5.2.1三角函数的概念 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
5.2.1三角函数的概念
人教A（2019）版
必修一
新知导入
初中学过锐角α的正弦、余弦和正切叫做角α的锐角三角函数，分别记
作sinα，cosα，tanα.
温故知新
A
B
C
α
现在我们把角推广到了任意角，三角形定义法已经不能满足我们的要求了
在任意角中，把角放在坐标系中研究，下面我们把三角形放在
坐标系中研究三角函数
A
B
C
α
设B点的坐标(x,y)，则BC=y，AC=x，B到原点的距离r
则前面三角函数的定义可以写成：
新知导入
可见，三角函数还可以用角的终
边上点的坐标来定义。
我们把这种方法推广到任意角
新知讲解
锐角的三角函数
在锐角的终边上任取一点P(x,y),则 ,根据锐角三角函数定义写出锐角三角函数的正弦、余弦、正切.
x
y
o
P(x，y)
α
r
M
对于确定的角α，上述三个比值
是否随点P在角α的终边上的位置的
改变而改变呢？为什么？
新知讲解
x
y
o
P(a，b)
α
r
P’
M’
M
由平面几何知识易知：
因此：
我们得出结论：角的终边被确定上述三个比值就被确定,而与P点的位置无关.
既然P的选取和位置无关，那么我们取终边与单位圆的交点，此时|OP|=1
新知讲解
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么
（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即
（2）x叫做α的余弦，记作sinα，即
（3） 叫做α的正切，记作tanα，即
O
x
y
P(x，y)
A(1,0)
α的终边
α
单位圆法
说明：正切函数角α终边在y轴上时，函数值不存在
新知讲解
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，统称为三角函数.
正弦函数：y=sin x，x∈R
余弦函数：y=cos x, x∈R
正切函数：y=tan x ，
新知讲解
例1、求 的正弦、余弦和正切值.
O
x
y
1
M
P
解：在直角坐标系中，作∠AOP＝
A
易知∠AOP的终边与单位圆的交点坐标为
事实上，在Rt OMP中，∠MOP=π-
=
|OP|=1，由初中三角函数知识易知，MP=
OM=
由三角函数的坐标定义：
说明: P点的坐标可借助直角三角形来求.
新知讲解
例2、 如图1，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点 O 重合）
的坐标为 （x，y），点P 与原点的距离为r．求证：
证明：如图2，设角α的终边与单位圆交于点P0(x0,y0) 分
别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别
为M，M0，则
图1
图2
|P0M0|=|y0|, |PM|=|y|,|OM0|=|x0|,|OM|=|x|
△OMP∽△OM0P0
于是
即
又y0，y同号
所以
同理
新知讲解
任意角三角函数值在各象限的符号
由例2可以推断出,任意角三角函数值符号与相应的坐标符号相关：
x
y
+
-
-
x
y
+
-
-
x
y
+
-
+
+
+
-
一、二正，三、四负
一、四正，二、三负
一、三正，二、四负
新知讲解
诱导公式一
由任意角三角函数定义，终边相同的三角函数值相同。因此与α
终边相同的角α+2kπ有相同的三角函数值，即：
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求０～２π （或０°～３６０°）角的三角函数值
合作探究
例3、求证：角θ为第三象限角的充要条件是：
①
②
证明：先证充分性，即如果①②式都成立，那么θ为第三象限角
因为①式sinθ<0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合；
又因为②式tanθ>0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三
象限
因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角．
合作探究
再证必要性：
由于θ角的终边位于第三象限，由任意角三角函数在
各象限的符号，所以有：sinθ<0，tanθ>0。
x
y
+
-
-
+
x
y
+
-
+
-
合作探究
例4、确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：
(1)cos250°； (2)sin ； (3)tan(-672°)； (4)tan３π
解：(1)因为250°=180°+70°，
cos2500<0
故250°是第三象限角，所以
(2)因为 是第四象限角，所以
sin <0
(3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°，而48°是第一象
限角，所以
tan(-6720)＞０；
(4)因为
tan3π=tan(π＋2π)＝tanπ
而π的终边在x轴上，所以
tanπ＝０
合作探究
例5、求下列三角函数值：
(1)sin1480°10′ (精确到0.001)； (2)cos ； （３）tan( )
解：(1)sin1480°10′=sin(40°10′＋4×360°)=sin40°10′≈0.645；
(2)cos =cos( ＋2π）=cos =
(3)tan( )=tan( -2π)=tan =
例6、已知角θ 的终边过点P(-12,5) ，求θ 的三个三角函数值.
解：由已知可得：
于是，
合作探究
课堂练习
课堂练习
课堂练习
4、角α终边与单位圆相交于点M ,则cos α+sin α的值为________.
解析：cosα=x= ,sinα=y= ,故cosα+sinα= .
5、已知角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),则2sinα+cosα的值为________.
±1
6、已知角α的终边经过点P(5m,12),且cosα= ,则m=________
-1
课堂总结
1、任意角三角函数定义：
2、利用定义求特殊角三角函数值：
3、任意角三角函数在各象限的符号：
方法一：依据定义，寻求终边与单位圆交点坐标
方法二：
第一步，取点
第二步，计算r值
第三步，求三角函数值
口诀：一全二正弦，三切四余弦
4、诱导公式一：
板书设计
任意角三角函数定义
任意角三角函数在各象限的符号
诱导公式一
一全二正弦
三切四余弦
作业布置
3、已知角α的终边过点P(12,a),且tanα= ,求sinα+cosα的值.
4、课本P1791、2、4，P1823、5
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