江西省宜春市上高县第二高中2022届高三上学期第四次月考数学（理）试卷（Word版含答案）

上高县第二高中2022届高三第四次月考
数学（理科）试题
一、单选题
1．若集合，，则＝（ ）
A． B． C． D．或
2．已知命题p：，总有，则为（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，总有 D．，总有
3．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为其终边上的一点，将角逆时针旋转30°，交单位圆于点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，求的值（ ）
A． B． C．或 D．
6．如图所示的曲线为函数（，，）的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．函数在上单调递减 B．点为图象的一个对称中心
C．直线为图象的一条对称轴 D．函数在上单调递增
7．函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
9．已知菱形ABCD的边长为4，点M是线段CD的中点，，则=（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知定义在上的可导函数，对任意的实数x，都有，且当时，恒成立，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若，，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知实数，满足则的最大值为_______．
14．已知向量，，，则实数k的值为______．
15．如图是2021年9月17日13：34神州十二号返回舱(图中C)接近地面的场景.伞面是表面积为1200m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于D，D和观测点A在同一水平线上.在A测得点B的仰角∠(DAB＝30°，且BC的视角∠BAC满足sin∠BAC＝，则此时返回舱底端离地面距离CD＝____________.(π＝3.14，sin∠ACB＝，计算过程中，球半径四舍五入保留整数，长度单位：m).
16．已知函数，，若函数有3个不同的零点，，，且，则的取值范围是_____________.
三、解答题
17．已知直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
(Ⅰ) 求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
(Ⅱ) 设直线与曲线相交于两点，求的值．
18．已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若存在，不等式成立，求实数的取值范围．
19．在中，内角所对的边分别为，若，，且.
（1）求角的大小;
（2）在①成等差数列，②成等差数列，③成等差数列这三个条件中任选一个作为已知条件，求的面积.(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
20．已知函数.
（1）当时，为R上的增函数，求a的最小值；
（2）若，，，求x的取值范围.
21．如图，四边形是正方形，平面，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值．
22．已知函数．
（1）当时，判断的单调性，并求在上的最值；
（2），，求a的取值范围．
参考答案
1．D
2．B
3．A
4．A
5．D
6．D
7．D
8．A
9．A
10．C
11．D
12．D
13．5 14． 15． 16．
17．(1) ;(2)4.
【详解】
分析：（1）利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；
（2）代入建立一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果.
详解：(1)∵直线的参数方程为（为参数），
∴直线的普通方程为，
即，∴直线的极坐标方程：，
又∵曲线的极坐标方程为，，，
∴，即，
∴曲线的直角坐标方程为.
(2)∵将直线：代入曲线的极坐标方程：得：，
设直线与曲线的两交点的极坐标分别为，，∴，
∴．
18．（1）；（2）或．
【分析】
（1）代入，可得，然后使用零点分段法分类讨论即可.
（2）得到，利用绝对值三角不等式计算即可.
【详解】
解：（1）若，，
，
当时，，即，
当时，恒成立，即，
当时，，即
综上：不等式解集为．
（2）
存在，不等式成立，只需要，
，即，
等号成立条件为，
当时，，，或，
当时，，，，
综上：或．
19．条件选择见解析（1）；（2）.
【详解】
（1）因为所以，由正弦定理可得，即，又，所以.
（2）若选①，
由基本不等式可知：，所以，所以，当且仅当a=c时取“=” .
又所以，即则所以.
又，所以是正三角形，所以.
若选，
由条件可知，，所以，所以，所以，所以.
又，所以是正三角形，所以.
若选③，
由题意可知，，所以，所以，所以
又，所以是正三角形，所以.
20．
（1）
（2）
【分析】
（1）代入，由于函数为R上的增函数，所以导数大于或等于零恒成立，利用基本不等式求出最小值，令其大于或等于零即可求出的最小值；
（2）根据导数可判断函数为增函数，根据函数单调性解不等式.
（1）
当时，，
∴对恒成立，
则，
∵，
当且仅当即时取等号，
∴，
则a的最小值为.
（2）
∵，
∴.
∵，
∴，，，
∴，所以为R上的增函数.
∵，
∴，∴.
∵，∴，
故x的取值范围为.
21．（1）证明见解析；（2）.
【详解】
（1）如图所示：
连接与交于点O，因为为正方形，故，
又平面，故，由，
故平面，
取的中点M，连接，注意到为的中位线，
故，且，
因此，且，
故为平行四边形，即，
因此平面，而平面，
故平面平面．
（2）以A为坐标原点，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，
由（1）可知平面，因此平面的一个法向量为，
而，
由与平面所成角为，得，
即，解得；
则，
设平面的一个法向量为，
则得
令，则，故．
设平面的一个法向量，
则得
令，则，，故．
所以，
注意到二面角为钝二面角，
故二面角的余弦值为．
22．（1）增函数，最大值为，最小值为；（2）．
【详解】
（1）当时，，定义域为．
．
设，则，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则．
所以在上为增函数．
故在上的最大值为，最小值为．
（2）不等式可转化为．
令，则．
当时，．在上单调递减；
当时，．在上单调递增．
所以，于是，
记，，
则，
因为在上恒成立，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以，从而．
故的取值范围是．