人教A版 选择性必修第二册 4.3 4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用 课件(共43张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版 选择性必修第二册 4.3 4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用 课件(共43张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 8.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-08 09:43:06 | ||
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文档简介
(共43张PPT)
第四章 数列
4．3 等比数列
4．3.1 等比数列的概念
第2课时 等比数列的性质及应用
学习指导 核心素养
1. 能够运用等比数列的性质解决有关问题． 2．能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题． 1. 数学运算：等比数列性质的应用．
2．数学建模：等比数列的实际应用．
1．等比数列的单调性
递减
递增
常数
2.等比数列的项与序号的关系
qn－m
ap·aq
两项关系 an＝am·______ (n，m∈N*)
多项关系 若{an}为等比数列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝________
pq
等比数列的通项公式和函数有什么关系？
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当q>1时，{an}为递增数列．( )
(2)当q＝1时，{an}为常数列．( )
(3){an}是等比数列，若m＋n＝p，则am·an＝ap.( )
(4)若等比数列{an}的公比是q，则an＝amqm－n(m，n∈N*).( )
×
√
×
×
√
√
3．在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为( )
A．9 B．－9
C．±9 D．18
解析：因为{an}为等比数列，
所以a3a7＝a4a6＝a1a9.
所以(a1a9)2＝81，
即a1a9＝±9.
因为在等比数列{an}中，奇数项(或偶数项)的符号相同，
所以a1，a9同号，所以a1a9＝9.
4．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324(n≥2)，则n＝________．
解析：设数列{an}的公比为q.
因为a1a2a3＝4＝a31q3，a4a5a6＝12＝a31q12，
所以q9＝3.
又因为an－1anan＋1＝a31q3n－3＝324，
所以q3n－6＝81＝34＝q36，
所以3n－6＝36，
解得n＝14.
答案：14
探究点1 等比数列性质的应用
[问题探究]
利用等比数列的性质解题和利用通项公式解题相比，有何优点？
问题感悟：(1)用等比数列的性质解题快捷方便，可简化计算；(2)有些问题不能确定a1，q，要采用整体思想求解．
√
√
(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法
①基本步骤：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解．
②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁．
(2)利用等比数列的性质解题
①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．
②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
√
2．若等比数列{an}的各项均为正数且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．
解析：根据等比数列的性质可得a10a11＝a9a12，所以a10a11＝e5.令S＝ln a1＋ln a2＋…＋ln a20，则S＝ln a20＋ln a19＋…＋ln a1，于是2S＝20ln (a1a20)＝20ln (a10a11)＝20ln e5＝100.所以S＝50.
答案：50
探究点2 等比数列的实际应用
从盛满a(a>1)L纯酒精的容器里倒出1 L，然后加满水，再倒出1 L混合溶液后又用水加满，如此继续下去…，第n次操作后溶液的浓度是多
少？当a＝2时，至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%
利用等比数列求解实际问题步骤
(1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；
(2)合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素；
(3)针对所求结果作出合理解释．
(2021·河北承德高三期末)某家庭决定要进行一项投资活动，预计每年收益5%.该家庭2021年1月1日投入10万元，按照复利(复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，以计算下期的利息)计算，到2031年1月1日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为( )
参考数据：1.058≈1.48，1.059≈1.55，1.0510≈1.63，1.0511≈1.71
A．14.8万 B．15.5万
C．16.3万 D．17.1万
√
解析：因为该家庭2021年1月1日投入10万元，按照复利计算，且每年收益5%，
所以10年后的资产总额为10×(1＋5%)10.
因为1.0510≈1.63，
所以10×(1＋5%)10≈16.3(万元).故选C.
探究点3 等差数列与等比数列的综合问题
有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．
将本例中四个数满足的条件改为“前三个数依次成等差数列，后三个数依次成等比数列，中间两个数之积为16，首尾两个数之积为－128”，求这四个数．
√
√
2．(2021·湖北省荆州市期末)一个等比数列前三项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )
A．13项 B．12项
C．11项 D．10项
√
√
√
4．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．
生如蝼蚁当立鸿鹄之志
命如纸薄应有不屈之心
谢谢
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第四章 数列
4．3 等比数列
4．3.1 等比数列的概念
第2课时 等比数列的性质及应用
学习指导 核心素养
1. 能够运用等比数列的性质解决有关问题． 2．能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题． 1. 数学运算：等比数列性质的应用．
2．数学建模：等比数列的实际应用．
1．等比数列的单调性
递减
递增
常数
2.等比数列的项与序号的关系
qn－m
ap·aq
两项关系 an＝am·______ (n，m∈N*)
多项关系 若{an}为等比数列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝________
pq
等比数列的通项公式和函数有什么关系？
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当q>1时，{an}为递增数列．( )
(2)当q＝1时，{an}为常数列．( )
(3){an}是等比数列，若m＋n＝p，则am·an＝ap.( )
(4)若等比数列{an}的公比是q，则an＝amqm－n(m，n∈N*).( )
×
√
×
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√
√
3．在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为( )
A．9 B．－9
C．±9 D．18
解析：因为{an}为等比数列，
所以a3a7＝a4a6＝a1a9.
所以(a1a9)2＝81，
即a1a9＝±9.
因为在等比数列{an}中，奇数项(或偶数项)的符号相同，
所以a1，a9同号，所以a1a9＝9.
4．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324(n≥2)，则n＝________．
解析：设数列{an}的公比为q.
因为a1a2a3＝4＝a31q3，a4a5a6＝12＝a31q12，
所以q9＝3.
又因为an－1anan＋1＝a31q3n－3＝324，
所以q3n－6＝81＝34＝q36，
所以3n－6＝36，
解得n＝14.
答案：14
探究点1 等比数列性质的应用
[问题探究]
利用等比数列的性质解题和利用通项公式解题相比，有何优点？
问题感悟：(1)用等比数列的性质解题快捷方便，可简化计算；(2)有些问题不能确定a1，q，要采用整体思想求解．
√
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(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法
①基本步骤：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解．
②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁．
(2)利用等比数列的性质解题
①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．
②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
√
2．若等比数列{an}的各项均为正数且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．
解析：根据等比数列的性质可得a10a11＝a9a12，所以a10a11＝e5.令S＝ln a1＋ln a2＋…＋ln a20，则S＝ln a20＋ln a19＋…＋ln a1，于是2S＝20ln (a1a20)＝20ln (a10a11)＝20ln e5＝100.所以S＝50.
答案：50
探究点2 等比数列的实际应用
从盛满a(a>1)L纯酒精的容器里倒出1 L，然后加满水，再倒出1 L混合溶液后又用水加满，如此继续下去…，第n次操作后溶液的浓度是多
少？当a＝2时，至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%
利用等比数列求解实际问题步骤
(1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；
(2)合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素；
(3)针对所求结果作出合理解释．
(2021·河北承德高三期末)某家庭决定要进行一项投资活动，预计每年收益5%.该家庭2021年1月1日投入10万元，按照复利(复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，以计算下期的利息)计算，到2031年1月1日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为( )
参考数据：1.058≈1.48，1.059≈1.55，1.0510≈1.63，1.0511≈1.71
A．14.8万 B．15.5万
C．16.3万 D．17.1万
√
解析：因为该家庭2021年1月1日投入10万元，按照复利计算，且每年收益5%，
所以10年后的资产总额为10×(1＋5%)10.
因为1.0510≈1.63，
所以10×(1＋5%)10≈16.3(万元).故选C.
探究点3 等差数列与等比数列的综合问题
有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．
将本例中四个数满足的条件改为“前三个数依次成等差数列，后三个数依次成等比数列，中间两个数之积为16，首尾两个数之积为－128”，求这四个数．
√
√
2．(2021·湖北省荆州市期末)一个等比数列前三项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )
A．13项 B．12项
C．11项 D．10项
√
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4．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．
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