北师大版八上数学期末复习专题一次函数压轴题专练（word解析版）

一次函数压轴题专练
1．（2021秋 海珠区校级期中）如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足，C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P．
（1）如图1，写出a、b的值，证明△AOP≌△BOC；
（2）如图2，连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，求证：S△BDM﹣S△ADN＝4．
2．（2021秋 高新区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．
（1）求出点A、点B的坐标；
（2）求△COB的面积；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．
3．（2021秋 苏家屯区期中）如图1所示，直线l：y＝k（x﹣2）（k＜0）与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A、B两点．
（1）当OA＝OB时，求直线l的表达式；
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设C为线段AB延长线上一点，作直线OC，过点A、B两点分别作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E，若AD＝，求BE的长；
（3）如图3所示，当K取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，以AB为底向上作等腰直角△ABP，试问：B点运动时，点P是否始终在某一直线上运动？若是，请写出该直线对应的函数表达式并说明理由；若不是，请说明理由．
4．（2021秋 太原期中）综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C点P是直线AB上的一个动点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线BC的表达式，并直接写出点C的坐标；
（3）请从A，B两题中任选一题作答．我选择 　 　题．
A．试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
B．如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
5．（2021秋 和平区校级期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与正比例函数y＝kx的图象交于点C（2，4），在x轴上有一点E（m，0），过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝kx于点F，交直线y＝﹣x+b于点G．
（1）求这两个函数的表达式．
（2）当m＝时，点G的坐标为 　 　，F的坐标为 　 　，△CFG的面积为 　 　．
（3）当GF的长为3时，m的值为 　 　．
（4）在y轴上找一点P，使以O、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出点P的坐标 　 　．
6．（2021秋 越秀区校级期中）直线AB交x轴于点A（6，0），交y轴于点B（0，6）．
（1）如图1，点M为AB的中点，点C在线段OA上，OM交BC于点F．
①求∠BOM的度数；
②如图2，若在线段AB上有点D，且满足BC⊥OD于点E，求证：△BOF≌△OAD．
（2）如图3，当点C在线段OA的延长线上任一点时，以BC为边作等腰Rt△BCG，其中CB＝CG，直线GA交y轴于点H，当C在x轴上A点右侧运动时，线段OH的长度是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，求线段OH的取值范围．
7．（2021秋 碑林区校级期中）【问题发现】
（1）如图①，将Rt△AOB置于平面直角坐标系中，直角顶点O与原点重合，点A落在x轴上，点B落在y轴上，已知A（4，0），B（0，3），C是x轴上一点，将Rt△AOB沿BC折叠，使点O落在AB边上的点D处，则点C的坐标为 　 　．
【问题探究】
（2）如图②，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在x轴上，已知B（12，5），E是OA上一点，将长方形OABC沿CE折叠，点O恰好落在对角线AC上的点F处，求OF所在直线的函数表达式．
（3）如图③，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在x轴上，已知B（8，6），D在对角线AC上，且CD＝OC，P是OD的中点，Q是OC上一点，将△OPQ沿PQ折叠，使点O落在AC边上的点E处，求点D的坐标及四边形OPEQ的面积．
8．（2021秋 和平区期中）如图1，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）直线BC的函数表达式为 　 　；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q，连接BM．
①若∠MBC＝90°，请直接写出点P的坐标 　 　；
②若△PQB的面积为，请直接写出点M的坐标 　 　；
③若点K为线段OB的中点，连接CK，如图2，若在线段OC上有一点F，满足∠CKF＝45°，请直接写出点F的坐标 　 　．
9．（2021秋 碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x+9于点C．
（1）点C的坐标是 　 　．
（2）点M是直线AB上一点，点N是直线y＝﹣2x+9上一点，连接线段MN，若MN∥x轴，且MN＝6，求出所有符合条件的点M的坐标．
（3）在（2）的条件下，平面上是否存在点P，使得△BOP和△MNC全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
10．（2021秋 深圳期中）如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）．
（1）填空：k＝　 　；b＝　 　；m＝　 　；
（2）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若动点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：3？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
11．（2021秋 开福区校级月考）已知直线AB交x轴于点A（a，o），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（b﹣4）2＝0．
（1）求∠ABO的度数；
（2）如图1，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD、CD，试判断△COD的形状，并说明理由；
（3）如图2，若点C在OB上，点F在AB的延长线上，且AC＝CF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，CQ⊥AF于点Q，求的值．
12．（2021 南岗区校级开学）如图，直线y＝x+6交x轴于A，交y轴于B，把△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，且点D在x轴正半轴上，延长AB交CD于点E．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点P为线段DE上一点，连接PA、PB，设点P的横坐标为m，△PAB的面积为S，求S与m的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，点Q为OD边上一点，若∠PQC＝2∠OCQ，PQ+CQ＝PA，求点P的坐标．
13．（2021春 黄陂区期末）如图，直线l1：y＝kx﹣2k+1经过定点C，分别交x轴，y轴于A，B两点，直线l2经过O，C两点，点Dl2上．
（1）①直接写出点C的坐标为 　 　；②求直线l2的解析式；
（2）如图1，若S△BOC＝2S△BCD，求点D的坐标；
（3）如图2，直线l3经过D，E（0，﹣）两点，分别交x轴的正半轴、l1于点P，F，若PE＝PF，∠EDO＝45°，求k的值．
14．（2021春 东港区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0），（12，6），直线y＝﹣x+b（b＞0）与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．
（1）若直线y＝﹣x+b（b＞0）平分矩形OABC的面积，求b的值；
（2）在（1）的条件下，过点P的直线，与直线BC和x轴分别交于点N、M．问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长，若不存在，请说明理由．
（3）将（1）中的直线沿y轴向下平移a个单位得到新直线l，矩形OABC沿平移后的直线折叠，若点O落在边BC上的F处，CF＝9，求出a的值．
15．（2021春 连山区期末）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，OA在x轴负半轴，OC在y轴正半轴，点D在边OC上，连接BD，将△BCD沿BD折叠，得到△BDE，使点E落在矩形OABC内部，过点E作EF⊥AB于F，直线CF交x轴于点M，若点E（﹣3，9），F恰为AB中点．
（1）如图1，直线CM的解析式；
（2）如图2，点P为x轴上的动点，过P作x轴的垂线，分别交直线CM、BD于点N、Q，若NQ＝2CD，求点P坐标；
（3）点H为直线BD上动点，若△AEH以AE为直角边的直角三角形，是否存在点H？如果存在，直接写出点H坐标；不存在，请说明理由！
16．（2021春 铁锋区期末）综合与探究．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，4），点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）直接写出AB的长 　 　；
（2）点C的坐标 　 　，点D的坐标 　 　；
（3）求直线AB的函数表达式；
（4）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2021春 集贤县期末）如图1，平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线y＝2x交于点C（a，4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝2x于点F，交直线y＝kx+b于点G，若GF的长为3，求点E的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点M，使以O、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
18．（2021春 天心区期末）我们知道一次函数y＝mx+n与y＝﹣mx+n（m≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y＝mx+n与y＝﹣mx+n（m≠0）互为“M”函数．
（1）请直接写出函数y＝2x+5的“M”函数；
（2）如果一对“M”函数y＝mx+n与y＝﹣mx+n（m≠0）的图象交于点A，且与x轴交于B，C两点，如图所示，若∠BAC＝90°，且△ABC的面积是8，求这对“M”函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点D是y轴上的一个动点，当△ABD为等腰三角形时，请求出点D的坐标．
19．（2021春 洪泽区期末）如图，直线y＝﹣x+12与x轴交于点A（12，0），与直线OB交于点B（8，4），x轴上一点P从O点出发以每秒2个单位的速度向终点A运动，作PE⊥x轴交OB于E，过E作EF∥x轴且EF＝PE，以PE、EF为边作矩形PEFG，设运动时间为t．
（1）当点F落在直线AB上时，求t的值；
（2）在运动过程中，设矩形PEFG与△ABO的重叠部分面积为S，求S与t的关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）矩形PEFG的对角线交于点Q，直接写出PQ+AQ的最小值为 　 　．
参考答案与试题解析
1．（2021秋 海珠区校级期中）如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足，C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P．
（1）如图1，写出a、b的值，证明△AOP≌△BOC；
（2）如图2，连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，求证：S△BDM﹣S△ADN＝4．
【解答】（1）解：∵+（a﹣4）2＝0，
∴a+b＝0，a﹣4＝0，
∴a＝4，b＝﹣4，
则OA＝OB＝4．
∵AH⊥BC即∠AHC＝90°，∠COB＝90°，
∴∠HAC+∠ACH＝∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠HAC＝∠OBC．
在△OAP与△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA）；
（2）证明：过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点．
在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．
∵△OAP≌△OBC，
∴OC＝OP，
在△COM与△PON中，
，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP＝∠CHA＝45°；
（3）证明：如图：连接OD．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，
∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD，
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，
∴∠DAN＝135°＝∠MOD．
∵MD⊥ND即∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA．
在△ODM与△ADN中，
，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN．
∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD＝S△AOB＝×AO BO＝××4×4＝4．
2．（2021秋 高新区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．
（1）求出点A、点B的坐标；
（2）求△COB的面积；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）对于直线l2的解析式为y＝﹣x+3，令x＝0，得到y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，得到x＝6，
∴A（6，0）．
∴点A是坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3）；
（2）联立y＝x，y＝﹣x+3并解得：x＝2，
∴点C（2，2），
∴S△COB＝OB xC＝×3×2＝3；
（3）存在．
∵点B（0，3），点C（2，2），
∴BC＝＝，
设P（0，y），
①当PC＝BC＝时，如图，
又∵点C（2，2），
∴PC2＝22+（2﹣y）2，
∴（）2＝22+（2﹣y）2，
∴y＝1或3，
∵y＝3时，与点B重合，故舍去，
∴点P（0，1）；
②当BP＝BC＝时，如图，
OP＝OB+PB＝3+，OP′＝OB﹣P′B＝3﹣，
∴点P（0，3+），（0，3﹣）；
③当PB＝PC时，如图，
∵PB2＝PC2，
∴（3﹣y）2＝22+（2﹣y）2，
∴解得：y＝，
∴点P（0，），
综上所述：点P坐标为（0，3+），（0，3﹣），（0，1），（0，）．
3．（2021秋 苏家屯区期中）如图1所示，直线l：y＝k（x﹣2）（k＜0）与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A、B两点．
（1）当OA＝OB时，求直线l的表达式；
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设C为线段AB延长线上一点，作直线OC，过点A、B两点分别作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E，若AD＝，求BE的长；
（3）如图3所示，当K取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，以AB为底向上作等腰直角△ABP，试问：B点运动时，点P是否始终在某一直线上运动？若是，请写出该直线对应的函数表达式并说明理由；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2k；当y＝0时，x＝2，
∴点B坐标为（0，﹣2k），点A坐标（2，0），
∴OA＝2，OB＝﹣2k，
∵OA＝OB，
∴k＝﹣2，
∴直线l的函数表达式为y＝﹣2x+2；
（2）在Rt△OAD中，AD＝，OA＝2，
∴OD＝＝1，
∵∠OEB＝∠ADO＝∠AOB＝90°，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，∠BOE+∠AOD＝90°，
∴∠OBE＝∠AOD，
∵OB＝OA，
在Rt△OBE和Rt△AOD中，
，
∴△OBE≌△AOD（AAS），
∴BE＝OD＝1；
（3）点P始终在直线y＝x上运动，
理由：如图3，过P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，
则∠PFO＝∠PEO＝∠AOB＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∵△ABP是等腰直角三角形，
∴∠APB＝90°，PA＝PB，
∴∠BPF＝∠APE，
在△PBF与△PAE中，
，
∴△PBF≌△PAE（AAS），
∴PF＝PE，
∴点P到x轴的距离等于点P到y轴的距离，
∴动点P在直线y＝x上运动．
4．（2021秋 太原期中）综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C点P是直线AB上的一个动点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线BC的表达式，并直接写出点C的坐标；
（3）请从A，B两题中任选一题作答．我选择 　A或B　题．
A．试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
B．如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6，则A点坐标为（﹣6，0）；
当x＝0时，y＝x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；
（2）将B点坐标（0，3）代入一次函数y＝﹣x+b得：b＝3，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则C点坐标为（3，0）；
（3）A．过点P作PH⊥x轴于H，
设点P（x，x+3），
∴PH＝|x+3|，
∵A点坐标为（﹣6，0），C点坐标（3，0），
∴AC＝9，
∵S△ACP＝AC PH＝×9 PH＝18，
∴PH＝4，
∴x+3＝±4，
当x+3＝4时，x＝2；当x+3＝﹣4时，x＝﹣14，
∴存在，点P的坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）；
B．如图，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．
设点P（x，x+3），则Q（x，﹣x+3），
∴PQ＝|x+3﹣（﹣x+3）|＝|x|，
∵B点坐标（0，3），C点坐标（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴BC＝3，
∵PQ＝BC，
∴|x|＝3，解得：x＝2或﹣2，
∴存在，点P的坐标为（2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
5．（2021秋 和平区校级期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与正比例函数y＝kx的图象交于点C（2，4），在x轴上有一点E（m，0），过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝kx于点F，交直线y＝﹣x+b于点G．
（1）求这两个函数的表达式．
（2）当m＝时，点G的坐标为 　（，6﹣）　，F的坐标为 　（，2）　，△CFG的面积为 　　．
（3）当GF的长为3时，m的值为 　3或1　．
（4）在y轴上找一点P，使以O、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出点P的坐标 　（0，8）或（0，2）或p（0，﹣2）或（0，）　．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx的图象过点C（2，4），
∴2k＝4，
解得k＝2，
∴正比例函数的表达式为y＝2x；
∵一次函数y＝﹣x+b的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点C（2，4），
∴4＝﹣2+b，
∴b＝6，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+6；
（2）∵点G在一次函数y＝﹣x+6上，点F在正比例函数y＝2x上，且点F．G．E在直线l上，E （m，0），m＝，
∴点F、点G横坐标都为，
分别代入一次函数y＝﹣x+6，正比例函数y＝2x，
∴点G的纵坐标为y＝﹣+6＝6﹣，点F的纵坐标为y＝2，
∴点G的坐标为（，6﹣），F的坐标为（，2），
∴FG＝2﹣（6﹣）＝3﹣6，
∴S△CFG＝×（3﹣6）×（﹣2）＝．
故答案为：（，6﹣），（，2），；
（3）①当点F在G点上方，即m＞2时，
由（2）知点G的纵坐标为y＝﹣m+6，点F的纵坐标为y＝2m，
∴GF＝2m﹣（﹣m+6）＝3m﹣6，
当GF＝3时，3m﹣6＝3，
解得：m＝3；
②当F点在G点下方，即m＜2时，
点G的纵坐标为y＝﹣m+6，点F的纵坐标为y＝2m，
∴GF＝（﹣m+6）﹣2m＝﹣3m+6，
当GF＝3时，﹣3m+6＝3，
解得：m＝1，
综上，m的值为3或1，
故答案为：3或1；
（4）①当CP＝CO时，过点C作CM⊥y轴于M，△PCO为等腰三形，
∴PM＝OM，
∵C（2，4），
∴OM＝4．
∴PM＝4，
∴P（0，8）；
②当OP＝OC时，
：C（2，4），
∴OC＝＝2，
∴OP＝2，
∴P（0，2）或p（0，﹣2）；
③当PO＝PC时，设P（0，y），
∴PO＝|y|，PC＝＝，
解得：y＝，
∴P（0，）．
故答案为：（0，8）或（0，2）或p（0，﹣2）或（0，）．
6．（2021秋 越秀区校级期中）直线AB交x轴于点A（6，0），交y轴于点B（0，6）．
（1）如图1，点M为AB的中点，点C在线段OA上，OM交BC于点F．
①求∠BOM的度数；
②如图2，若在线段AB上有点D，且满足BC⊥OD于点E，求证：△BOF≌△OAD．
（2）如图3，当点C在线段OA的延长线上任一点时，以BC为边作等腰Rt△BCG，其中CB＝CG，直线GA交y轴于点H，当C在x轴上A点右侧运动时，线段OH的长度是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，求线段OH的取值范围．
【解答】解：（1）①∵点A（6，0），点B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
又∵∠AOB＝90°，点M为AB的中点，
∴∠BOM＝45°；
②∵BC⊥OD，
∴∠BEO＝90°＝∠AOB，
∴∠BOE+∠OBE＝90°＝∠BOE+∠DOA，
∴∠OBE＝∠DOA，
∵OA＝OB＝6，AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°＝∠BOM，
在△OAD和△BOF中，
，
∴△OAD≌△BOF（ASA）；
（2）线段OH的长度不会变化，OH＝6，理由如下：
过G作GN⊥x轴，垂足为N．
∵∠BCG＝90°，
∴∠BCO+∠GCN＝90°．
∵∠AOB＝∠GNC＝90°，
∴∠BCO＝∠CGN，∠CBO＝∠GCN．
∵BC＝CG，
∴△BCO≌△CGN（ASA），
∴GN＝OC，CN＝AO＝BO，
∴OC＝OA+AC＝CN+AC＝AN，
∴GN＝AN，
∴∠GAN＝45°＝∠OAH．
∵∠AOH＝90°，
∴△OAH是等腰直角三角形，
∴OA＝OH＝6．
∴无论P点怎么动，OH的长不变．
7．（2021秋 碑林区校级期中）【问题发现】
（1）如图①，将Rt△AOB置于平面直角坐标系中，直角顶点O与原点重合，点A落在x轴上，点B落在y轴上，已知A（4，0），B（0，3），C是x轴上一点，将Rt△AOB沿BC折叠，使点O落在AB边上的点D处，则点C的坐标为 　（，0）　．
【问题探究】
（2）如图②，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在x轴上，已知B（12，5），E是OA上一点，将长方形OABC沿CE折叠，点O恰好落在对角线AC上的点F处，求OF所在直线的函数表达式．
（3）如图③，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在x轴上，已知B（8，6），D在对角线AC上，且CD＝OC，P是OD的中点，Q是OC上一点，将△OPQ沿PQ折叠，使点O落在AC边上的点E处，求点D的坐标及四边形OPEQ的面积．
【解答】解：（1）设OC为x，
∵A（4，0），B（0，3），
∴AB＝＝＝5，
由翻折可知，DB＝OB＝3，OC＝CD＝x，
∴AD＝2，
由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴点C的坐标为（，0），
故答案为：（，0）；
（2）∵长方形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，B（12，5），
∴A（0，5），C（12，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A点和C点坐标代入得，
，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+5，
由翻折可知，OC＝CF＝12，AF＝1，
设OE＝EF＝y，
由勾股定理得，EF2+AF2＝AE2，
即y2+12＝（5﹣y）2，
解得y＝2.4，
即OE＝EF＝2.4，
∴AE＝2.6，
设点F的坐标为（m，﹣m+5），
∴×AF EF＝AE yF，
即×1×2.4＝×2.6m，
解得m＝，
则点F的坐标为（，），
设直线OF的解析式为y＝dx，代入F点坐标得，＝d，
解得d＝5，
∴直线OF的解析式为y＝5x；
（3）连接OE，
∵P是OD的中点，
∴OP＝PD，
由折叠可知，OP＝PD＝PE，OE⊥PQ，
∴∠POE＝∠PEO，∠PED＝∠PDE，
∴∠PEO+∠PED＝90°，
∴OE⊥CD，
∴PQ∥CD，
∴Q是OC的中点，
∴三角形OPQ的面积是三角形OCD面积的四分之一，四边形OPEQ的面积是三角形OCD面积的二分之一，
∵B（8，6），
∴A（0，6），C（8，0），
∴AC＝＝＝10，
∴OA OC＝AC OE，
即×6×8＝×10×OE，
解得OE＝4.8，
∵OC＝CD＝8，
∴三角形OCD的面积为：CD OE＝×8×4.8＝19.2，
∴四边形OPEQ的面积是×19.2＝9.6，
∵三角形OCD的面积为19.2，OC＝8，
∴点D的纵坐标为19.2×2÷8＝4.8，
设直线AC的解析式为y＝nx+e，把A点和C点坐标代入得，，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
∵点D在直线AC上，当y＝4.8时，4.8＝﹣x+6，
解得x＝1.6，
∴点D的坐标为（1.6，4.8）．
8．（2021秋 和平区期中）如图1，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）直线BC的函数表达式为 　y＝﹣x+3　；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q，连接BM．
①若∠MBC＝90°，请直接写出点P的坐标 　（﹣，）　；
②若△PQB的面积为，请直接写出点M的坐标 　（，0）或（﹣，0）　；
③若点K为线段OB的中点，连接CK，如图2，若在线段OC上有一点F，满足∠CKF＝45°，请直接写出点F的坐标 　（，0）　．
【解答】解：（1）对于y＝x+3，令x＝0，y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，
∴x+3＝0，
∴x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C（6，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
故答案为：y＝﹣x+3；
（2）①设点M（m，0），
∴P（m，m+3），
∵B（0，3），C（6，0），
∴BC2＝45，BM2＝OM2+OB2＝m2+9，MC2＝（6﹣m）2，
∵∠MBC＝90°，
∴△BMC是直角三角形，
∴BM2+BC2＝MC2，
∴m2+9+45＝（6﹣m）2，
∴m＝﹣，
∴P（﹣，），
故答案为：（﹣，）；
②设点M（n，0），
∵点P在直线AB：y＝x+3上，
∴P（n，n+3），
∵点Q在直线BC：y＝﹣x+3上，
∴Q（n，﹣n+3），
∴PQ＝|n+3﹣（﹣n+3）|＝|n|，
∵△PQB的面积为，
∴S△PQB＝|n| |n|＝n2＝，
∴n＝±，
∴M（，0）或（﹣，0），
故答案为：（，0）或（﹣，0）；
③过点F作FH⊥FK交CK于H，过点H作HE⊥x轴于E，
∵∠CKF＝45°，
∴△KFH是等腰直角三角形，
∴KF＝FH，∠KFO+∠HFE＝90°，
∵∠KFO+∠FKO＝90°，
∴∠HFE＝∠FKO，
∵∠KOF＝∠FEH＝90°，
∴△KOF≌△FEH（AAS），
∴EH＝OF，EF＝OK，
∵点K为线段OB的中点，OB＝6，
∴EF＝OK＝，K（0，），
设F（x，0），则OE＝x+，EH＝OF＝x，则H（x+，x），
∵C（6，0），K（0，），
设直线CK的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线CK的解析式为y＝﹣x+，
∵点H在CK上，H（x+，x），
∴x＝﹣（x+）+，解得：x＝，
∴点F的坐标为（，0）．
故答案为：（，0）．
9．（2021秋 碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x+9于点C．
（1）点C的坐标是 　（1，7）　．
（2）点M是直线AB上一点，点N是直线y＝﹣2x+9上一点，连接线段MN，若MN∥x轴，且MN＝6，求出所有符合条件的点M的坐标．
（3）在（2）的条件下，平面上是否存在点P，使得△BOP和△MNC全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）解方程组，得，
所以点C的坐标为（1，7），
故答案为：（1，7）；
（2）∵M是直线AB上一点，
设点M的坐标为（a，a+6），
∵MN∥x轴，点N是直线y＝﹣2x+9上一点，
∴a+6＝﹣2x+9，解得x＝，
∴点N的坐标是（，a+6），
∵MN＝6，
∴|﹣a|＝6，解得：a＝5或﹣3，
∴点M的坐标为（5，11）或（﹣3，3）；
（3）存在，
①点M的坐标为（﹣3，3）时，点N的坐标为（3，3），
∴MN＝6，MC＝＝，NC＝＝，
设点P的坐标为（x，y），
∵直线y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，
∴B（0，6），OB＝6＝MN，
当BP＝NC，OP＝MC时；
，解得：或，
∴点P的坐标为（4，4）或（﹣4，4），
当BP＝MC，OP＝NC时，
，解得：或，
∴点P的坐标为（4，2）或（﹣4，2），
②点M的坐标为（5，11）时，点N的坐标为（﹣1，11），
∴MN＝6，MC＝＝，NC＝＝，
此时△MNC与①中的△MNC三边都对应相等，所以此时情况与①相同．
综上，点P的坐标为（4，4）或（﹣4，4）或（4，2）或（﹣4，2）．
10．（2021秋 深圳期中）如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）．
（1）填空：k＝　　；b＝　4　；m＝　2　；
（2）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若动点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：3？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），
∴5＝1+b，
∴b＝4，
∴直线l2：y＝﹣x+4，
∵直线l2：y＝﹣x+4经过点C（2，m），
∴m＝﹣2+4＝2，
∴C（2，2），
把C（2，2）代入y＝kx+1，得到k＝．
∴k＝，b＝4，m＝2．
故答案为：，4，2；
（2）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于E，连接EC，则△BCE的周长最小．
∵B（﹣1，5），C′（2，﹣2），
∴直线BC′的解析式为y＝﹣x+，
令y＝0，得到x＝，
∴E（，0），
∴存在一点E，使△BCE的周长最短，E（，0）；
（3）∵点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，直线l1：y＝x+1，
∴D（﹣2，0），
∵C（2，2），
∴CD＝＝2，
∵点P的运动时间为t秒．
∴DP＝t，
分两种情况：①点P在线段DC上，
∵△ACP和△ADP的面积比为1：3，
∴，
∴，
∴DP＝×2＝，
∴t＝；
②点P在线段DC的延长线上，
∵△ACP和△ADP的面积比为1：3，
∴，
∴＝，
∴DP＝×2＝3，
∴t＝3．
综上：存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：3，t的值为或3．
11．（2021秋 开福区校级月考）已知直线AB交x轴于点A（a，o），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（b﹣4）2＝0．
（1）求∠ABO的度数；
（2）如图1，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD、CD，试判断△COD的形状，并说明理由；
（3）如图2，若点C在OB上，点F在AB的延长线上，且AC＝CF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，CQ⊥AF于点Q，求的值．
【解答】解：（1）∵|a+b|+（b﹣4）2＝0，
∴a＝﹣4，b＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，4），
∴AO＝BO＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO的度数为45°；
（2）△COD是等腰直角三角形．
证明：如图1：
∵BE⊥AC，OA⊥OB，
∴∠EFB+∠EBF＝∠OFA+∠OAF，
又∵∠OFA＝∠EFB，
∴∠EBF＝∠OAF，
在△AOC与△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠DOC，
∴∠DOC＝∠AOB＝90°，
∴△COD为等腰直角三角形；
（3）过点C作CK⊥OB交AB于K，
∵∠ACP＝90°，
∴∠BCP＝∠OAC，
∵OA＝OB，
∴∠OAC+∠CAF＝∠OAB＝45°，
∴∠OBA＝∠F+∠BCF＝45°，
∵AC＝CF，
∴∠CAF＝∠F，
∴∠BCF＝∠OAC＝∠BCP，即OB平分∠PCF，
∵△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，
∴CA＝CP，
∵AC＝CF，
∴CP＝CF，
∵CB＝CB，
∴△BCF≌△BCP （SAS），
∴BF＝BP，
∵∠OBA＝45°，CK⊥OB，
∴△BCK为等腰直角三角形，
∴△ACF和△BCK均为等腰三角形，
∵CQ⊥AF，
∴FQ＝AQ，BQ＝QK，
∴BF＝AK，
∵△BCK为等腰直角三角形，
∴BQ＝QK＝CQ，
∴＝＝＝2．
12．（2021 南岗区校级开学）如图，直线y＝x+6交x轴于A，交y轴于B，把△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，且点D在x轴正半轴上，延长AB交CD于点E．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点P为线段DE上一点，连接PA、PB，设点P的横坐标为m，△PAB的面积为S，求S与m的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，点Q为OD边上一点，若∠PQC＝2∠OCQ，PQ+CQ＝PA，求点P的坐标．
【解答】解：∵直线y＝x+6交x轴于A，交y轴于B，
∴A（﹣12，0），B（0，6），
∴OA＝12，OB＝6，
∵把△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴OC＝OA＝12，OD＝OB＝6，
∴C（0，12），D（6，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+12；
（2）如图1，∵点P在直线CD上且横坐标为m，
∴P（m，﹣2m+12），
设直线PA的解析式为y＝ax+c，将P（m，﹣2m+12），A（﹣12，0）代入，
得：，
解得：，
∴直线PA的解析式为y＝x+，
∵直线PA交y轴于点F，
∴F（0，），
∴OF＝，
∴BF＝OB﹣OF＝6﹣＝，
∴S△PAB＝S△FAB+S△PBF＝BF OA+BF xP＝××（12+m）＝15m﹣36，
∴S＝15m﹣36；
（3）如图2，延长PQ交y轴于F，过点P作PH⊥x轴于点H，作PG⊥OC于点G，连接AF，
∵∠PQC＝2∠OCQ，
∴180°﹣∠CQO﹣∠PQD＝2（90°﹣∠CQO），
∴∠CQO＝∠PQD，
∵∠FQO＝∠PQD，
∴∠CQO＝∠FQO，
∵∠COQ＝∠FOQ＝90°，OQ＝OQ，
∴△COQ≌△FOQ（ASA），
∴OF＝OC＝12，QC＝QF，
∵PQ+CQ＝PA，
∴PQ+QF＝PA，
即PF＝PA，
∴∠PAF＝∠PFA，
∵OA＝OF＝12，
∴∠OAF＝∠OFA，
∴∠PAF﹣∠OAF＝∠PFA﹣∠OFA，
即∠PAH＝∠PFG，
∵∠PHA＝∠PGF＝90°，PA＝PF，
∴△PHA≌△PGF（AAS），
∴PH＝PG，
∴﹣2m+12＝m，
解得：m＝4，
∴P（4，4）．
13．（2021春 黄陂区期末）如图，直线l1：y＝kx﹣2k+1经过定点C，分别交x轴，y轴于A，B两点，直线l2经过O，C两点，点Dl2上．
（1）①直接写出点C的坐标为 　（2，1）　；②求直线l2的解析式；
（2）如图1，若S△BOC＝2S△BCD，求点D的坐标；
（3）如图2，直线l3经过D，E（0，﹣）两点，分别交x轴的正半轴、l1于点P，F，若PE＝PF，∠EDO＝45°，求k的值．
【解答】解（1）①∵y＝kx﹣2k+1经过定点C，
∴点C的坐标与k的取值无关，
∴x＝2时，y＝1，
∴C（2，1），
故答案为：（2，1）；
②设l2的解析式为：y＝ax，
把C（2，1）代入y＝ax得：a＝，
∴l2的解析式为y＝，
（2）如图，取OB的中点H，连接CH，
∵C（2，1），
∵S△BOC＝2S△BCD，
当点D在线段OC上时，
则点D为OC的中点，
∴D（1，）；
当点D在线段DC的延长线时，
∴S△BCD＝，
即OB＝，|xD|＝3，
∴D（3，），
综上所述，符合条件的点D坐标为（1，）或（3，）．
（3）过点C作CH∥EF，过点O作OH⊥OC，分别过点C，H作CM⊥OB于M，MN⊥OB于N，
∵∠EDO＝45°，
∴∠OCH＝45°，
∴OC＝OH，
又∵∠MOC＝∠NHO，∠OMC＝∠ONH，
∴△COM≌△OHN（AAS），
∴CM＝OH，OM＝NH，
由C（2，1）得：H（1，﹣2），
∴yCH＝3x﹣5，
由E（0，﹣）得：yEF＝3x﹣，
∴P（，0），
过点F作FK⊥OA于K，
∵PF＝PE，
∴△OPE≌△FPK（AAS），
∴F（1，），
将F（1，）代入l1：y＝kx﹣2k+1，
∴k﹣2k+1＝，
解得k＝﹣．
14．（2021春 东港区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0），（12，6），直线y＝﹣x+b（b＞0）与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．
（1）若直线y＝﹣x+b（b＞0）平分矩形OABC的面积，求b的值；
（2）在（1）的条件下，过点P的直线，与直线BC和x轴分别交于点N、M．问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长，若不存在，请说明理由．
（3）将（1）中的直线沿y轴向下平移a个单位得到新直线l，矩形OABC沿平移后的直线折叠，若点O落在边BC上的F处，CF＝9，求出a的值．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+b（b＞0）平分矩形OABC的面积，
∴直线过矩形的中心，
∵B（12，6），
∴矩形中心为（6，3），
∴﹣6+b＝3，
解得b＝12；
（2）如图，假设存在ON平分∠CNM的情况，
当PM与线段BC，OA交于N，M时，
过点O作OH⊥MN于H，
∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，OH⊥MN，
∴OH＝OC＝6，
∵OP＝12，
∴∠OPN＝30°，
∴OM＝OP＝4，
当y＝0时，﹣，解得x＝8，
∴OD＝8，
∴DM＝OD﹣OM＝8﹣4；
当PM与直线BC，OA交于N，M时，如图，
同理可得，此时DM＝OD+OM＝8+4，
综上：存在ON平分∠CNM的情况，此时DM＝8﹣4或8+4；
（3）设平移后的直线y＝﹣与y轴交于点P'，沿此直线折叠，点O的对应点恰好落在BC边上F处，连接P'F，OF，
则有OP'＝P'F＝m，CP'＝m﹣6，
在Rt△CP'F中，由勾股定理得：
（m﹣6）2+92＝m2，
解得m＝，
∴PP'＝12﹣＝，
∴a＝．
15．（2021春 连山区期末）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，OA在x轴负半轴，OC在y轴正半轴，点D在边OC上，连接BD，将△BCD沿BD折叠，得到△BDE，使点E落在矩形OABC内部，过点E作EF⊥AB于F，直线CF交x轴于点M，若点E（﹣3，9），F恰为AB中点．
（1）如图1，直线CM的解析式；
（2）如图2，点P为x轴上的动点，过P作x轴的垂线，分别交直线CM、BD于点N、Q，若NQ＝2CD，求点P坐标；
（3）点H为直线BD上动点，若△AEH以AE为直角边的直角三角形，是否存在点H？如果存在，直接写出点H坐标；不存在，请说明理由！
【解答】解：（1）延长FE交OC于点H，如图：
设OA＝m，由折叠可知BC＝BE＝OA＝m，
∵点E（﹣3，9），
∴AF＝9，EH＝3，EF＝m﹣3，
∵F恰为AB中点，
∴BF＝AF＝9，OC＝AB＝18，
∴C（0，18），
在Rt△BEF中，由勾股定理得BE2＝BF2+EF2，
∴m2＝92+（m﹣3）2，
∴m＝15，
∴F（﹣15，9），
设直线CM的解析式为y＝kx+b，将C（0，18），F（﹣15，9）代入得：
，
解得，
∴直线CM解析式为：；
（2）如图：
设CD＝n，则DE＝n，DH＝9﹣n，
在Rt△DEH中，DE2＝DH2+EH2，
∴n2＝（9﹣n）2+32，解得n＝5，
∴CD＝5，
∴OD＝13，
∴D（0，13），
∵B（﹣15，18）
∴直线BD解析式为：
设P（t，0），则N（t，t+18），Q（t，﹣t+13），
∴NQ＝|（t+18）﹣（﹣t+13）|＝|t+5|，
∵NQ＝2CD＝10，
∴|t+5|＝10，
解得t＝或t＝﹣，
∴P（，0）或P（﹣，0）；
（3）存在，理由如下：
由（2）知直线BD为：，
设H（s，﹣s+13），而A（﹣15，0），E（﹣3，9），
∴AH2＝（s+15）2+（﹣s+13）2，EH2＝（s+3）2+（﹣s+4）2，AE2＝122+（﹣9）2＝225，
当EH为斜边时，EH2＝AH2+AE2，
∴（s+3）2+（﹣s+4）2＝（s+15）2+（﹣s+13）2+225，解得s＝﹣33，
∴H（﹣33，24），
当AH为斜边时，AH2＝EH2+AE2，
∴（s+15）2+（﹣s+13）2＝（s+3）2+（﹣s+4）2+225，
解得s＝﹣8，
∴H（﹣8，），
综上所述，H坐标为（﹣33，24）或（﹣8，）．
16．（2021春 铁锋区期末）综合与探究．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，4），点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）直接写出AB的长 　5　；
（2）点C的坐标 　（8，0）　，点D的坐标 　D（0，﹣6）　；
（3）求直线AB的函数表达式；
（4）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵A（3，0）、B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝；
故答案为：5；
（2）设直线AB的表达式为y＝kx+b，将A（3，0）、B（0，4）代入，
得：，
解得：，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x+4；
（3）由折叠得：AC＝AB＝5，
∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，
∴点C的坐标为（8，0），
设点D（0，m），则OD＝﹣m，
由折叠得CD＝BD＝4﹣m，
在Rt△OCD中，OC2+OD2＝CD2，
∴82+（﹣m）2＝（4﹣m）2，
解得：m＝﹣6，
∴D（0，﹣6），
故答案为：C（8，0），D（0，﹣6）；
（4）存在，设点P（0，n），
∴PB＝|n﹣4|，
∵S△PAB＝S△OCD，
∴PB OA＝××OC×OD，
即|n﹣4|×3＝××8×6，
解得：n＝12或﹣4，
∴P（0，12）或（0，﹣4）．
17．（2021春 集贤县期末）如图1，平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线y＝2x交于点C（a，4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝2x于点F，交直线y＝kx+b于点G，若GF的长为3，求点E的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点M，使以O、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵点C在直线y＝2x上，
∴2a＝4，
解得a＝2，
∴C（2，4）；
将A（6，0），C（2，4）代入直线y＝kx+b，得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6；
（2）根据题意设E点坐标为（m，0），
∵点E、F、G三点在同一直线上，且点F在直线y＝2x上，点G在y＝﹣x+6上，
∴F（m，2m），G（m，﹣m+6），
又∵|FG|＝3，
∴|2m﹣（﹣m+6）|＝3，
解得m＝3或m＝1，
∴E点的坐标为（3，0）或（1，0）；
（3）存在，
设M（0，t），
∵C（2，4），
∴OC＝＝2，OM＝|t|，CM＝＝，
要使以O、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，分以下三种情况：
①当OC＝OM时，
即|t|＝2，
解得t＝±2，
∴M（0，2）或（0，﹣2）；
②当OC＝CM时，
即＝2，
解得t＝8或t＝0（舍去），
∴M（0，8）；
③当CM＝OM时，
即＝|t|，
解得t＝，
∴M（0，）；
综上，符合条件的M点的坐标是（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，）．
18．（2021春 天心区期末）我们知道一次函数y＝mx+n与y＝﹣mx+n（m≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y＝mx+n与y＝﹣mx+n（m≠0）互为“M”函数．
（1）请直接写出函数y＝2x+5的“M”函数；
（2）如果一对“M”函数y＝mx+n与y＝﹣mx+n（m≠0）的图象交于点A，且与x轴交于B，C两点，如图所示，若∠BAC＝90°，且△ABC的面积是8，求这对“M”函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点D是y轴上的一个动点，当△ABD为等腰三角形时，请求出点D的坐标．
【解答】（1）解：根据互为“M”函数的定义，
∴函数y＝2x+5的“M”函数为y＝﹣2x+5；
（2）解：根据题意，y＝mx+n 和 y＝﹣mx+n 为一对“M函数”．
∴AB＝AC，
又∵∠BAC＝90°，
∴△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵OB＝OC，
∴∠BAO＝∠CAO＝45°，
∴OA＝OB＝OC，
又∵ 且 BC＝2AO，
∴，
∵A、B、C是一次函数y＝mx+n与y＝﹣mx+n（m≠0）的图象于坐标轴的交点，
∴A（0，n），B（﹣，0），C（，0），
∵OA＝OB＝n，
∴＝2，
∴m＝1，
∴ 和 ；
（3）解：根据等腰三角形的性质，分情况，
∵，
∴AB＝4，
由（2）知，A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），
∴①以 A 为顶点，则 AB＝AD，
当点D在点A上方时，AD＝2+4，
当点D在点A下方时，AD＝2﹣4，
∴D1（0，2+4），D2（0，2﹣4），
②以 B 为顶点，则 BA＝BD，
此时点D在y轴负半轴，
∴D3（0，﹣2），
③以 D 为顶点，则 DA＝DB，
此时D为坐标原点，
∴D4（0，0）．
∴D点坐标为 D1（0，2+4），D2（0，2﹣4），D3（0，﹣2），∴D4（0，0）．
19．（2021春 洪泽区期末）如图，直线y＝﹣x+12与x轴交于点A（12，0），与直线OB交于点B（8，4），x轴上一点P从O点出发以每秒2个单位的速度向终点A运动，作PE⊥x轴交OB于E，过E作EF∥x轴且EF＝PE，以PE、EF为边作矩形PEFG，设运动时间为t．
（1）当点F落在直线AB上时，求t的值；
（2）在运动过程中，设矩形PEFG与△ABO的重叠部分面积为S，求S与t的关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）矩形PEFG的对角线交于点Q，直接写出PQ+AQ的最小值为 　　．
【解答】解：（1）如图1，设直线OB的解析式为y＝kx，
∵点B（8，4）在直线y＝kx上，
∴8k＝4，
解得，k＝，
∴y＝x，
∵OP＝2t，
∴P（2t，0），E（2t，t），
∵EF＝PE＝t，
∴F（t，t），G（t，0），
当点F落在直线AB上时，则t+12＝t，解得t＝.
（2）当点E与点B重合时，则2t＝8，解得t＝4；
当点G与点A重合时，则t＝12，解得t＝；
当点P与点A重合时，则2t＝12，解得t＝6，
当0＜t≤时，如图1，PE＝t，EF＝t，
∴S＝t t＝t2；
当＜t≤4时，如图2，设直线y＝﹣x+12交y轴于点C，则C（0，12），
∴OA＝OC＝12，
∵∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
设EF、FG分别交AB于点J、点K，则∠FKJ＝∠OCA＝45°，∠FJK＝∠OAC＝45°，
∴JF＝FK；
对于y＝﹣x+12，当x＝t时，y＝t+12，
∴K（t，t+12），
∴FK＝t﹣（t+12）＝t﹣12，
∴S＝t2﹣（t﹣12）2＝t2+42t﹣72；
当4＜t≤时，如图3，∠GKA＝∠PJA＝∠OAC＝45°，
∴PA＝PJ＝12﹣2t，GA＝GK＝12t，
∴S＝（12﹣2t）2（12t）2＝t2+6t；
当＜t≤6时，如图4，S＝（12﹣2t）2＝2t2﹣24t+72，
综上所述，S＝．
（3）如图4，连接AE、GE，由矩形的性质可知，点Q在GE上，且PQ＝EQ，
∴PQ+AQ＝EQ+AQ≥AE，
∴当点Q落在AE上，且AE最小时，PQ+AQ的值最小；
如图5，点G与点A重合，则AE与GE重合，
∴点Q在AE上，
∴PQ+AQ＝AE，
此时t＝，
∴OP＝2t＝2×＝，
∴AP＝12﹣＝，
∴PE＝2×＝，
∴AE＝＝；
作BD⊥x轴于点D，作AE′⊥OB于点E′，则OB＝＝4，
由S△OAB＝×OB AE′＝OA BD，得×AE′＝×12×4，解得AE′＝，
∴AE＝AE′，
∴AE的长就是点A到直线OB的距离，
∴AE⊥OB，
∴AE的值最小，此时PQ+AQ的值最小，为，
故答案为：．