2021-2022学年高一数学人教A版（2019）必修一5.1.1任意角课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
5.1.1 任意角
什么是角？范围是多大？
顶点
边
边
角的范围：0°～360°
初中定义
复习回顾
定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角.
新课引入
初中角概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0 , 360 ) 。这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.而且，生活中很多实例会不在该范围内。
体操__李小鹏跳
2002年在匈牙利世锦赛上，李小鹏在跳马时做出的“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”获得国际体操联合会正式命名“李小鹏跳”.
跳水运动员向内、向外转体1080
经过1小时，秒针、分针各转了多少度？
在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？
所以，就有必要将角的概念推广到任意角，同学们想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。
这些例子不仅不在0°～360°范围内，而且有方向，如何解决这一问题
一、任意角的概念
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角
1、角的概念的推广
2、角的构成要素
始边
终边
顶点
A
B
O
方向
规定：
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.
这样，我们就把角的概念推广到了任意角.
一、任意角的概念
如图，正角α=210°,负角β=-150°，负角γ=-660°
角α与角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β
设α，β是任意两个角，规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β
把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角。
角α的相反角记为-α
α-β=α+(-β)，
这样，角的减法可以转化为角的加法
x
o
y
x
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？
二、象限角
思考2: 如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°，405°，210°, -200°，-450°分别是第几象限的角？
-50°
x
y
o
第四象限角
x
y
o
405°
第一象限角
x
y
o
210°
第三象限角
-450°
x
y
o
-200°
x
y
o
第二象限角
轴线角
思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
三、终边相同的角
思考1： -32°，328°，-392°是第几象限的角？
这些角有什么内在联系？
－32°
-392°
x
y
o
328°

与-32°角终边相同的角
思考2：所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
S={b |b =-32°+k·360 ，k∈Z}
328°=-32°＋360°
－392°=-32°－360°
-32°=-32°＋0×360°
……
思考3：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
例1、在0°～360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
解：-950°12′=129°48′-3×360°，
所以在0°~360°范围内，与-950°12′终边相同的角是129°48′，它是第二象限角
思考4：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？
x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ；
x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ；
y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ；
y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z .
例2、写出终边在y轴上的角的集合.
解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角.
因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z}.
而所有与270°角终边相同的角构成集合S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z}.
于是，终边在y轴上的角的集合
S=S1∪S2
={β|β=90°+2k·180°，k∈Z } ∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z }
={β|β=90°+2k·180°，k∈Z } ∪{β|β=90°+（2k+1）180°，k∈Z }
={β|β=90°+n·180°，n∈Z }
例3、写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤α＜720°的元素β写出来.
【解析】S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}.
S中适合不等式-360°≤β<720°的元素有：
-315°，-135°,45°,225°,405°,585°.
x
y
o
450
2250
达标检测
1、已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)
A．A=B=C　　B．A C C．A∩C=B D．B∪C C
D
解析：由已知得B C，所以B∪C＝C，故D正确．
2、下列各个角中与2 019°终边相同的是(　　)
A．－149°　　 B．679° C．319° D．219°
解析：因为2 019°＝360°×5＋219°，
所以与2 019°终边相同的角是219°
D　
3、已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．
解析：观察图形可知，角α的集合是
{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}　
4、在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：
(1)－120°；(2)640°.
(1)与－120°终边相同的角的集合为M={β|β=－120°＋k·360°，k∈Z}．
当k=1时，β=－120°＋1×360°=240°，
∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．
(2)与640°终边相同的角的集合为M={β|β=640°＋k·360°，k∈Z}．
当k=－1时，β=640°－360°=280°，
∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．
2、角的分类：正角、零角、负角；
1、角的定义；
3、象限角；
4、终边相同的角的表示法．
课堂小结
1、若α是第四象限角，则180 －α是( )
A 第一象限角 B 第二象限角
C 第三象限角 D 第四象限角
C
2、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在( )
A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上
C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上
A
课后练习
解:∵ 是第三象限角
∴180 +k 360 < <270 +k 360 ，k Z
∴360 +2k 360 <2 <540 +2k 360 ，k Z
∴2 角终边在第一或第二象限以及y轴非负半轴上
又∵90 +k 180 < <135 +k 180 ，k Z
若k为偶数，则 是第二象限的角
若k为奇数，则 是第四象限的角
综上， 是第二或第四象限角
3、已知 是第三象限角，则2 在第几象限？ 是哪个象限的角
4、写出终边在过原点和点(1， )的直线上角的集合。该集合中介于-180 和180 之间的角有哪些？