吉林省通化市辉南县第六高级中学2021-2022学年高一12月月考数学试卷（PDF版，含解析）

2021-2022学年度上学期 12月月考试卷 8.已知定义在 R上的函数 f (x) 22 x 2x 2 (x 2)5 x，则不等式 f 2x 3 f x 2 4的解集为
高一数学
A． ( ，1] B． (0，1] C． (0,1) D． [1， )
考试说明：时间：120分钟 总分： 150分
二、多项选择题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
一. 单项选择题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．）
有一项是符合题目要求的．）
9.下列给出的角中，与 终边相同的角有（ ）
1．下列哪组中的两个函数是同一函数 ( ) 5
9 9 11 19
2 2 A． 5 B． C． D．A． y ( x ) 与 y x B． y lnx 与 y 2lnx 5 5 5
x2 1 x2 1 1 10．下列函数中，既是偶函数又在区间 (0, )单调递增的是（ ）C． y 与 y x 1 D． y 与 y x
x 1 x x
A．y=2x+1 B． y x2 1 C． y x3 D． y ln x
2．方程 ex 8x 8 0的根所在的区间为 ( )
11．若函数 f (x)满足：在定义域 D内存在实数 x0 ，使得 f (x0 1) f (x0 ) f（1）成立，则称函数 f (x)
A． ( 2, 1) B． ( 1,0) C． (0,1) D． (1,2)
为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列 4个函数，其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有 ( )
(3a 1)x 4a, x 1
3.已知 f (x) 是定义在R上的减函数，那么 a的取值范围是（ ）
x 1, x 1 A． f (x)
1
B． f (x) ex
x
, 1 1 1 1 1 1 A． 2 B． , C． , D． , , C． f (x) lg(x 2) D． f (x) cos x 3 7 7 3 7 3
4 1．已知 a log 2， b log 3， c ，则下列判断正确的是 ( ) 12.下列说法正确的有（ ）5 8 2
x2y 1A． c b a B． b a c C． a c b D． a b c A． 的最小值为 2x
5. 已知函数 f（x）＝a2x-6+3（a＞0且 a≠1）的图像经过定点 A，且点 A在角θ的终边上， B．已知 x 1，则 y 2x 4 1的最小值为
x 1 4 2 1

则 = （ ）
+ C．若正数 x、 y满足 x 2 y 3xy，则 2x y的最小值为3
A ． B．0 C．7 D x y 9x2 y2 xy 1 3x y 2 21． D．设 、 为实数，若 ，则 的最大值为 .
7
6.命题“ 2x∈{x|1≤x≤2},2x -a≤0”为真命题的一个必要不充分条件是( ) 三.填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．）
A.a≥1 B.a≥2 C.a≥3 D.a≥4 13．计算 cos（-330 ）的值为
p 1 3 1 3
7.质数也叫素数,17 世纪法国数学家马林·梅森曾对“2 -1”(p 是素数)型素数进行过较系统而深入的 A． B． C． D．
2 2 2 2
p 127
研究,因此数学界将“2 -1”(p 是素数)形式的素数称为梅森素数.已知第 12 个梅森素数为 M=2 -1,
14. 命题 p： x 0， ，x 2 2x 1.则 p为 ．
607
第 14 个梅森素数为 N=2 -1,则下列各数中与 最接近的数为 ( )(参考数据:lg 2≈0.301)

140 142 144 146
A.10 B.10 C.10 D.10
1
15．已知 f (x) x(x 1)(x 2 ax b) 2的图象关于直线 x 1对称，则 f (x)的值域为 20．（本小题 12分）已知函数 f (x) a ．
2x 1
（1）判断并证明函数的单调性；
f x x
2 2x ,x 3
16. 已知函数 6 x,x 3 ,若a,b,c,d ,e a b c d e 满足 （2）若 a 1，
f a f b f c f d f e ,则M af a bf b cf c df d ef e 的取值范围是 ①判断函数 f (x)的奇偶性，并说明理由．
②若 f ( 2x2 x) f ( 2x2 k) 0恒成立，求实数 k的取值范围．
四、解答题。（本大题共 6小题，共 70 分.解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。）
17．（本小题 10分）已知关于 x的不等式（ax+1）（x﹣2a）＜0的解集为M．
21. x（本小题 12分）已知函数 f (x) log2 2 1 k g(x)（k 为常数， k R）.请在下面四个函数：
（1）a＝﹣1时，求集合 M；
2 x
（2）若 1∈M，2 M，求实数 a的取值范围． ① g1(x) x ② g2 (x) log2 x ③ g3(x) x ④ g4 (x) 2
中选择一个函数作为 g(x)，使得 f (x)是偶函数.
18．（本小题 12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为 k)，这些凤眼莲在湖 （1）请写出 g(x)表达式，并求 k 的值；
1 1
中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为 24m2 ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积 （2）设函数，h x log a 2 x a x a 0 若方程 f (x) h(x)2 只有一个解，求 a
2 2
为 36m2 ，凤眼莲的覆盖面积 y （单位： m2 ) 与月份 x （单位：月）的关系有两个函数模型 的取值范围.
1
y kax (k 0,a 1)与 y px 2 k (p 0,k 0)可供选择．
22.（本小题 12分）已知函数 f(x)= -mx+2.
（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 m的取值范围;
（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 10倍以上的最小月份．
2
(2)设函数 g(x)=f(x)- x,若 g(ln x)≤0 对任意的 x∈[e,e ]恒成立,求实数 m 的取值范围.
（参考数据： lg2 0.3010， lg3 0.4711)．
19.（本小题 12分）已知关于 x的不等式 x -m 2x 0的解集为 ， 2 ，其中 m>0.
（1）求 m的值；
b2 c2 a2
（2）若正数 a,b,c满足 a+b+c=m,求证： 2.
a b c
2
2021-2022学年度上学期高一数学 12月月考试题（答案与解析） 【分析】可得出 log 2 15 , log83
1
，然后即可得出 a， b， c的大小关系．
2 2
一．单项选择题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．） 1 1 1 1
1 ( ) 【解答】解： log
2 2
52 log55 ， log83 log88 ， a c b．故选：C．下列哪组中的两个函数是同一函数 2 2
﹣
2 2 5. 已知函数 f（x）＝a2x 6+3（a＞0且 a≠1）的图像经过定点 A，且点 A在角θ的终边上，A． y ( x ) 与 y x B． y lnx 与 y 2lnx

x2 1 x2
则 = （ ）
1 1 + C． y 与 y x 1 D． y 与 y x
x 1 x x A． B．0 C．7 D．
【解答】 A中 y ( x )2 定义域为[0， )，而 y x 定义域为 R ，所以定义域不同．
【分析】由题意利用指数函数的性质，任意角的三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式即可求
y lnx2 【解答】解：因为 f（x）＝a
2x﹣6+3（a＞0且 a≠1）的图像经过定点 A，可得 A（3，4），
B中 定义域 ( ， 0) (0， )，而 y 2lnx 定义域为 (0, )，所以定义域不同；

2 又点 A在角θ的终边上，可得 tanθ=

，所以 = = ．故选：D．
C y x 1
+ +
中 定义域为{x | x 1} 而 y x 1定义域为 R ，所以定义域不同；
x 1 故选：D．
故只有D 2正确 故选：D． 6.命题“ x∈{x|1≤x≤2},2x -a≤0”为真命题的一个必要不充分条件是( )
x A.a≥1 B.a≥2 C.a≥3 D.a≥42．方程 e 8x 8 0的根所在的区间为 ( )
2 2
解析。A 若命题“ x∈{x|1≤x≤2},2x -a≤0”为真命题,则 a≥(2x )min,即 a≥2,
A． ( 2, 1) B． ( 1,0) C． (0,1) D． (1,2) {a|a≥2} {a|a≥1},所以“a≥1”是原命题为真命题的一个必要不充分条件.故选 A
p
x x 7.质数也叫素数,17 世纪法国数学家马林·梅森曾对“2 -1”(p 是素数)型素数进行过较系统而深入的【分析】令函数 f (x) e 8x 8，则方程 e 8x 8 0的根即为函数 f (x)的零点．再根据函数零点 p 127
研究,因此数学界将“2 -1”(p 是素数)形式的素数称为梅森素数.已知第 12 个梅森素数为 M=2 -1,第
的判定定理可得函数 f (x)零点所在区间．
607
14 个梅森素数为 N=2 -1,则下列各数中与 最接近的数为 ( )(参考数据:lg 2≈0.301)

【解答】解：令函数 f (x) ex 8x 8，则方程 ex 8x 8 0的根即为函数 f (x)的零点， 140 142 144 146
A.10 B.10 C.10 D.10
再由 f (0) 1 8 7 0 ，且 f （1） e 0，可得函数 f (x)在 (0,1)上有零点．故选：C ． -1 480 480 480
解析.C = ≈2 ,令 2 =k,两边同时取常用对数得 lg 2 =lg k, -1
(3a 1)x 4a, x 1
3.已知 f (x) 是定义在R上的减函数，那么 a的取值范围是（ ） x 1, x 1 144.48 144 ∴lg k=480lg 2≈144.48,∴k=10 ,结合选项知与 最接近的数为 10 ,故选 C.
1 1 1 1 1 1
A． , B． , C． , D． , , 8.已知定义在 R上的函数 f (x) 2
2 x 2x 2 (x 2)5 x，则不等式 f 2x 3 f x 2 4的解集为
3 7 7 3 7 3
【答案】C A． ( ，1] B． (0，1] C． (0,1) D． [1， )
(3a 1)x 4a, x 1
f (x) 解：A.根据题意，
f (x) 22 x 2x 2 (x 2)5 (x 2) 2，
【解析】因为函数 是定义在R上的减函数，
x 1, x 1
令 g(x) f (x 2) 2 2 x 2x x5 x，
3a 1 0, 1 1
,
所以 3a 1 4a 1 1
1 a 1 a x x 5 x x 5，解得 7 3 .所以实数 的取值范围为 7 3 .故选：C. 则 g( x) 2 2 ( x) ( x) (2 2 x x) g(x)，故 g(x)为奇函数，
4 a log 2 b log 3 c 1
又 g(x)在 R上为减函数，
．已知 5 ， 8 ， ，则下列判断正确的是 ( )2
不等式 f 2x 3 f x 2 4，等价于 f 2x 1 2 2 f x 4 2 2 ，
A． c b a B． b a c C． a c b D． a b c
1
即g 2x 1 g x 4 g x 4 ， 对于 A，对于 f (x) 1 1 1 1 ，若 f (x) 是“1 阶马格丁香小花花”函数，则 1有解，变形可得
x x x 1 x
则 2x 1 x 4，解得 x 1 .
x2 x 1 0，而该方程无实数解，故 f (x)不是“1阶马格丁香小花花”函数，
二．多项选择题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．）

9.下列给出的角中，与 终边相同的角有（ ） 对于 B，对于 f (x) ex ，其定义域为 R ，若 f (x)是“1阶马格丁香小花花”函数，则方程 ex 1 ex e
5
9 9 11 19 x e
A． B． C． D． 有解，变形可得 (e 1)e e，解可得 x ln ，函数 f (x) ex 是“1阶马格丁香小花花”函数；5 5 5 5 e 1
【答案】AC
对于C ， f (x) lg(x2 2)，若存在 x，使 f (x 1) f (x) f （1），则 lg[(x 1)2 2] lg(x2 2) lg3，
9 9
【解析】对于 A 选项， 2 ， 5 与 的终边相同；5 5 5 即 2x2 2x 3 0，
9 8 9
对于 B 选项， ， 与 的终边不相同； 而△ 4 24 20 0，故方程无解．故 f (x) lg(x2 2)不是“1阶马格丁香小花花”函数；
5 5 5 5 5
11 11 1 1
对于 C 选项， 2 ， 与 的终边相同； 对于 D， f (x) cos x ，存在 x ，有 f ( 1) f (
1) f （1）成立，故 f (x) cos x 是“1阶马格
5 5 5 5 3 3 3
19 18 19 丁香小花花”函数，故选： BD．
对于 D 选项， ， 与 的终边不相同.故选：AC.
5 5 5 5 5 12.下列说法不正确的有（ ）
10．下列函数中，既是偶函数又在区间 (0, )单调递增的是（ ）
y x
2 1
A． 的最小值为 2
x
A．y=2x+1 B． y x2 1 C． y x3 D． y ln x
B．已知 x 1，则 y 2x
4
1的最小值为 4 2 1
【答案】BD x 1
【解析】对于 A：y=2x+1 为非奇非偶函数，故 A 错误； C．若正数 x、 y满足 x 2 y 3xy，则 2x y的最小值为3
2 21
对于 B： y x2 1为偶函数，且在 (0, )单调递增，故 B 正确； D．设 x、 y为实数，若 9x2 y2 xy 1，则3x y的最大值为 .
7
【答案】BCD
对于 C： y x3为奇函数，故 C 错误；
x2 1
【解析】对于 A 选项，当 x 0时， y 0，A选项错误；
x
对于 D： y f x ln x ，定义域为 x | x 0 ， f x ln x ln x f x ，所以 y ln x 为偶函数，
对于 B 选项，当 x 1时， x 1 0，
当 x 0时， y ln x单调递增，故 D 正确；
y 4则 2x 1 2 x 1 4 1 2 2 x 4 1 1 4 2 1，
故选：BD x 1 x 1 x 1
当且仅当 x 2 1时，等号成立，B 选项正确；11．若函数 f (x)满足：在定义域 D内存在实数 x0 ，使得 f (x0 1) f (x0 ) f（1）成立，则称函数 f (x)
x y 3 x 2y 2 1对于 C 选项，若正数 、 满足 x 2 y 3xy，则
为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列 4个函数，其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有 ( ) xy x y，
A． f (x) 1 B． f (x) ex 1 2 1 1 2x 2y 1 2x 2y
x 所以，2x y 2x y 5 5 2 3，
3 x y 3 y x 3 y x
C． f (x) lg(x2 2) D． f (x) cos x
当且仅当 x y 1时，等号成立，C 选项正确；
【分析】根据题意，依次分析选项中函数是否为“1阶马格丁香小花花”函数，综合即可得答案． 2 2 2 2 2 5
对于 D 选项，1 9x y xy 9x 6xy y 5xy 3x y 3x y
【解答】解：根据题意，依次分析选项： 3
2
5 3x y 2 7 【解析】因为 f x log4 4x 1 kx，定义域 x R，又 f x log4 4 x 1 kx log 4x4 1 x kx，
3x y 2 3x y 2，
3 4 12
由 f x f ( x) 1，则 kx x kx对任意 x R都成立，故 k 1 k，解得 k ，
2 12 2 21 2 21 2
所以， 3x y ，可得 3x y ，
7 7 7 1
故答案为： 2
当且仅当 y 3x时，等号成立，故3x y 2 21的最大值为 ，D 选项正确.
7 16．已知函数 | x2 2x |, x ，若 3 a、b、c、d、e(a b c d e)满足 f （a） f （b） f
三、填空题（每题 5 分，共 20 分） f (x)
cos -330 6 x, x 313．计算 （ ）的值为
A 1 B 3． ． C 1 3． D． （c） f （d） f （e），则M af （a） bf （b） cf （c） df （d） ef （e）的取值范围为 ．
2 2 2 2
【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求值即可． 【分析】先画出函数 f (x )的图象，根据图象即可得到 a，b， c， d ， e的位置，进而可求出 a，b，
3 c， d ， e的关系，然后代入M ，再根据函数的性质即可求出范围．
【解答】解： cos( 330 ) cos( 360 30 ) cos30 ．
2 【解答】解：函数 f (x)的图象如图所示：由图可得 a d 2， b c 2， 5 e 6，
14.命题 p： x 0， ，x 2 2x 1.则 p为 ． 所以M (a b c d e) f （e） (4 e)(6 e) e2 2e 24 (e 1)2 25，
【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得到 p． 因为 5 e 6，所以函数M 在 (5,6)上单调递减，又 e 5时，M 9， e 6时，M 0，所以M 的取
2 值范围为 (0,9)，故答案为： (0,9)．
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为 x0 (0, )， x0 2x0 1， 四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分）
2 17．已知关于 x 的不等式（ax+1）（x﹣2a）＜0 的解集
故答案为： x0 (0, )， x0 2x0 1， 为 M．
（1）a＝﹣1 时，求集合 M；
15．已知 f (x) x(x 1)(x 2 ax b)的图象关于直线 x 1对称，则 f (x)的值域为
（2）若 1∈M，2 M，求实数 a的取值范围．
9 【分析】（1）将 a＝﹣1代入求解．
【解析】[ , )。因为函数 f (x) x(x 1)(x 2 ax b)有两个零点 1，0， （2）利用 1∈M，2 M，列出不等式组求解．
4
【解答】解：（1）将 a＝﹣1代入得：（﹣x+1）（x+2）＜0，
f (x) 解得：x＜﹣2或 x＞1． ∴M＝{x|x＜﹣2或 x＞1}． （5分）又因为其图象关于直线 x 1对称，所以 2，3也是函数 的两个零点，
（2）∵1∈M，2 M．
即 f (x) x(x 1)

(x 2)(x 3)，所以 f (x) (x2 2x)(x2 2x 3)， ( + )( )＜ ＜ 或 ＞
∴ ， ∴ ＜ ≤ ．（10分）
( + )( ) ≥ ≤ ≤
2 2 y t(t 3) t2 3t (t 3 9

令 t x 2x (x 1) 1 1，则 )2 (t 1)， 18．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为 k)，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越
2 4
来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为 24m2 ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为 36m2，凤眼莲的覆
y 9 f (x) [ 9 , ) 盖面积 y （单位： m
2 ) 与月份 x （单位：月）的关系有两个函数模型 y kax (k 0,a 1) 与
所以 ，即 的值域为 ．
4 4
1
y px 2 k (p 0,k 0)可供选择．
若函数 f x log4 4x 1 kx为偶函数，则 k ___________.
（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
1 （2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 10倍以上的最小月份．（参考数据： lg2 0.3010，
【答案】 2
3
lg3 0.4711)．
【分析】（1）由题意结合给出的两个函数模型增加的快慢程度，可知选择模型 y kax (k 0,a 1)符合
要求，进一步列关于 a与 k的方程组，求得 a与 k的值，则函数解析式可求；
（2）取 x 0求得元旦放入凤眼莲的覆盖面积，再由题意列指数不等式求解．
1
【解答】解：（1）函数 y kax (k 0,a 1)与 y px 2 k (p 0,k 0)在 (0, )上都是增函数，
1
随着 x的增加，函数 y kax (k 0,a 1)的值增加的越来越快，而函数 y px 2 k的值增加的越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型 y kax (k 0,a 1)符合要求． （2分）
根据题意可知 x 2时， y 24； x 3时， y 36，
32
ka2 24 k
3 3 ，解得 ．（4分）
ka 36

a 3
2
y 32故该函数模型的解析式为 (3)x ，1《x《12， x N *； （6分）
3 2
20 2．已知函数 f (x) a ．
32 32 32 3 32 2x 1
（2）当 x 0时， y ，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是 m2，由 ( )x 10 ，
3 3 3 2 3 （1）判断并证明函数的单调性；
（2）若 a 1，
得 (3)x 10，（9分）
2 ①判断函数 f (x)的奇偶性，并说明理由．
x log 10 lg10 13 3 5.7
，（11分） 2 2
2 lg lg3 lg 2
②若 f ( 2x x) f ( 2x k) 0恒成立，求实数 k的取值范围．
x N *，x=6， 2 2
【分析】（1）函数 f (x) a 是增函数，然后运用单调性的定义证明；
即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 10倍以上的最小月份是六月份．（12分） 2x 1
（2）①求得定义域 R ，计算 f ( x)与 f (x)比较，可得 f (x)的奇偶性；19.已知关于 x的不等式 x -m 2x 0的解集为 ， 2 ，其中 m>0.
②由 f (x)的奇偶性和单调性，可得 2x2 x 2x2 k ，即 4x2 x k 0恒成立，运用判别式小于 0，
(1) 求 m的值；
2 2 2 解不等式可得所求范围．b c a
(2) 若正数 a,b,c 满足 a+b+c=m,求证： 2.
a b c 【解答】解：（1）函数 f (x) a
2
x 是增函数， （1分）2 1
由函数的定义域为 R ，任取 x1， x2 R，不妨设 x1 x2 ，
2 2 2(2x1f (x ) 2
x2 )
1 f (x2 ) a x a x x x ， （3分）1 2 1 1 2 2 (1 2 1 )(1 2 2 )
由 x1 x ，可得 2
x1 2x2 0．又 2x1 1 0,2x22 1 0，
4
可得 f (x1) f (x2 ) 0， （4分） g (x) 2
x
若选择④ 4 ，则 f (x) log2 2x 1 k 2x， x R
即 f (x1) f (x2 )，则函数 f (x)是 R 上的增函数； （5分） 因为 f ( x) log2 2 x 1 k 2 x log2 2x 1 k 1 x f (x)，2x
2x 1 故 f (x)不是偶函数；
（2）①当 a 1时， f (x) ，定义域为 R ，关于原点对称， （6分）
2x 1
综上： g(x) x k
1
， ； （4 分）
2 x x 2f ( x) 1 1 2 x x f (x)，则函数 f (x)是定义域内的奇函数； （8分）2 1 1 2 f (x) h(x) log 2x 1 1 x log a 2x 1 a 1（2）若方程 只有一个解，即 2 2 2 x只有一个解，2 2
② f ( 2x2 x) f ( 2x2 k) 0等价于 f ( 2x2 x) f ( 2x2 k) f (2x2 k)，
2
整理得： a 2x (1 a 1) 2x 1 0， （7 分）2
由 f (x)是 R 上的单调增函数，可得 2x2 x 2x2 k ，即 4x2 x k 0 恒成立， （10分）
1
令 t 2x 得 a t 2 ( a 1) t 1 0，
2
所以△ 1 16k 1 0，得 k ， （11分）
16
a (2x 1因为 ) 0，所以 a与 2x 1 同号，
2 2
所以 k 1的取值范围为 ( , )． （12分）
16
当 a 0时， 2x
1
0，则 t 2x (0,
1)（9 分）
2 2
21.已知函数 f (x) log 2x2 1 k g(x)（k 为常数， k R）.请在下面四个函数：① g1(x) x2 ②
a t 2 1 1所以方程 ( a 1) t 1 0在区间 (0, )上只有一个解，
g2 (x)
2 2
log x x2 ③ g3(x) x ④ g4 (x) 2 中选择一个函数作为 g(x)，使得 f (x)是偶函数.
因为方程对应的二次函数m(t) a t 2 (
1 a 1) 1 3 t 1图像是开口向下的，且m(0) 1 0，m( ) 0，
（1）请写出 g(x)表达式，并求 k 的值； 2 2 2
（2）设函数， 1 1 若方程 f (x) h(x)只有一个解，求 a 的x 1
2

取值范围.h x log 2 a 2 a x a 0 = a 1 4a 0 2 2 2 a 10 4 6
【答案】（1） g(x) x
1 则 解得 ， （11 分）
， k ；（2） a 0或 a 10 4 6； 1 a 1 a 22 0 1 2
2a 2
【解析】（1）因为函数 f (x) log 2x2 1 k g(x)（k 为常数， k R）.
a 10 4 6 2
1 1
所以当 时，方程 a t ( a 1) t 1 0在区间 (0, )上只有一个解；
若选择① g1(x) x
2
，则 f (x) log 2x2 1 2 2 k x2 ， x R
综上：当 a 10 4 6时，方程 f (x) h(x)只有一个实根。 （12 分）
因为 f ( x) log 2 x 22 1 k ( x) log 2 2 x 1 k x 2 x f (x) ，故 f (x)不是偶函数； 22.(12 分)已知函数 f(x)= -mx+2.
(1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 m的取值范围;
若选择② g2 (x) log2 x
x
，则 f (x) log2 2 1 k log2 x， x (0, )，故 f (x)不是偶函数；
2
(2)设函数 g(x)=f(x)- x,若 g(ln x)≤0 对任意的 x∈[e,e ]恒成立,求实数 m 的取值范围.
若选择③ g3(x) x，则 f (x) log 2x2 1 k x， x R 2解析 (1)函数 f(x)的定义域为 R,即 mx -mx+2≥0 在 R上恒成立, (1 分)
因为 f ( x) log 2 2 x 1 k ( x) log 2 2 x 1 k 1 x ， 当 m=0 时,2≥0 恒成立,符合题意, (2 分)
> ,
当 m≠0 时,有 解得 0当 k
1
时， f ( x) log x2 2 1 1 x f (x) f (x) (-m) ，故 是偶函数； -8m≤0,2 2
综上,实数 m 的取值范围是[0,8]. (4 分)
5
（2）因为 g(x)=f(x)- x= -mx+2- x,所以 g(x)≤0 即 -mx+2- x≤0,
2 2 2 2 2
即 0《mx -mx+2≤2x ,所以 g(ln x)≤0对任意的 x∈[e,e ]恒成立等价于 0≤m(ln x) -mln x+2≤2(ln x)
2 ( ) -mlnx+2≥0, 2
在 x∈[e,e ]上恒成立,即 (*)在 x∈[e,e ]上恒成立, (6 分) ( ) -mlnx+2≤2(lnx)
2
设 t=ln x,因为 x∈[e,e ],所以 t∈[1,2],
( -t)+2≥0,
不等式组(*)化为
( -t)+2≤2 ,
2
t∈[1,2]时,t -t≥0(当且仅当 t=1 时取等号). (8 分)
≥ ,
(i)当 t=1 时,不等式组(*)化为 ≤ ,恒成立, (9 分)
≥ ,
2 -t
(ii)当 t∈(1,2]时,t -t>0,所以 -2 恒成立, (10 分) ≤
-t

因为 - = ≤-1,所以 m≥-1, -t - +
-2 ( + )
因为 = =2+ ,且函数 y=2+ 在 t∈(1,2]上单调递减,所以 m≤2+ =3, -t
综上,-1≤m≤3,即实数 m 的取值范围为[-1,3]. (12 分)
6