2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1 直线与圆的位置关系(1)课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
2.5.1 直线与圆的位置关系
“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句．它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．
从日落这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图形呢？它们有哪些位置关系呢？
情境引入
(2)直线和圆有唯一个公共点, 叫做直线和圆相切, 这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点.
(1)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交，这条直线叫圆的割线，这两个公共点叫交点.
(3)直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离.
1.直线与圆的位置关系的定义
探究新知
A
A
B
相交
相切
上述变化过程中，除了交点个数发生了变化，还有什么量在改变？你能否用利用这种变化关系来判定直线与圆的位置关系？
2.探究：直线与圆的位置关系的判定
探究新知
相离
A
O
l
A
B
O
l
O
l
设点到圆心的距离为d， 圆的半径为r，则：
位置关系
数量关系
3.回顾: 点与圆的位置关系判定
点在圆上 d=r
探究新知
O
A
B
C
点在圆外 d>r
点在圆内 d直线与圆的位置关系:
思考：如何用直线的方程和圆的方程判断它们之间的位置关系？
位置关系
相离
相切
相交
图形
d与r的关系
dd=r
d>r
交点个数
2个
1个
0个
探究新知
r
d
∟
r
d
∟
r
d
判定直线与圆的位置关系的方法有____种：
(1)根据定义，由 的个数来判断(代数法）
(2)根据性质, 由 的关系来判断 (几何法)
两
直线与圆的公共点
圆心到直线的距离d与半径r
探究新知
联立方程组，消元得到一个一元二次方程组
(3)直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置关系为________
相交
1.(1)直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关系为________
相切
(2)直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为________
相离
小试牛刀
2.直线 与圆x2+y2-2x-2=0相切，则实数m等于( 　 )
C
3.若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率可能是( 　 )
BC
例1 已知直线l: 3x+y-6=0 和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求l 被圆C所截得的弦长．
典例分析
O
C
B
A
r
y
x
d
分析：思路1：将判断直线l与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．
思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长．
例1 已知直线l: 3x+y-1=0 和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求l 被圆C所截得的弦长．
典例分析
O
C
B
A
r
y
x
d
例1 已知直线l: 3x+y-1=0 和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求l 被圆C所截得的弦长．
典例分析
O
C
B
A
r
y
x
d
(1)几何法：用弦心距d，半径r及半弦构成直角三角形的三边
直线与圆相交时弦长的求法：
x
y
O
A
B
d
r
(3)代数法：不算出两交点，设而不求
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分这条弦所对的两条弧.
探究新知
由垂径定理，得
(2)代数法：计算出两交点
解：设圆心O(0,0)到直线的距离为d，则
x
y
O
A
B
d
r
小试牛刀
1. 已知直线l: y=x+1 和圆O: x2+y2=4 相交于A,B两点，求弦长|AB|的值.
故弦长|AB|的值为 .
另解：
x
y
O
A
B
1.已知直线l: y=x+1 和圆O: x2+y2=4 相交于A,B两点，求弦长|AB|的值.
故弦长|AB|的值为 .
小试牛刀
典例分析
O
P
y
x
典例分析
O
P
y
x
思考：如何求过一点P的圆的切线方程？
先判断点P与圆的位置关系
若点P在圆上，切线有一条
若点P在圆外，切线有两条
①点P在圆上时: 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为 ，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 y=y0或 x=x0.
②点P在圆外时:
(1)几何法: 设切线方程为y-y0=k(x-x0)，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就是切线方程.
(2)代数法: 设切线方程为y-y0=k(x-x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由△=0求出k，可得切线方程.
特别注意: 切线的斜率不存在的情况，不要漏解.
2.过点P(1,2)作圆O: x2+y2=1的切线l, 求此切线l的方程.
小试牛刀
O
P
y
x
解：
即kx-y+2-k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1,得
设切线l的方程为y-2=k(x-1),
①当切线l的斜率存在时,
此时，切线l的方程为3x-4y+5=0.
②当切线l的斜率不存在时,
解得
此时直线x=1也符合题意.
A
O
B
P
坐标系的选择
典例分析
y
x
x2+(y-b)2=r2
建立适当的直角坐标系，可以简化运算过程.
①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴.
②常选特殊点作为直角坐标系的原点.
③尽量使已知点位于坐标轴上.
建立平面直角坐标系应遵循的原则
A
O
B
P
y
x
典例分析
O
y
x
港口
轮船
例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．如图， 根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险．
典例分析
O
y
x
港口
轮船
所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险．
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、 直线、 圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的 “三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、 直线、 圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果 “翻译” 成几何结论．