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人教版（2019）高中物理必修第二册
第六章 圆周运动
6.3 向心加速度
授课人：扬帆起航
1、定义：做圆周运动的物体，会受到指向圆心的力，这个力叫做向心力。
2、方向：方向沿半径指向圆心（方向时刻变化），始终与线速度垂直（只改变线速度的方向不改变速度大小）
3、大小：
向心力是变力
知识回顾
问题：匀速圆周运动的物体，由于运动方向在不断改变，所以是变速运动。既然是变速运动，就一定有加速度。那么，匀速圆周运动物体的加速度指向哪个方向呢？
思考：做匀速圆周运动的物体，它所受的力沿什么方向？考虑下面实例也许会受到启发。
一、加速度方向
感知加速度的方向
这几个力的合力沿什么方向
小球在桌面上绕钉子做匀速圆周运动受到几个力的作用
小球受力分析如下图所示：
G
FN
F
O
F
F
F
V
V
V
O
总结：物体所受的合力指向圆心。由牛顿第二定律可知，物体的加速度也指向圆心。
（一）匀速圆周运动的加速度方向
加速度的定义式是什么？
a =
Δt
Δv
如何确定Δv的方向
a 的方向与Δv 的方向相同
想一想
用矢量图表示速度变化量
作法：从同一点作出物体在一段时间的始末两个速度矢量v1和v2，从初速度v1的末端至末速度v2的末端所作的矢量就是速度的变化量△v 。
1.分别作出质点在A、B两点的速度矢量（长度一样）。
2.将vA的起点移到B，并保持vA的长度和方向不变。
3. 以vA的箭头端为起点， vB的箭头端为终点作矢量Δv。
4. Δv/Δt 是质点由A到B的平均加速度， Δv 的方向就是加速度方向。
5. 当Δt 很小很小时，AB非常接近，等腰三角形的底角接近直角，Δv 的方向跟vA（或vB）的方向垂直。即指向圆心。
设质点沿半径为r 的圆做匀速圆周运动，某时刻位于A点，速度为vA ，经过时间△t 后位于B点，速度为vB 。
vA
Δv
vB
O
A
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
Δv
vA
Δv
vB
vA
另一种推导
【加速度方向】
1、定义：做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度
4、物理意义：描述速度方向变化的快慢（向心加速度只改变速度方向,不改变速度大小. ）
2、符号：an
3、方向：始终指向圆心（与向心力方向相同）
5、说明：匀速圆周运动加速度的大小不变，方向时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，是变加速运动
向心加速度
（1）向心加速度方向如何？
（3）怎样推导向心加速度的公式？
（2）加速度是描述速度变化快慢的物理量，那么向心加速度是描述什么的物理量？
向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量
向心加速度由向心力产生，据牛顿运动定律知道，这个加速度的方向与向心力的方向相同.
想一想
向心力的大小：
由牛顿第二定律F=ma得：
【向心加速度的大小】
设做匀速圆周运动的物体的线速度的大小为v ，轨迹半径为r。经过时间△t，物体从A点运动到B点。尝试用v 、r 写出向心加速度的表达式。
O
B
A
vA
vB
vA
Δv
vA、vB、△v 组成的三角形与ΔABO相似
∴ =
AB
Δv
v
r
∴ Δv =
AB
v
r
∴ = ·
AB
v
r
Δv
Δt
Δt
当△t 很小很小时，AB=AB=Δs
∴ = = = v
AB
Δs
Δt
Δt
AB
Δt
∴ an = · v =
v
r
v2
r
= ω2r= vω
Δ
θ
Δ
θ
另一种推导
【向心加速度大小】
6.向心加速度的表达式：
思考：
从公式 看，向心加速度与半径成反比；从公式 看，向心加速度与半径成正比；这两个结论是否矛盾？
an =
v2
r
an = rω2
v不变时，an与r 成反比
ω不变时，an与r 成正比
对于非匀速圆周运动也适用
他们两人的观点都不正确.当v一定时，an与r成反比；当ω一定时，an与r成正比.(an与r的关系图象如图所示)
议一议
an与r的关系图象
an与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定．
1.当圆周运动的线速度一定时，向心加速度与半径r的成反比；
2.当角速度ω一定时，线速度与半径r成正比。
想一想
1、下列关于向心加速度的说法中，正确的是 （ ）
A、向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
B、向心加速度的方向保持不变
C、在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D、在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
A
练一练
2、关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（ ）
A、它们的方向都沿半径指向地心
B、它们的方向都平行于赤道平面指向地轴
C、北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D、北京的向心加速度比广州的向心加速度小
O
R
θ
R'
O'
O
R
R'
θ
O'
BD
练一练
1、下列关于向心加速度的说法中，正确的是 （ ）
A、向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
B、向心加速度的方向保持不变
C、在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D、在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
A
试一试
2、一物体在水平面内沿半径 R=20cm的圆形轨道做匀速圆周运动,线速度v =0.2m/s,则它的 向心加速度为______m/s2， 角速度为_____ rad/s，周期为_____s.
0.2
1
2π
试一试
3 、关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是 （ ）
A、它们的方向都沿半径指向地心
B、它们的方向都平行于赤道平面指向地轴
C、北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D、北京的向心加速度比广州的向心加速度小
BD
试一试
4. 一个拖拉机后轮直径是前轮直径的 2 倍，当前进且不打滑时，前轮边缘上某点 A 的线速度与后轮边缘上某点 B 的线速度之比 vA : vB =________，角速度之比 ωA : ωB = _________，向心加速度之比 aA : aB = _________。
1:1
2:1
2:1
A
B
试一试
5：如图所示，A、B两轮同绕轴O转动，A和C两轮用皮带传动，A、B、C三轮的半径之比为2∶3∶3，a、b、c为三轮边缘上的点．求：
（1）三点的线速度之比； 网]
（2）三点转动的周期之比；
（3）三点的向心加速度之比。
2∶3∶2 2∶2∶3 6∶9∶4
试一试
6. 如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转动轴的距离是半径的三分之一，当大轮边上P点的向心加速度是12 cm/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别为多大？
课堂练习
关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A. 它描述的是角速度变化的快慢
B. 它描述的是线速度大小变化的快慢
C. 在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变
D. 在匀速圆周运动中，向心加速度的方向不变
C
课堂练习
有A，B两物体做匀速圆周运动时的向心加速度随半径变化的关系图线如图所示，其中曲线为反比例函数的一部分，则（ ）
A. B物体运动时，其线速度的大小不变
B. B物体运动时，其角速度不变
C. A物体运动时，其角速度不变
D. A物体运动时，其线速度随r的增大而减小
B
课堂练习
现在很多小区或停车场入口都安装车辆识别系统，当汽车驶近时，道闸杆会自动升起。如图所示，A、B是某道闸杆上不同位置的两点，当道闸杆升起时，A、B两点的角速度大小分别为ωA、ωB，线速度大小分别为vA、vB，向心加速度大小分别为aA、aB，则（ ）
A. vA>vB
B. aA=aB
C. aA
D. ωA>ωB
A
例题精讲
如图所示，在长为l 的细绳下端拴一个质量 为 m 的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆 周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。 当绳子跟竖直方向的夹角为θ 时，小球运动的向心加速 度 an 的大小为多少？通过计算说明：要增大夹角θ，应 该增大小球运动的角速度ω。
解：
根据对小球的受力分析，可得小球的向心力
根据牛顿第二定律可得小球运动的向心加速度
根据几何关系可知小球做圆周运动的半径
把向心加速度公式 an ＝ω2r和（2）式代入（1）式，可得
从此式可以看出，当小球运动的角速度增大时，夹角也随之增大。因此，要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω。
课堂练习
如图，一轿车以30 m/s的速率沿半径为60 m的圆弧形公路行驶，当轿车从A运动到B时，轿车和圆心的连线转过的角度为90°，求：
(1)此过程中轿车的位移大小；
(2)此过程中轿车通过的路程；
(3)轿车运动的向心加速度大小。
答：(1)此过程中轿车的位移大小为85m；
(2)此过程中轿车通过的路程为94.2m；
(3)轿车运动的向心加速度大小为15m/s2。