参考答案及评分标准
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．A； 2．B； 3．B； 4．B； 5．B； 6．C．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．4；8．； 9．；10．6; 11．；12．；
13．1； 14．1:3； 15．；16．；17.1：4；18．2或．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．解：……（6分）
………………… （2分）
………………………（2分）
20．解：（1）．……………………………（5分）
（2）图正确得4分，
结论：就是所要求作的向量． …（1分）．
21.解：（1）∵∥∥
∴…………………………………………………（2分）
∵
∴…………………………………………………（1分）
∴………………………………………………………（2分）
（2）过点作∥，交于点，交于点
∵∥∥
∴…………………………………………（1分）
∴………………………………………………（1分）
∵∥ ∴ ……………………………（1分）
∵，
∴
∴…………………………………………………………（1分）
∴ ………………………………………………（1分）
22．.解：（1）∵，， ∴． （1分）
∵AB=BC， ∠ACB=90°∴∠A=∠B=45°． （1分）
∵DE⊥AB， ∴在Rt△DEB中，．∴ （2分）
在Rt△ACB中，∴ （1分）
（2）∵过点E作EH⊥AC于点H.
∴在Rt△AHE中，，AH== （1分）
∴，∴EH= AH= （2分）
∴在Rt△CHE中，cot∠ECH=，即∠ACE的余切值是 （2分）
23．证明：（1）∵CE⊥AB于，BD⊥AC
∴∠AEC =∠ADB= 90°. ……………………（1分）
∵∠A+∠ACE=∠A+∠FBE= 90°; …………（1分）
∴∠A C E=∠FBD. …………………………（1分）
∵∠AEC =∠FEB=90°.
∴ △AEC∽△FEB. ………………………（1分）
∴…………………………………（1分）
∴……………………（1分）
(2) ∵△AEC∽△FEB. ……………………………………（1分）
∴ .…………………………………………（1分）
∴ . …………………………………………（1分）
∵ ∠AEC=∠FEB= 90°，
∴ △AEF∽△CEB.………………………………………（1分）
∴ …………………………………………（1分）
∴ ……………………………………（1分）
24.解：（1）∵ A（1，0），B（5，0），
∴ OA=1，AB=4. …………………（1分）
∵ AC=AB且点C在点A的左侧，
∴ AC=4 . …………………（1分）
∴ C(-3,0). …………………（1分）
设直线l的表达式为.
∵ C(-3,0), D(0，3)在直线l上．
∴ 解得
∴直线l的表达式为y=x+3. …………………（1分）
（2）① ∵ 线段CP是线段CA、CB的比例中项，
∴ .…………（2分）
又 ∵ ∠PCB是公共角，
∴ △CPA∽△CBP . ……………………………（2分）
②∵ ，CA=4，CP=8.
∴ CP=. …………………………………（1分）
∵ △CPA∽△CBP .
∴ ∠CPA= ∠CBP. ……………………………（1分）
过P作PH⊥x轴于H.
∵ OC=OD=3，∠DOC=90°，
∴ ∠DCO=45°.∴ ∠PCH=45°
∴ PH=CH=CP=4，
∴ H（-7，0），OH=7, BH=12. ∴ P（-7，-4）.（1分）
∴在Rt△AHE中， ，
∴. …………………………………（1分）
(解法2：过点A作AH ⊥CD于H,解Rt△AHP即得)
25.解：（1）过点A作AH ⊥BC于H.
(3)过点A作AG//BC交CE的延长线于G点.2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上。】
1．已知两个相似三角形的相似比为1：4．则它们的周长比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．2：1
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（ ）
A．a tanα B．a cotα C． D．
3．如果+＝2，﹣＝3．而且≠，那么（ ）
A．与是相等向量
B．与是平行向量
C．与方向相同，长度不同
D．与方向相反，长度相同
4．已知△ABC中，D、E分别是边BC、AC上的点，如果CD：DB＝2：1．那么下列条件能够判断DE∥BA的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中、DE∥BC，DF∥AC，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，那么下列等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知△ABC和△DEF，点E在BC边上，点A在DE边上，边EF和边AC相交于点G．如果AE＝EC，∠AEG＝∠B，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△DEF与△ABC一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，分48分）【请结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．如果，那么＝ ．
8．化简：3（+2）﹣2（+）＝ ．
9．已知：线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点（AP＜PB），那么PB＝ ．
10．甲、乙两地的实际距离是30千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是 厘米．
11．如图，∠B＝∠D，AB＝2，CD＝4，OD＝6．则BO＝ ．
12．如图，在Rt△ABC中．∠BAC＝90°，AD⊥BC于D．DE⊥AB于E．AD＝5，DE＝3，则CD的长是 ．
13．已知点G是等边△ABC的重心，AB＝，那么AG＝ ．
14．已知：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，AD：BD＝1：2、那么S△ADE：S四边形＝ ．
15．如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（2，2），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于 ．
16．已知在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设＝，＝，那么向量用向量、表示为 ．
17．如图，点O是△ABC的角平分线AF的中点，点D、E分别在AC、AB边上，线段DE过点O，且∠ADE＝∠B．那么△ADE和△ABC的面积比是 ．
18．在Rt△ABC中．∠C＝90°，sinA＝，将△ABC绕点B旋转后，点C落在射线AB上，点A落到点A′处，联结AA′．那么tan∠BAA′＝ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．计算：（﹣tan45°）2021﹣cos60°+|cot30°﹣1|．
20．如图，已知△ABC中，从D，E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心．设＝．
（1）＝ （用向量表示）；
（2）设＝，在图中求作+＝．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量，）
21．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．
（1）如AB＝6，BC＝8，DF＝21．求DE的长；
（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14．求BE的长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．
（1）求线段AE的长；
（2）求∠ACE的余切值．
23．如图，已知，在锐角△ABC中，BD和CE分别是边AC、AB上的高．
（1）求证：AE FB＝FE AC；
（2）联结AF，求证：AF BE＝BC EF．
24．已知点A（1，0）和点B（5，0），点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为（0，3），直线l经过点C、D．
（1）求直线l的表达式；
（2）点P是直线l在第三象限上的点．联结AP、BP，若线段CP是线段CA、CB的比例中项．
①求证：△CPA∽△CBP；
②求tan∠CPA的值．
25．如图1，△ABC中，BC＝4，tanB＝，AD是BC边上的中线，且AD＝AC．
（1）求边AB、AC的长；
（2）如图2，点E是线段AB上的动点（不与A、B点重合），联结CE交AD于从F．当△CDF与△ABC相似时，求的值．
（3）如图2，点E在AB边上运动时，设BE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
