(共17张PPT)
3．4 平行四边形
驶向胜利的彼岸
学好几何标志是会“证明”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);
(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;
(6)检查表达过程是否正确,完善.
回顾与思考
1
平行四边形的性质
定理:平行四边形的对边相等.
′
驶向胜利的彼岸
证明后的结论,以后可以直接运用.
B
D
C
A
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD,BC=DA.
定理:平行四边形的对角相等.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴∠A=∠C, ∠B=∠D.
定理:平行四边形的对角线互相平分.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴CO=AO,BO=DO.
B
D
C
A
O
定理:夹在两条平等线间的平等线段相等.
∵MN∥PQ,AB∥CD,
∴AB=CD.
B
D
C
A
M
N
P
Q
回顾 思考
等腰梯形的性质
定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.
定理:等腰梯形的两条对角线相等.
在梯形ABCD中,AD∥BC,
∵AB=DC,
∴AC=DB..
在梯形ABCD中,AD∥BC,
∵AB=DC,
∴∠A=∠D, ∠B=∠C.
B
D
C
A
B
D
C
A
证明后的结论,以后可以直接运用.
回顾 思考
等腰梯形的判定
定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD中,AD∥BC,
∵∠A=∠D或∠B=∠C,
∴AB=DC.
定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD中,AD∥BC,
∵AC=DB.
∴AB=DC.
B
D
C
A
B
D
C
A
证明后的结论,以后可以直接运用.
回顾 思考
驶向胜利的彼岸
平行四边形的判定
我思,我进步
1
定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
B
D
C
A
已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=DA..
求证:四边形ABCD是平行四边形.
分析:要证明四边形ABCD是平行四边形.可转化证明两组对边分别平行,从而作辅助线,用全等三角形来证明相应的角相等.
证明:连接AC.
∵ AB=CD,BC=DA,AC=CA,
∴ △ABC≌△CDA(SSS).
∴∠1=∠2, ∠3=∠4.
∴AB∥CD,CB∥AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
1
2
3
4
平行四边形的判定
定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
′
驶向胜利的彼岸
我思,我进步
2
已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
分析:要证明四边形ABCD是平行四边形.可转化证明两级对边分别相等,从而作辅助线,用全等三角形来证明相应的边相等.
证明:连接AC.
∵ AB∥CD,
∴ ∠1=∠2.
∵AB=CD,AC=CA,
∴△ABC≌△CDA(SAS)..
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴BC=DA.
B
D
C
A
1
2
你还有几种不同的证法
平行四边形的判定
驶向胜利的彼岸
我思,我进步
3
定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形的.
已知:如图,在四边形ABCD中, 对角线AC,BD相交于点O,CO=AO,BO=DO.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:
∵CO=AO,BO=DO,∠1=∠2,
∴△AOD≌△COB(SAS).
∴∠3=∠4.
∴AD∥CB.
同理,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
C
A
O
分析:要证明四边形ABCD是平行四边形.可转化证明两级对边分别平行,从而用全等三角形来证明相应的角相等.
你还有几种不同的证法
4
3
2
1
平行四边形的判定
′
驶向胜利的彼岸
我思,我进步
4
定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
分析:要证明四边形ABCD是平行四边形.可转化证明两组对边分别平行.从而转化为相关的角关系来证明.
证明:
∵∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠C+∠B+∠D=3600.
∴∠A+∠B=1800.
∴AD∥BC.
B
D
C
A
∴ 2∠A+2∠B=3600.
同理,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
做一做,想一想
我思,我进步
5
′
驶向胜利的彼岸
已知:如图.
求证:四边形MNOP是平行四边形.
分析:这是一道综合性题目,利用勾股定理,方程和平行四边形的判定进行计算性推理可获证.
证明:
O
M
N
P
4
5
x-3
11-x
x-5
∴四边形MNPO是平行四边形.
随堂练习
我思,我进步
6
′
驶向胜利的彼岸
已知:如图,在□ ABCD中,BF=DE.
求证:四边形AFCE是平行四边形.
分析:由已知的平行四边形和BF=DE可知,CE=AF,则转化为利用一组对应边平行且相等来证明.
证明:
∴DC∥AB,DC=AB.
∵ DE=CF,
∴CE=AF,
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,
A
B
C
D
E
F
你还有几种不同的证法
随堂练习
我思,我进步
7
′
驶向胜利的彼岸
已知:如图,在□ABCD中,∠ABC的平分线与AD相交于点P.
求证:PD+CD=BC.
分析:要证明两条线段的和等于另一条线段,可以将BC分割为两部分,来证明相应的线段相等.如将CD平移(过P作CD的平行线)到PE的位置,则可利用等角对等边来证明PE=BE,从而问题得证.
证明:过点P作PE∥CD,交BC于点E.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴PE∥CD∥AB,
∴ 四边形PDCE是平行四边形,∠1＝∠3..
∵ ∠1＝∠2.
∴∠3＝∠2.
∴PE=BE.
∴AB∥CD,AD∥BC.
∴PD+CD=BE+EC=BC.
D
B
C
A
P
3
1
E
1
2
∴ PD=EC,PE=CD.
平行四边形的判定
′
驶向胜利的彼岸
定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
回顾 思考
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
C
A
B
D
C
A
O
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠A=∠C,∠B=∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形.
知识的升华
独立
作业
P88习题3.2 1,2题.
祝你成功！
P84习题3.1 2题
驶向胜利的彼岸
1.已知:如图, AC,BD是□ABCD的两条对角线, AE⊥BD,CF⊥BD垂足分别是E,F.
求证:AE=CF.
证明:
∴AD=CB,AD∥BC.
∴ ∠1=∠2.
∵∠AED=∠CFB=900,
∴△AED≌△CFB(AAS).
∴AE=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
独立
作业
分析:要证明AE=CF,可转化全等三角形(△AED≌△CFB)的对应边来证明.
B
D
C
A
F
E
1
2
你还有几种不同的证法
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人.
条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.
下课了!(共22张PPT)
平行四边形(一)
平行四边形
A
D
B
C
O
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形是中心对称图形吗？它还有哪些性质？
平行四边形是一个中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。
①平行四边形对边平行且相等；
A
D
c
B
O
②平行四边形的对角相等邻角互补；
③平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形的性质：
④平行四边形是中心对称图形；
例1.□ABCD中，若∠B＝50°，你还能知道什么呢？
A
D
B
C
例题解析
例2.如图，□ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于O，△BOC的周长比△AOB的周长小8cm，求AB、BC的长。
O
D
C
B
A
例3.若□ABCD的周长为28cm，
AB﹕BC=4﹕3,则BC= cm，CD= cm;
6
8
基础训练
2.在□ABCD中，已知∠A=80°，那么
∠B= ,∠C= ,∠D= ;
1.下列特征中，平行四边形不一定具备的
是( )
A.对角互补 B.邻角互补
C.一组对边相等 D.内角和是360°
A
100°
80°
100°
4.在□ABCD中，已知∠A﹕∠ B =1 ﹕ 3，
那么∠C = ,∠D= ;
3.在□ABCD中，已知∠A+ ∠C =140°，
那么∠A= ,∠B= ,∠C= ;
70°
110°
70°
45°
135°
5.在□ABCD中，已知∠A=2∠ B ，
那么∠A = ,∠B= ;
6.在□ABCD中，已知∠A-∠ B =70 °，
那么∠A=∠C = , ∠B =∠D= ;
120°
60°
125°
55°
7.如图，在□ABCD中，∠D=72°，BE
平分∠ABC，则∠ABE= ；
72°
E
D
C
B
A
36°
8.若□ABCD的周长为36cm，AB=8cm,
则BC= cm，CD= cm；
9.若□ABCD的周长为44cm，AB比BC
短2cm，则AB=CD= cm,
则BC= = cm；
10
8
10
AD
12
10.如图， 在□ABCD中，AD=5，AB=3,
AE平分BAD交BC边于点E，则线段
BE、EC的长度分别为( )
A.2和3 B.3和2
C.4和1 D.1和4
E
D
C
B
A
B
11.如图，在□ABCD中，AC=24，
BD=40,AD=30,则AO= ,△BOC的
周长= ；
A
D
B
C
O
12
62
12.若平行四边形的两条对角线长分别是
8cm和10cm，则平行四边形的边长可以
是( )
A.1cm B. 8cm C.10cm D.18cm
B
13.如图，直线EF过平行四边形ABCD
对角线的交点O，分别交AB、CD于
E、F，那么阴影部分的面积是平行四
边形ABCD面积的( )
A. B.
C. D.
O
F
E
D
C
B
A
B
14.如图所示， □ABCD的周长为36cm，
AB﹕BC=1﹕2,∠B﹕∠C=1﹕2，E是BC
边的中点，求AE的长；
E
D
C
B
A
