2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1等差数列的概念 分类练习word版含答案
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1等差数列的概念 分类练习word版含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 536.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-10 10:01:15 | ||
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文档简介
4.2.1等差数列的概念
◆等差数列的定义与通项公式
1．（2021·江苏·高二专题练习）下面数列中，是等差数列的有( )
①4,5,6,7,8…②3,0，－3,0，－6，…③0,0,0,0…④，，，，…
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021·北京四中高二期中）在等差数列40，37，34，……中，第6项是（ ）
A．28 B．25 C．24 D．22
3．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列：3，7，11，15，…．
（1）求的通项公式；
（2）135，是数列的项吗？如果是，是第几项？
◆等差数列的性质应用
1．（2021·全国·高二课时练习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（ ）
A．8 B．6 C． D．3
2．（2021·贵州·贵阳市第二十五中学高一月考）在等差数列中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高二期中（文））在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于（ ）
A．5 B．8 C．10 D．14
4．（2021·全国·高二课时练习）等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则（ ）
A．10 B．20 C．40 D．2＋log25
5．（多选）（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列满足，且，则（ ）
A． B．
C． D．
◆等差数列的递推公式与证明
1．（2021·山东枣庄·高二期末）在数列中，若，，则________．
2．（2021·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，且，证明：数列是等差数列
◆等差数列的综合应用
1．（2021·北京市丰台第八中学高二期中）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
2．（2021·全国·高二课时练习）下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个结论：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列.其中正确的为（ ）
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
3．（2020·上海市嘉定区第一中学高三期中）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是________
巩固提升
一、单选题
1．等差数列{1－3n}的公差d等于（ ）
A．1 B．3
C．－3 D．n
2．已知等差数列中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（ ）
A．4 B．8.5 C．12.5 D．15.5
4．若数列是单调递增的整数数列，且，，则正整数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．在数列中，，.若为等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（ ）
A．25 B．24 C．20 D．19
7．在数列中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则（ ）
A．公差d＝－4
B．a2＝7
C．数列{an}为递增数列
D．a3＋a4＋a5＝84
9．下列说法错误的有（ ）
A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
10．已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N*)，若2021是该数列的一项，则公差d不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．设d为等差数列的公差，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝________.
13．若数列是等差数列，，，则________.
14．已知数列的通项公式为(p，q为常数，)，若是等差数列，则p，q应满足___________.
15．①在数列中，若是常数，，则数列是等差数列；②设数列是等差数列，若，则；③数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有；④若数列是等差数列，则，…也成等差数列，上述命题中，其中正确的命题的序号为________.
四、解答题
16．已知在递增的等差数列中，，．
（1）求和；
（2）求的通项公式．
17．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N*).
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
18．已知数列满足.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围；
（3）令，是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
◆等差数列的定义与通项公式
1．C
①是以4为首项，以1为公差的等差数列；②后一项减前一项不是常数，所以不是等差数列；③是常数列，所以是等差数列；④是以为首项，以为公差的等差数列.
故答案为C.
2．B
由题意知为等差数列，且，则，所以，
故选：B.
3．
（1）
（2）135是数列的项，是第34项．是数列的项，是第项．
（1）
设数列的公差为d．
依题意，有，，
∴．
（2）
令，得，∴135是数列的项，是第34项．
∵，且，
∴是数列的项，是第项．
◆等差数列的性质应用
1．D
∵，，
∴，
∴，
∴和的等差中项是．
故选：D.
2．B
由等差中项的性质可得.
故选：B.
3．C
a1＋a7＝a3＋a5＝10.
故选：C
4．B
解：因为 ，所以原式＝log2220＝20.
故选：B.
5．CD
解：根据等差数列的性质，得，
因为，所以，
所以.
又，所以，，
故选：CD.
◆等差数列的递推公式与证明
1．
【分析】
根据题干递推关系可知数列为等差数列，由等差数列通项公式求出.
【详解】
因为，即，
所以数列是公差为的等差数列，
又，
所以.
故答案为：.
2．证明见解析
证明：，
，是以为首项，为公差的等差数列.
◆等差数列的综合应用
1．B
设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，
且，故公差，
故，
故选：B.
2．D
解：设等差数列首项a1，d>0，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，∴数列{an}递增，故p1正确；
nan＝dn2＋(a1－d)n，当n<时，不递增，故p2错误；
＝d＋，当时，不递增，故p3错误；
[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，所以{an＋3nd}递增，故p4正确，
故选：D.
3．4
若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差，
故为正整数，关于d单减，
，则当时，故取得最小值为4，
故答案为：4
巩固提升
1．C
∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，
∴d＝a2－a1＝－3.
2．D
，，则，故，
.
故选：D.
3．D
因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，
记该等差数列为，设其公差为，
因为冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，
所以，即，即，则，
所以，因此，
故选：D.
4．C
由题意得数列，，…，构成首项为，公差为的等差数列时，最大，此时数列的通项公式 ，令，得．
故选：C
5．A
解：，，且数列是等差数列，
，
，
，
.
故选：A
6．A
设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为，则
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴的公差，
∴.
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴，即.
又∵，∴两个数列有25个相同的项.
故选：A.
7．B
由，
得，可得.
设，
可得数列为等差数列，其公差为，
由，，可得，，
,
所以，
故，
所以.
故选：.
8．BC
解析：∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7．
∵a1＝3，∴d＝4．∴数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15．
∴a3＋a4＋a5＝3a4＝45．
故选：BC
9．ABD
A：显然成等差数列，但是显然不成等差数列，因此本说法不正确；
B：显然成等差数列，但是这三个式子没有意义，因此本说法不正确；
C：因为a，b，c成等差数列，所以，因为，
所以成等差数列，因此本说法正确；
D：显然成等差数列，但是，显然不成等差数列，因此本说法不正确；
故选：ABD
10．BCD
解：由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n－1)d，所以n＝＋1，因为d∈N*，所以d是2 018的约数，故d不可能是3，4和5.
故选：BCD.
11．ABC
由得：，则，A正确；
，B正确；
，C正确；
，即，D错误.
故选：ABC
12．2n－5
由题知，a1＝－3，d＝2，an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.
13．32
∵ 数列是等差数列，
∴ 若，则，
∴，又，，
∴ ，
故答案为：32.
14．，q为实常数
若为等差数列，
则为常数，
所以，为实常数.
故答案为：，为实常数
15．①②③④
对于①：根据等差数列的定义，后一项与前一项的差为同一个常数，即是常数，，故①正确；
对于②：若数列是等差数列，则，所以，，，所以，.
因为，所以.故②正确；
对于③：由等差中项的定义可知：数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有；故③正确；
对于④：若数列是等差数列，则.
令，则，，所以为同一个常数，
所以是等差数列，所以，…也成等差数列.故④正确.
故答案为：①②③④.
16．
（1），
（2）
解：（1）
因为，所以且递增∴，
（2）
设数列的公差为，所以∴，，
∴．
17．
（1）证明见解析
（2），n∈N*
（1）
证明 由
即－＝，n∈N*，故数列是等差数列.
（2）
由（1）知＝＋＝，
所以，n∈N*.
18．
（1）证明见详解；
（2）；
（3）3，14
（1）
由得，所以， ，
所以数列是等差数列，公差为1，首项为2；
（2）
由1问知，所以，
由得对任意的恒成立，
所以，
设解得，所以时取最大值，
故，所以；
（3）
由1问知，则
所以
令，
当时，；
当时，．
当时，，所以不是整数．
所以满足条件的k的值为3，14．
◆等差数列的定义与通项公式
1．（2021·江苏·高二专题练习）下面数列中，是等差数列的有( )
①4,5,6,7,8…②3,0，－3,0，－6，…③0,0,0,0…④，，，，…
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021·北京四中高二期中）在等差数列40，37，34，……中，第6项是（ ）
A．28 B．25 C．24 D．22
3．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列：3，7，11，15，…．
（1）求的通项公式；
（2）135，是数列的项吗？如果是，是第几项？
◆等差数列的性质应用
1．（2021·全国·高二课时练习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（ ）
A．8 B．6 C． D．3
2．（2021·贵州·贵阳市第二十五中学高一月考）在等差数列中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高二期中（文））在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于（ ）
A．5 B．8 C．10 D．14
4．（2021·全国·高二课时练习）等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则（ ）
A．10 B．20 C．40 D．2＋log25
5．（多选）（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列满足，且，则（ ）
A． B．
C． D．
◆等差数列的递推公式与证明
1．（2021·山东枣庄·高二期末）在数列中，若，，则________．
2．（2021·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，且，证明：数列是等差数列
◆等差数列的综合应用
1．（2021·北京市丰台第八中学高二期中）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
2．（2021·全国·高二课时练习）下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个结论：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列.其中正确的为（ ）
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
3．（2020·上海市嘉定区第一中学高三期中）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是________
巩固提升
一、单选题
1．等差数列{1－3n}的公差d等于（ ）
A．1 B．3
C．－3 D．n
2．已知等差数列中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（ ）
A．4 B．8.5 C．12.5 D．15.5
4．若数列是单调递增的整数数列，且，，则正整数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．在数列中，，.若为等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（ ）
A．25 B．24 C．20 D．19
7．在数列中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则（ ）
A．公差d＝－4
B．a2＝7
C．数列{an}为递增数列
D．a3＋a4＋a5＝84
9．下列说法错误的有（ ）
A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
10．已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N*)，若2021是该数列的一项，则公差d不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．设d为等差数列的公差，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝________.
13．若数列是等差数列，，，则________.
14．已知数列的通项公式为(p，q为常数，)，若是等差数列，则p，q应满足___________.
15．①在数列中，若是常数，，则数列是等差数列；②设数列是等差数列，若，则；③数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有；④若数列是等差数列，则，…也成等差数列，上述命题中，其中正确的命题的序号为________.
四、解答题
16．已知在递增的等差数列中，，．
（1）求和；
（2）求的通项公式．
17．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N*).
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
18．已知数列满足.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围；
（3）令，是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
◆等差数列的定义与通项公式
1．C
①是以4为首项，以1为公差的等差数列；②后一项减前一项不是常数，所以不是等差数列；③是常数列，所以是等差数列；④是以为首项，以为公差的等差数列.
故答案为C.
2．B
由题意知为等差数列，且，则，所以，
故选：B.
3．
（1）
（2）135是数列的项，是第34项．是数列的项，是第项．
（1）
设数列的公差为d．
依题意，有，，
∴．
（2）
令，得，∴135是数列的项，是第34项．
∵，且，
∴是数列的项，是第项．
◆等差数列的性质应用
1．D
∵，，
∴，
∴，
∴和的等差中项是．
故选：D.
2．B
由等差中项的性质可得.
故选：B.
3．C
a1＋a7＝a3＋a5＝10.
故选：C
4．B
解：因为 ，所以原式＝log2220＝20.
故选：B.
5．CD
解：根据等差数列的性质，得，
因为，所以，
所以.
又，所以，，
故选：CD.
◆等差数列的递推公式与证明
1．
【分析】
根据题干递推关系可知数列为等差数列，由等差数列通项公式求出.
【详解】
因为，即，
所以数列是公差为的等差数列，
又，
所以.
故答案为：.
2．证明见解析
证明：，
，是以为首项，为公差的等差数列.
◆等差数列的综合应用
1．B
设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，
且，故公差，
故，
故选：B.
2．D
解：设等差数列首项a1，d>0，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，∴数列{an}递增，故p1正确；
nan＝dn2＋(a1－d)n，当n<时，不递增，故p2错误；
＝d＋，当时，不递增，故p3错误；
[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，所以{an＋3nd}递增，故p4正确，
故选：D.
3．4
若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差，
故为正整数，关于d单减，
，则当时，故取得最小值为4，
故答案为：4
巩固提升
1．C
∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，
∴d＝a2－a1＝－3.
2．D
，，则，故，
.
故选：D.
3．D
因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，
记该等差数列为，设其公差为，
因为冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，
所以，即，即，则，
所以，因此，
故选：D.
4．C
由题意得数列，，…，构成首项为，公差为的等差数列时，最大，此时数列的通项公式 ，令，得．
故选：C
5．A
解：，，且数列是等差数列，
，
，
，
.
故选：A
6．A
设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为，则
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴的公差，
∴.
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴，即.
又∵，∴两个数列有25个相同的项.
故选：A.
7．B
由，
得，可得.
设，
可得数列为等差数列，其公差为，
由，，可得，，
,
所以，
故，
所以.
故选：.
8．BC
解析：∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7．
∵a1＝3，∴d＝4．∴数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15．
∴a3＋a4＋a5＝3a4＝45．
故选：BC
9．ABD
A：显然成等差数列，但是显然不成等差数列，因此本说法不正确；
B：显然成等差数列，但是这三个式子没有意义，因此本说法不正确；
C：因为a，b，c成等差数列，所以，因为，
所以成等差数列，因此本说法正确；
D：显然成等差数列，但是，显然不成等差数列，因此本说法不正确；
故选：ABD
10．BCD
解：由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n－1)d，所以n＝＋1，因为d∈N*，所以d是2 018的约数，故d不可能是3，4和5.
故选：BCD.
11．ABC
由得：，则，A正确；
，B正确；
，C正确；
，即，D错误.
故选：ABC
12．2n－5
由题知，a1＝－3，d＝2，an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.
13．32
∵ 数列是等差数列，
∴ 若，则，
∴，又，，
∴ ，
故答案为：32.
14．，q为实常数
若为等差数列，
则为常数，
所以，为实常数.
故答案为：，为实常数
15．①②③④
对于①：根据等差数列的定义，后一项与前一项的差为同一个常数，即是常数，，故①正确；
对于②：若数列是等差数列，则，所以，，，所以，.
因为，所以.故②正确；
对于③：由等差中项的定义可知：数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有；故③正确；
对于④：若数列是等差数列，则.
令，则，，所以为同一个常数，
所以是等差数列，所以，…也成等差数列.故④正确.
故答案为：①②③④.
16．
（1），
（2）
解：（1）
因为，所以且递增∴，
（2）
设数列的公差为，所以∴，，
∴．
17．
（1）证明见解析
（2），n∈N*
（1）
证明 由
即－＝，n∈N*，故数列是等差数列.
（2）
由（1）知＝＋＝，
所以，n∈N*.
18．
（1）证明见详解；
（2）；
（3）3，14
（1）
由得，所以， ，
所以数列是等差数列，公差为1，首项为2；
（2）
由1问知，所以，
由得对任意的恒成立，
所以，
设解得，所以时取最大值，
故，所以；
（3）
由1问知，则
所以
令，
当时，；
当时，．
当时，，所以不是整数．
所以满足条件的k的值为3，14．