【精品解析】高中数学人教A版（2019）选择性必修 第二册 4.1 数列的概念

高中数学人教A版（2019）选择性必修 第二册 4.1 数列的概念
一、单选题
1．（2021高三上·湖州期中）已知数列 满足 ，且 ， ，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021高二上·河南月考）下列数列是递增数列的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021高二上·河南月考）猜想数列 的一个通项公式为 （　　）
A． B．
C． D．
4．（2021高一上·桂林月考）已知按规律排列的数列 ，则该数列的第171项为（　　）
A．17 B．18 C．19 D．20
5．（2021高三上·河南开学考）若数列 满足： ，则数列 的通项公式为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021高一下·四川期末）在数列 中， ， ，则 （　　）
A．-1 B．1 C．7 D．8
7．（2021高三上·水富月考）“中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为（　　）
A．167 B．168 C．169 D．170
8．（2021高二下·淄博期末）一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下．佛塔依山势自上而下，按1，3，3，5，5，7，9，11，13，15，17，19的奇数排列成十二行．现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，……，108，则编号为22的佛塔所在层数为（　　）
A．第5行 B．第6行 C．第7行 D．第8行
9．（2021高一下·威宁县期末）数列后 ，3， ， ，…，则 是这个数列的第（　　）
A．8项 B．7项 C．6项 D．5项
10．（2021高二下·南阳期末）某数列前10项是 ，按此规律推理，该数列中奇数项的通项公式可以是（　　）
A． B． C． D．
11．（2021高一下·大通期末）在数列 中， ，则此数列最大项的值是
A．103 B． C． D．108
12．（2021·呼和浩特模拟）若数列 满足 ， ，则该数列的前2021项的乘积是（　　）
A．-2 B．-1 C．2 D．1
13．（2021·安徽模拟）将数列{3n-1}与{2n+1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的第10项为（　　）
A．210-1 B．210+1 C．220-1 D．220+1
二、多选题
14．（2021高三上·天河月考）在数列 中，若 （ ， ， 为常数），则称数列 为“开方差数列”，则下列判断正确的是（　　）
A． 是开方差数列
B．若 是开方差数列，则 是等差数列
C．若 是开方差数列，则 也是开方差数列（ ， 为常数）
D．若 既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
15．（2020高二上·湖北期中）数列 满足 ，且对任意的 都有 ，则下列说法中正确的是（　　）
A．
B．数列 的前2020项的和为
C．数列 的前2020项的和为
D．数列 的第50项为2550
三、填空题
16．（2021高三上·湖南期中）已知数列 为 ，…，则它的第9项为　 　；写出数列 的通项公式　 　.
17．（2020高二上·东城期末）已知数列 的前n项和 ，则 　 　.
18．（2021高二上·河南月考）已知数列 的前 项和 ，则 　 　， 的最大值为　 　.
19．（2021·福建模拟）已知数列 的前 项和为 ，则数列 的通项公式为　 　.
20．（2021·朝阳模拟）函数y=f（x），x∈[1，+∞），数列{an}满足 ，
①函数f（x）是增函数；
②数列{an}是递增数列．
写出一个满足①的函数f（x）的解析式　 　．
写出一个满足②但不满足①的函数f（x）的解析式　 　．
四、解答题
21．（2021高二下·长沙期末）已知数列 的前n项和 ，
（1）求数列 的前20项的和；
（2）求数列 的通项公式；
（3）求数列 的前多少项和最大．
22．（2021高三上·深圳月考）已知数列 满足： ．
（I）求 ；
（Ⅱ）求数列 的通项公式；
（Ⅲ）记 为数列 的前n项和 ，求证： ．
23．（2020高三上·新疆月考）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝ an.
（1）求a2，a3；
（2）求{an}的通项公式.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；不等式的基本性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，即数列 递减，则 ，
∵ ，
∴两边取倒数得 ，即 ，则 ，
∵数列 递减，
∴当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ， ，…， ，
∴根据不等式的性质可得 ，即 ，
∴ 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合递推关系变形，再利用数列的单调性结合不等式的基本性质，从而求出的取值范围。
2．【答案】C
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】对于A，令 ，则 ， ，不合题意；
对于B，令 ， 则 ， ，不合题意；
对于C，令 ，则 ，符合题意.
对于D，令 ，则 ， ，不合题意.
故答案为：C
【分析】根据题意对n赋值结合数列的单调性，对选项逐一验证，即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】根据数列可得，分母3，5，7，9，…满足 ，
分子2，8，26，80，…满足 ，
又数列的奇数项为负，偶数项为正，所以可得 .
故答案为：D.
【分析】根据题意由项的性质即可得出分母满足数列，分子满足数列，由此即可得出数列的通项公式。
4．【答案】A
【知识点】数列的函数特性；数列的求和
【解析】【解答】由规律知：0、1、2、3、…分别有1、2、3、4、…个，
∴数字 有 个， ，故截至 共有 项.
令 ，则 ，可得 或 (舍去)，
∴数列的第171项为 .
故答案为：A
【分析】根据题意求出数列中的项，再由已知条件即可得出，由此得到关于n的方程，求解出n的值即可。
5．【答案】D
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】由 ①得，当 时 ②
由①-②得
当 时 也满足上式
故答案为：D
【分析】 直接求出b1 = 2即可得到答案，也可直接求解通项公式.
6．【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由a1=1， 得
a2=2a1-1=2×1-1=1
a3=2a2-1=2×1-1=1
a4=2a3-1=2×1-1=1
a5=2a4-1=2×1-1=1
a6=2a5-1=2×1-1=1
a7=2a6-1=2×1-1=1
a8=2a7-1=2×1-1=1
故答案为：B
【分析】根据数列的递推公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】由题意得，能被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数，所以 ， ，由 ，即 ，所以 ，由 ，所以此数列的项数为169.
故答案为：C
【分析】由题意得，能被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数，所以 ， ，由 ，解出n的范围，由n∈N*，即可得到答案.
8．【答案】B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】 ，
∴编号为22的佛塔在第6行，
故答案为：B
【分析】根据题意由数列的性质即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：数列 ，3， ， ， ，
可化为：数列 ， ， ， ， ，
则数列的通项公式为： ，
当 时，则 ，
解得： ，
故 是这个数列的第7项.
故答案为：B．
【分析】 根据已知中数列的前若干项，归纳总结出数列的通项公式，进而构造关于n的方程，解方程得到答案.
10．【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：因为第一项为0，D不符合题意；
第三项为4，AC不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据题意由数列的规律推理整理即可得出答案。
11．【答案】D
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性
【解析】【解答】根据题意并结合二次函数的性质可得： 时， 取得最大值，最大项 的值为108．
故答案为：D
【分析】 结合抛物线的性质判断函数的对称轴，结合抛物线的性质进行求解即可.
12．【答案】C
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】因为数列 满足 ， ，
所以 ，同理可得 ，…
所以数列 每四项重复出现，即 ，且 ，
而 ，
所以该数列的前2021项的乘积是 .
故答案为：C.
【分析】根据题意首先由递推关系式，分析得到{an}是以4为周期的一个周期数列，即可求得结论．
13．【答案】D
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】设 ， ，
令 ， ，
则 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
即 ， ， ，……，
所以 。
故答案为：D
【分析】设 ， ，根据题意，令 ， ，则 ，解得 ，又因为 ，所以 ，进而找出数列 {an}与数列 {}的关系式，从而求出数列{an}的第十项的值。
14．【答案】C,D
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列概念与表示
【解析】【解答】A： ，故 不是开方差数列，错误；
B： 不一定为常数，错误；
C： ，所以 为常数，即 为开方差数列，正确；
D：由题意， 且 ，m为常数，则 ，所以 时 为常数，则 为常数列，当 时， ，则 也为常数列，正确.
故答案为：CD
【分析】利用已知条件结合 “开方差数列” 和等差数列的定义和常数项的定义，从而找出判断正确的选项。
15．【答案】A,C
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
所以 时， ，
也适合此式，所以 ，
，A符合题意，D不符合题意，
，
数列 的前 项和为 ，B不符合题意，C符合题意．
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合递推公式变形，从而结合求和法和等差数列前n项和公式，进而求出数列的通项公式，再利用代入法求出数列第50项的值，再结合裂项相消的方法，从而求出数列 的前2020项的和，进而找出说法正确的选项。
16．【答案】46；
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的递推公式
【解析】【解答】由题意，第9项为 ；
根据数列的规律得到其递推关系为 ，
∵ ，∴
得到 ，所以 ，
令 ， 是奇数， ，所以 ；
因为 ，所以 ，
令 ， 是偶数， ，所以 ；
故 .
故答案为：46； .
【分析】 根据题意，分析数列各项的规律，由此即可得出数列的递推公式，再对n分情况讨论由此分析可得答案。
17．【答案】3
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和
【解析】【解答】由题意，数列 的前n项和 ，
可得 .
故答案为：3
【分析】由数列的前n项和公式的定义即可得出，代入数值计算出结果即可。
18．【答案】26；4
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】当 时， ，
当 时， ，
检验 时， ，
所以 ，则 .
当 时， .
当 时， ，故 的最大值为4.
故答案为：26，4
【分析】 根据题意，由数列的前n项和公式求出数列{an }的通项，求出a2、a5的值，相加可得 的值；进而可得的表达式，即可求出 的最大值 。
19．【答案】
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和
【解析】【解答】由 ，可得当 时， ，
则 ，即 ，故 ，
所以 .
当 满足 .
故数列 的通项公式为 .
故答案为：
【分析】首先由数列前n项和公式以及定义求出数列的通项公式即可。
20．【答案】f（x）=x2；
【知识点】数列的函数特性；数列与函数的综合
【解析】【解答】由题意可知：在x∈[1，+∞）这个区间上是增函数的函数有许多，可写为：f（x）=x2．
第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为： ．
则这个函数在[1， ]上单调递减，在[ ，+∞）上单调递增，
∴ 在[1，+∞）上不是增函数，不满足①．
而对应的数列为： 在n∈N*上越来越大，属递增数列．
故答案为：f（x）=x2； ．
【分析】结合二次函数的性质即可得出满足条件的函数f(x)的解析式， 函数和对应的数列增减性不同结合题意即可得出答案。
21．【答案】（1）由题意得S20=32×20-202+1=241
（2）解：当n≥2时，an=sn-sn-1=(32n-n2+1)-[32(n-1)-(n-1)2+1]=-2n+33
当n=1时，a1=s1=32不符合上式，
则数列 的通项公式为
（3）解：sn=32n-n2+1=-(n-16)2+257
则当n=16时，sn取得最大值257
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【分析】根据数列的求和公式，利用an与sn的关系，结合二次函数的最值问题求解即可.
22．【答案】（I）由已知可得当 时， ，
当 时， ，可得 ；
（Ⅱ）由 ，
当 时， ，
两式相减可得 ，则 ，满足 ，
；
（Ⅲ） ，
则 ，
，则 ，则 ，则 ，
则 ，则 ，即 .
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法，从而求出数列的首项的值和第二项的值。
（2）利用已知条件结合 与的关系式，再结合分类讨论的方法，从而求出数列 的通项公式 。
（3） 利用数列 的通项公式求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，从而求出数列 的前n项和 ，再利用放缩法，从而证出不等式 成立。
23．【答案】（1）解：由S2＝ a2，得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.
由S3＝ a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝ (a1＋a2)＝6
（2）解：当n>1时，有an＝Sn－Sn－1＝ an－ an－1，
整理得an＝ an－1.
又a1＝1，
所以a2＝ a1，
a3＝ a2，
…
an－1＝ an－2，
an＝ an－1，
将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝ .
当n＝1时，满足上式.
综上，{an}的通项公式an＝
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据条件依次代入求a2，a3；（2）先根据和项与通项关系得an＝ an－1，再利用累乘法求通项.
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一、单选题
1．（2021高三上·湖州期中）已知数列 满足 ，且 ， ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；不等式的基本性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，即数列 递减，则 ，
∵ ，
∴两边取倒数得 ，即 ，则 ，
∵数列 递减，
∴当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ， ，…， ，
∴根据不等式的性质可得 ，即 ，
∴ 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合递推关系变形，再利用数列的单调性结合不等式的基本性质，从而求出的取值范围。
2．（2021高二上·河南月考）下列数列是递增数列的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】对于A，令 ，则 ， ，不合题意；
对于B，令 ， 则 ， ，不合题意；
对于C，令 ，则 ，符合题意.
对于D，令 ，则 ， ，不合题意.
故答案为：C
【分析】根据题意对n赋值结合数列的单调性，对选项逐一验证，即可得出答案。
3．（2021高二上·河南月考）猜想数列 的一个通项公式为 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】根据数列可得，分母3，5，7，9，…满足 ，
分子2，8，26，80，…满足 ，
又数列的奇数项为负，偶数项为正，所以可得 .
故答案为：D.
【分析】根据题意由项的性质即可得出分母满足数列，分子满足数列，由此即可得出数列的通项公式。
4．（2021高一上·桂林月考）已知按规律排列的数列 ，则该数列的第171项为（　　）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】A
【知识点】数列的函数特性；数列的求和
【解析】【解答】由规律知：0、1、2、3、…分别有1、2、3、4、…个，
∴数字 有 个， ，故截至 共有 项.
令 ，则 ，可得 或 (舍去)，
∴数列的第171项为 .
故答案为：A
【分析】根据题意求出数列中的项，再由已知条件即可得出，由此得到关于n的方程，求解出n的值即可。
5．（2021高三上·河南开学考）若数列 满足： ，则数列 的通项公式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】由 ①得，当 时 ②
由①-②得
当 时 也满足上式
故答案为：D
【分析】 直接求出b1 = 2即可得到答案，也可直接求解通项公式.
6．（2021高一下·四川期末）在数列 中， ， ，则 （　　）
A．-1 B．1 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由a1=1， 得
a2=2a1-1=2×1-1=1
a3=2a2-1=2×1-1=1
a4=2a3-1=2×1-1=1
a5=2a4-1=2×1-1=1
a6=2a5-1=2×1-1=1
a7=2a6-1=2×1-1=1
a8=2a7-1=2×1-1=1
故答案为：B
【分析】根据数列的递推公式求解即可.
7．（2021高三上·水富月考）“中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为（　　）
A．167 B．168 C．169 D．170
【答案】C
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】由题意得，能被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数，所以 ， ，由 ，即 ，所以 ，由 ，所以此数列的项数为169.
故答案为：C
【分析】由题意得，能被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数，所以 ， ，由 ，解出n的范围，由n∈N*，即可得到答案.
8．（2021高二下·淄博期末）一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下．佛塔依山势自上而下，按1，3，3，5，5，7，9，11，13，15，17，19的奇数排列成十二行．现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，……，108，则编号为22的佛塔所在层数为（　　）
A．第5行 B．第6行 C．第7行 D．第8行
【答案】B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】 ，
∴编号为22的佛塔在第6行，
故答案为：B
【分析】根据题意由数列的性质即可得出答案。
9．（2021高一下·威宁县期末）数列后 ，3， ， ，…，则 是这个数列的第（　　）
A．8项 B．7项 C．6项 D．5项
【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：数列 ，3， ， ， ，
可化为：数列 ， ， ， ， ，
则数列的通项公式为： ，
当 时，则 ，
解得： ，
故 是这个数列的第7项.
故答案为：B．
【分析】 根据已知中数列的前若干项，归纳总结出数列的通项公式，进而构造关于n的方程，解方程得到答案.
10．（2021高二下·南阳期末）某数列前10项是 ，按此规律推理，该数列中奇数项的通项公式可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：因为第一项为0，D不符合题意；
第三项为4，AC不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据题意由数列的规律推理整理即可得出答案。
11．（2021高一下·大通期末）在数列 中， ，则此数列最大项的值是
A．103 B． C． D．108
【答案】D
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性
【解析】【解答】根据题意并结合二次函数的性质可得： 时， 取得最大值，最大项 的值为108．
故答案为：D
【分析】 结合抛物线的性质判断函数的对称轴，结合抛物线的性质进行求解即可.
12．（2021·呼和浩特模拟）若数列 满足 ， ，则该数列的前2021项的乘积是（　　）
A．-2 B．-1 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】因为数列 满足 ， ，
所以 ，同理可得 ，…
所以数列 每四项重复出现，即 ，且 ，
而 ，
所以该数列的前2021项的乘积是 .
故答案为：C.
【分析】根据题意首先由递推关系式，分析得到{an}是以4为周期的一个周期数列，即可求得结论．
13．（2021·安徽模拟）将数列{3n-1}与{2n+1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的第10项为（　　）
A．210-1 B．210+1 C．220-1 D．220+1
【答案】D
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】设 ， ，
令 ， ，
则 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
即 ， ， ，……，
所以 。
故答案为：D
【分析】设 ， ，根据题意，令 ， ，则 ，解得 ，又因为 ，所以 ，进而找出数列 {an}与数列 {}的关系式，从而求出数列{an}的第十项的值。
二、多选题
14．（2021高三上·天河月考）在数列 中，若 （ ， ， 为常数），则称数列 为“开方差数列”，则下列判断正确的是（　　）
A． 是开方差数列
B．若 是开方差数列，则 是等差数列
C．若 是开方差数列，则 也是开方差数列（ ， 为常数）
D．若 既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
【答案】C,D
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列概念与表示
【解析】【解答】A： ，故 不是开方差数列，错误；
B： 不一定为常数，错误；
C： ，所以 为常数，即 为开方差数列，正确；
D：由题意， 且 ，m为常数，则 ，所以 时 为常数，则 为常数列，当 时， ，则 也为常数列，正确.
故答案为：CD
【分析】利用已知条件结合 “开方差数列” 和等差数列的定义和常数项的定义，从而找出判断正确的选项。
15．（2020高二上·湖北期中）数列 满足 ，且对任意的 都有 ，则下列说法中正确的是（　　）
A．
B．数列 的前2020项的和为
C．数列 的前2020项的和为
D．数列 的第50项为2550
【答案】A,C
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
所以 时， ，
也适合此式，所以 ，
，A符合题意，D不符合题意，
，
数列 的前 项和为 ，B不符合题意，C符合题意．
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合递推公式变形，从而结合求和法和等差数列前n项和公式，进而求出数列的通项公式，再利用代入法求出数列第50项的值，再结合裂项相消的方法，从而求出数列 的前2020项的和，进而找出说法正确的选项。
三、填空题
16．（2021高三上·湖南期中）已知数列 为 ，…，则它的第9项为　 　；写出数列 的通项公式　 　.
【答案】46；
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的递推公式
【解析】【解答】由题意，第9项为 ；
根据数列的规律得到其递推关系为 ，
∵ ，∴
得到 ，所以 ，
令 ， 是奇数， ，所以 ；
因为 ，所以 ，
令 ， 是偶数， ，所以 ；
故 .
故答案为：46； .
【分析】 根据题意，分析数列各项的规律，由此即可得出数列的递推公式，再对n分情况讨论由此分析可得答案。
17．（2020高二上·东城期末）已知数列 的前n项和 ，则 　 　.
【答案】3
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和
【解析】【解答】由题意，数列 的前n项和 ，
可得 .
故答案为：3
【分析】由数列的前n项和公式的定义即可得出，代入数值计算出结果即可。
18．（2021高二上·河南月考）已知数列 的前 项和 ，则 　 　， 的最大值为　 　.
【答案】26；4
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】当 时， ，
当 时， ，
检验 时， ，
所以 ，则 .
当 时， .
当 时， ，故 的最大值为4.
故答案为：26，4
【分析】 根据题意，由数列的前n项和公式求出数列{an }的通项，求出a2、a5的值，相加可得 的值；进而可得的表达式，即可求出 的最大值 。
19．（2021·福建模拟）已知数列 的前 项和为 ，则数列 的通项公式为　 　.
【答案】
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和
【解析】【解答】由 ，可得当 时， ，
则 ，即 ，故 ，
所以 .
当 满足 .
故数列 的通项公式为 .
故答案为：
【分析】首先由数列前n项和公式以及定义求出数列的通项公式即可。
20．（2021·朝阳模拟）函数y=f（x），x∈[1，+∞），数列{an}满足 ，
①函数f（x）是增函数；
②数列{an}是递增数列．
写出一个满足①的函数f（x）的解析式　 　．
写出一个满足②但不满足①的函数f（x）的解析式　 　．
【答案】f（x）=x2；
【知识点】数列的函数特性；数列与函数的综合
【解析】【解答】由题意可知：在x∈[1，+∞）这个区间上是增函数的函数有许多，可写为：f（x）=x2．
第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为： ．
则这个函数在[1， ]上单调递减，在[ ，+∞）上单调递增，
∴ 在[1，+∞）上不是增函数，不满足①．
而对应的数列为： 在n∈N*上越来越大，属递增数列．
故答案为：f（x）=x2； ．
【分析】结合二次函数的性质即可得出满足条件的函数f(x)的解析式， 函数和对应的数列增减性不同结合题意即可得出答案。
四、解答题
21．（2021高二下·长沙期末）已知数列 的前n项和 ，
（1）求数列 的前20项的和；
（2）求数列 的通项公式；
（3）求数列 的前多少项和最大．
【答案】（1）由题意得S20=32×20-202+1=241
（2）解：当n≥2时，an=sn-sn-1=(32n-n2+1)-[32(n-1)-(n-1)2+1]=-2n+33
当n=1时，a1=s1=32不符合上式，
则数列 的通项公式为
（3）解：sn=32n-n2+1=-(n-16)2+257
则当n=16时，sn取得最大值257
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【分析】根据数列的求和公式，利用an与sn的关系，结合二次函数的最值问题求解即可.
22．（2021高三上·深圳月考）已知数列 满足： ．
（I）求 ；
（Ⅱ）求数列 的通项公式；
（Ⅲ）记 为数列 的前n项和 ，求证： ．
【答案】（I）由已知可得当 时， ，
当 时， ，可得 ；
（Ⅱ）由 ，
当 时， ，
两式相减可得 ，则 ，满足 ，
；
（Ⅲ） ，
则 ，
，则 ，则 ，则 ，
则 ，则 ，即 .
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法，从而求出数列的首项的值和第二项的值。
（2）利用已知条件结合 与的关系式，再结合分类讨论的方法，从而求出数列 的通项公式 。
（3） 利用数列 的通项公式求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，从而求出数列 的前n项和 ，再利用放缩法，从而证出不等式 成立。
23．（2020高三上·新疆月考）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝ an.
（1）求a2，a3；
（2）求{an}的通项公式.
【答案】（1）解：由S2＝ a2，得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.
由S3＝ a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝ (a1＋a2)＝6
（2）解：当n>1时，有an＝Sn－Sn－1＝ an－ an－1，
整理得an＝ an－1.
又a1＝1，
所以a2＝ a1，
a3＝ a2，
…
an－1＝ an－2，
an＝ an－1，
将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝ .
当n＝1时，满足上式.
综上，{an}的通项公式an＝
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据条件依次代入求a2，a3；（2）先根据和项与通项关系得an＝ an－1，再利用累乘法求通项.
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