是 ( )A．△DEC∽△ABC B．△ADE∽△BEAC．△ACE∽△BEA D．△ACE∽△BCA 2.在一次数学活动课上,为了测量河宽AB,小聪采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走40m到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达Ｄ处，再右转90度走到Ｅ处，使Ｂ，Ｃ，Ｅ三点恰好在一条直线上，量得DE＝20m，这样就可以求出河宽ＡＢ．请你算出结果（要求给出解题过程） ( http: / / www.21cnjy.com / )3.已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB长.4.如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当AB 的长为多少时，△ACB 与△ADC相似．5.如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F．求证：. 答案引入思考 判定两三角形相似的方法1.定义法: 对应角相等，对应边的比相等 的两个三角形相似.2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 相似 .3. 三边 对应成比例的两个三角形相似.4. 两边 对应成比例且 夹角 相等的两个三角形相似. 探究二：有两个个角对应相等的两个三角形相似吗？ 已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B ，∠A＝∠A′.求证:△ABC∽△A′B′C′.证明：在△A′B′C′的边A′B′ (或延长线)上截取A′D=AB, 过点 D 作 DE∥B′C′.∵ DE∥B′C′∴△A′DE∽△A′B′C′.∵∠B=∠B′，∴∠ADE=∠B′.又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，∴△ADE ≌△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC.提炼概念利用两组角来判定三角形相似的定理：如果一个三角形的两个角分别于另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简称“两角分别相等的两个三角形相似.”符号语言：∵, ∠B=∠B′∴ △ ABC ∽ △A′B′C.【想一想】思考：对于△ABC和△A′B′C′，∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？不一定。典例精讲 例2解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90°.又∵∠C=90°，∠A=∠A，∴ △AED ∽△ABC.∴∴AD=.教师归纳知识点：判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.【想一想】对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等. 那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°， .求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.分析：要证明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可设法证若设=k，则只需证k.证明：设=k，则AB=kA′B′，AC=kA′C′由勾股定理，得BC=， B′C′ =∴.∴∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.教师讲解：判定直角三角形相似的方法（2）：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似.简称“斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.” （HL）巩固训练1.答案： C2.解：∵ AB⊥AD，DE⊥AD．∴ ∠BAC＝∠EDC＝Rt∠．又∵ ∠ACB＝∠DCE，∴ △ABC∽△DEC(有两个角对应相等的两个三角彩相似)，∴ ＝．∵ AC＝45，CD＝15，DE＝20，∴ ＝，∴ AB＝＝60(m)．答：河宽AB是60m．3.解：∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB ,∴ ∴ AB2 = AD · AC.∵ AD=2, AC=8,∴ AB =4.4.解：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，∴要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时， 有 ， 即 ，解得 AB=3；(2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时， 有 ， 即 ，解得 AB=3 ．∴当AB为3或3时，这两个直角三角形相似．5.证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，∴ ∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE =∠BFD (对顶角相等).∴ △FEA ∽ △ FDB，∴.
课堂小结 小
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人教版 九年级下
27.2.1 相似三角形的判定（4）
新知导入
情境引入
判断两三角形相似
1.定义法: 的两个三角形相似.
对应角相等，对应边的比相等
相似
3. 对应成比例的两个三角形相似.
三边
4. 对应成比例且 相等的两个三角形相似.
两边
夹角
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 .
新知导入
合作学习
这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？
三个内角对应相等。
观察你与老师的直角三角尺 ,会相似吗？
(30O 与60O)
思考
相
似
三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？
探究一：有一个角对应相等的两个三角形相似吗？
30o
30o
60o
110o
不相似！
探究二：有两个个角对应相等的两个三角形相似吗？
问题1： 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？
C
A
B
A'
B'
C'
与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使
∠A=∠A′=50°，∠B=∠B′=45°，探究下列问题：
这两个三角形相似！
你能证明这一结论吗？
已知：在 △ABC与 △A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′；
求证： △ABC∽△A′B′C′
A
B
C
D
E
证明：在△A′B′C′的边A′B′ (或延长线)上截取A′D=AB, 过点 D 作 DE∥B′C′.
∵ DE∥B′C′
∴ △A′DE ∽△A′B′C′.
∵∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，
∴△ADE ≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′ ∽△ABC.
提炼概念
A
A'
C
B
B'
C'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
用数学符号表示：
相似三角形的判定方法4：
(两个角分别对应相等的两个三角形相似)
思 考：
如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？
不一定
思考：对于△ABC和△A′B′C′，∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不一定相似。
A
B
C
A′
B′
C′
例2、如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
∴
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° .
又∠C=90 °，∠A=∠A，
∴ △AED ∽△ABC.
∴
知识点拨：如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或者两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似。
D
A
B
C
E
对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等. 那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
思考：
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，∠C′=90°， .
求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
C
A
A'
B
B'
C'
分析：我们只需证明：
即可。
勾股定理
∴
C
A
A'
B
B'
C'
证明：设__________ __= k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.
由 ，得
∴
∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′.
归纳概念
直角三角形相似的判定方法：
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
归纳总结：
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′.
符号语言：
C
A
A'
B
B'
C'
课堂练习
C
1．如图，∠1＝∠2＝∠3，则以下结论不正确的是 ( )
A．△DEC∽△ABC B．△ADE∽△BEA
C．△ACE∽△BEA D．△ACE∽△BCA
课堂练习
2.一次数学活动课上,为了测量河宽AB,小聪采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走40m到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达Ｄ处，再右转90度走到Ｅ处，使Ｂ，Ｃ，Ｅ三点恰好在一条直线上，量得DE＝20m，这样就可以求出河宽ＡＢ．请你算出结果（要求给出解题过程）
B.
A.
C
D
E
B.
A.
C
D
E
3.已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB的长.
A
B
C
D
4.如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为多长时，△ACB 与△ADC相似．
C
A
B
D
∴
解：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，
有 AC : AD ＝AB : AC， 即 : 2 =AB : ，
解得 AB=3；
C
A
B
D
(2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，
有 AC : CD ＝AB : AC ， 即 : =AB : ，
解得 AB= ．
∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直
角三角形相似．
D
C
A
B
E
F
课堂总结
两角分别相等的两个三角形相似.
利用两角判定三角形相似
直角三角形相似的判定
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
作业布置
教材课后配套作业题。
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