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编者的话：
在上海，八年级素有“小初三”的称号，因 ( http: / / www.21cnjy.com )为在这一年当中所学的知识在整个初中占比很重，知识难度分层及学生拉开差距也在此时体现明显，本工作室特结合上海本地应试学情，结合近三年的期末数学试卷考察方向，制作本专辑，让教师和学生快速上手，直达知识要点，在宝贵的复习阶段提高复习效率。如有不妥之处，望诸君批评指正，谢谢。21世纪教育网版权所有
【期末压轴题】专题05：几何证明综合（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列六个命题
①有理数与数轴上的点一一对应
②两条直线被第三条直线所截，内错角相等
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
⑥如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等，其中假命题的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列几个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②如果和是对顶角，那么；
③一个角的余角一定小于这个角的补角；
④三角形的一个外角大于它的任一个内角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
3．下面说法正确的个数有（ ）
（1）不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变；（2）是的解；（3）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；（4）如果的三个内角满足，那么一定是直角三角形；（5）三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外21cnjy.com
A．1个 B．2 C．3个 D．4个
4．下列命题中假命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等
②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
③点到直线的垂线段叫做点到直线的距离
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行
⑤若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．下列命题为真命题的是（ ）
A．如果，那么且
B．两边分别相等的两个直角三角形全等
C．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等
D．如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等
6．一副三角板如图摆放，点是45°角三角板的斜边的中点，．当30°角三角板的直角顶点绕着点旋转时，直角边，分别与，相交于点，．在旋转过程中有以下结论：①；②四边形有可能为正方形；③长度的最小值为2；④四边形的面积保持不变：⑤面积的最大值为2，其中正确的个数是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在中，，，D为边上一点，将绕点A逆时针旋转90°得到，点B、D的对应点分别为点C、E，连接，将平移得到（点A、C的对应点分别为点D、F），连接，若，，则的长为（ ）21·世纪*教育网
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A． B．6 C． D．
8．如图，等腰RtABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF＝DN；②DMN为等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝EC；⑤AE＝NC，其中正确结论有（ ） www-2-1-cnjy-com
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（ ）
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A． B． C．6 D．3
10．如图，中，且，为外一点，连接，过作交于点，为上一点且，连接，．将线段绕点逆时针旋转到线段，连接分别交、于点、，连接、．下列结论：①；②；③；④；⑤若，，，则．其中正确的个数为（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．如图，在ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，延长BD到F，使DF＝DB，连接CF，过点C作CD⊥BF于点D，BD＝16，AC＝22，则边BC的长为（ ）
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A．8 B．9 C．10 D．12
12．如图，把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转至如图EBD，使BC在BE上延长AC交DE于F，若AF=4，则AB的长为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．2 B．2 C．2 D．3
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段绕着点P逆时针旋转90°，得到线段，连接，，则的最小值为__________．
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14．如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，点E与点A关于直线对称，连接，，，当是直角三角形时，求的长为_____________．21*cnjy*com
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15．如图，已知，，，且，则_________
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16．如图，在矩形ABCD中，点E在线段AD上，连接BE、CE，点F在线段BE上，连接CF，若∠EBC＝2∠ECD，DE＝2，BF＝9，tan∠EFC＝，则线段CE的长为______．
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17．如图，在等腰中，，，D、E为边AB上两个动点，且，则周长的最小值是________．【来源：21·世纪·教育·网】
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18．如图，点D是等边△ABC内部的一点，∠ADC＝120°，AB2＝19，，则线段BD的长度是 ___．【来源：21cnj*y.co*m】
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19．如图所示，∠AOB＝50°， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BOC＝30°，OM＝11，ON＝6．点P、Q分别是OA、OB上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是 ___．www.21-cn-jy.com
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20．△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝4，BC＝13，以AB为边作等边△ABD，过D作DE⊥BC于E，则BE的长为____．【版权所有：21教育】
三、解答题
21．如图，AD与BC交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )O，①AD=BC；②∠A=∠C；③AB=CD，请以①②③中的两个作为条件，另一个为结论，写出一个真命题，并加以证明．21教育名师原创作品
已知：
求证：
证明：
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22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以4cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．21·cn·jy·com
（1）当t= 时，AP平分△ABC的面积．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
（3）若点Q是边AB上一点，且QP⊥BC，垂足为P，请用无刻度的直尺和圆规，作出点P、点Q，使得QA=QP．21*cnjy*com
（4）若点E、F为BC、AB上的动点，求AE+EF的最小值．
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23．在△ABC中，P是BC边上的一动点，连接AP．
（1）如图1，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BAP＝15°，且PC＝+1．求：△ABP的面积．
（2）如图2，若∠BAC＝90°，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝AC，AP为边作等腰Rt△APE，连接BE，F是BE的中点，连接AF，猜想PE，PB，AF之间有何数量关系？并证明你的结论．
（3）如图3，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，若∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝9﹣3，当DE最小时，请直接写出DE的最小值．
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24．如图， 在RtABC 中AB=10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P 关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点 E，连结DP， 设AP=m．
（1） 若BC=8，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；
（2）在（1）的条件下，若AP=PD．求CP的长：
（3）连结PE， 若∠A=60°，PCE与PDE的画积之比为1：2，求m的值．
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25．定义：如图1，点M、N把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．
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（1）已知点M、N是线段的勾股分割点，，，若，，则_________；
（2）如图，在等腰直角中，，，M，、N为直线上两点，满足．
①如图2，点M、N在线段上，求证：点M、N是线段的勾股分割点；
小林同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对小林说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；21教育网
②如图3，若点M在线段上，点N在线段的延长线上，，，求的长．
26．如图，在中，．
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（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，D为外的一点，连接，且，，过点C作交的延长线于点E，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，作平分交于点P，过E点作交的延长线于点M，点K为直线上点的一个动点，连接，过M点作，且始终满足，连接，若，请求出取得最小值时的值．
27．如图（1），CD、BE是△ABC的两条高，M为线段BC的中点．
（1）求证：MD＝ME．
（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝42°，求∠DME的度数．
（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图（2），∠BAC＝α，请直接写出∠DME的度数．（用含α的式子表示）
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28．如图，在中，，过点A作线段AD，使，连接BD，CD．
（1）如图1，当时，求度数；
（2）如图2，求证：；
（3）如图3，在（1）的条件下，过点D作，垂足为点F，并反向延长DF到点E，使，连接AE交DC于点M，若，求AE的长．
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29．如图，已知ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
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（1）如图1，若点P在线段AB上时，猜想PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系 ；
（2）如图2，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明；【出处：21教育名师】
（3）若动点P满足＝，求的值（请利用图3进行探求）．
30．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，，记旋转角为．
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（1）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；
（2）如图②，当时，求的长及点的坐标．
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编者的话：
在上海，八年级素有“小初三”的称号，因 ( http: / / www.21cnjy.com )为在这一年当中所学的知识在整个初中占比很重，知识难度分层及学生拉开差距也在此时体现明显，本工作室特结合上海本地应试学情，结合近三年的期末数学试卷考察方向，制作本专辑，让教师和学生快速上手，直达知识要点，在宝贵的复习阶段提高复习效率。如有不妥之处，望诸君批评指正，谢谢。【出处：21教育名师】
【期末压轴题】专题05：几何证明综合（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列六个命题
①有理数与数轴上的点一一对应
②两条直线被第三条直线所截，内错角相等
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
⑥如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等，其中假命题的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【标准答案】C
【思路点拨】
利用实数的性质、平行线的性质及判定、点到直线的距离等知识分别判断后即可确定答案．
【精准解析】
解：①实数与数轴上的点一一对应，故原命题错误 ( http: / / www.21cnjy.com )，是假命题，符合题意；
②两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确，是真命题，不符合题意；
④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，正确，是真命题，不符合题意；
⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故原命题错误，是假命题，符合题意；
⑥如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故原命题错误，是假命题，符合题意，
假命题有4个，
故选：C．
【名师指导】
本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解实数的性质、平行线的性质及判定、点到直线的距离的定义等知识，难度不大．21cnjy.com
2．下列几个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②如果和是对顶角，那么；
③一个角的余角一定小于这个角的补角；
④三角形的一个外角大于它的任一个内角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【标准答案】B
【思路点拨】
根据平行线的性质对①进行判断；根据对顶角的性质对②进行判断；根据余角与补角的定义对③进行判断；根据三角形外角性质对④进行判断．21教育名师原创作品
【精准解析】
解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；
如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，所以②正确；
一个角的余角一定小于这个角的补角，所以③正确；
三角形的外角大于任何一个与之不相邻的一个内角，所以④错误．
故选：B．
【名师指导】
本题考查了命题与定理：判断一件事情 ( http: / / www.21cnjy.com )的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3．下面说法正确的个数有（ ）
（1）不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变；（2）是的解；（3）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；（4）如果的三个内角满足，那么一定是直角三角形；（5）三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外
A．1个 B．2 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路点拨】
利用不等式性质2可判断（1）；利用解不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )求解可判断（2）；利用三角形外角性质可判断（3）；利用三角形内角和与条件组成方程组可判断（4）；利用直角三角形高所在直线交点可判断（5）即可．
【精准解析】
解（1）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，
故（1）不正确；
（2），
移项合并得，
系数化1得，
∴是的解正确，
故（2）正确；
（3）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
故（3）正确；
（4）如果的三个内角满足，
又∵
∴
解得
∴一定是直角三角形，
故（4）正确；
（5）三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外
直角三角形的高所在的直线交于一点，在三角形边上，
故（5）不正确；
∴说法正确的个数有3个．
故选择C．
【名师指导】
本题考查不等式的性质，不 ( http: / / www.21cnjy.com )等式的解法与解，三角形外角性质，直角三角形判定，三角形高所在直线的交点位置，掌握不等式的性质，不等式的解法与解，三角形外角性质，直角三角形判定，三角形高所在直线的交点位置是解题关键．
4．下列命题中假命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等
②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
③点到直线的垂线段叫做点到直线的距离
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行
⑤若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【标准答案】B
【思路点拨】
根据平行线的性质和判定，点到直线距离定义一一判断即可．
【精准解析】
解：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等，错误，缺少平行的条件；
②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，正确；
③点到直线的垂线段叫做点到直线的距离，错误，应该是垂线段的长度；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，应该是过直线外一点；
⑤若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行，错误，条件是同一平面内．
故选B．
【名师指导】
本题主要考查命题与定理，解决本题的关键是要熟练掌握平行线的性质和判定，点到直线距离定义．
5．下列命题为真命题的是（ ）
A．如果，那么且
B．两边分别相等的两个直角三角形全等
C．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等
D．如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等
【标准答案】D
【思路点拨】
分清“或”与“且”的区别，可判断A，利用全等三角形的判定方法可判断B，利用角平分线的性质可判断C，利用平行线间的距离处处相等性质可判断D．
【精准解析】
A．∵，∴m=0或n=0，如果，那么且不是真命题，故选项A不正确
B. ∵有两边对应相等的两个直角三角形全等，∴两边分别相等的两个直角三角形全等不是真命题，故选项B不正确；
C. ∵三角形的三条角平分线相交 ( http: / / www.21cnjy.com )于以点，这点到三边的距离相等，∴三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等不是真命题，故选项C不正确；
D. 如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等是真命题，故选项D正确．
故选择D．
【名师指导】
本题考查真命题，由正确的题设能推出结论正确，是真命题，否则是假命题是解题关键．
6．一副三角板如图摆放，点是45°角三角板的斜边的中点，．当30°角三角板的直角顶点绕着点旋转时，直角边，分别与，相交于点，．在旋转过程中有以下结论：①；②四边形有可能为正方形；③长度的最小值为2；④四边形的面积保持不变：⑤面积的最大值为2，其中正确的个数是（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【标准答案】C
【思路点拨】
利用两直角三角形的特殊角、性质及旋转的性质分别判断每一个结论，找到正确的即可．
【精准解析】
解：①连接CF，
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∵F为AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴AF=BF=CF，CF⊥AB，
∴∠AFM+∠CFM=90°．
∵∠DFE=90°，∠CFM+∠CFN=90°，
∴∠AFM=∠CFN．
同理，∵∠A+∠MCF=90°，∠MCF+∠FCN=90°，
∴∠A=∠FCN，
在△AMF与△CNF中，
，
∴△AMF≌△CNF（ASA），
∴MF=NF．
故①正确；
②当MF⊥AC时，四边形MFNC是矩形，此时MA=MF=MC，根据邻边相等的矩形是正方形可知②正确；21·cn·jy·com
③连接MN，当M为AC的中点时，CM=CN，根据边长为4知CM=CN=2，此时MN最小，最小值为，故③错误；【版权所有：21教育】
④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△AMF
∴S四边形CDFE=S△AFC．
故④正确；
⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此当MF最小时，FN也最小；
即当DF⊥AC时，MF最小，此时FN=AC=2．
∴MN=MF=；
当△CMN面积最大时，此时△MNF的面积最小．
此时S△CMN=S四边形CFMN-S△FMN=S△AFC-S△DEF=4-2=2，
故⑤正确．
故选：C．
【名师指导】
此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．
7．如图，在中，，，D为边上一点，将绕点A逆时针旋转90°得到，点B、D的对应点分别为点C、E，连接，将平移得到（点A、C的对应点分别为点D、F），连接，若，，则的长为（ ）
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A． B．6 C． D．
【标准答案】A
【思路点拨】
由旋转的性质可得BD＝CE＝2，∠ACE＝∠ABD＝45°，由勾股定理可求BE，由“SAS”可证△ABE≌△DFA，可得BE＝AF．
【精准解析】
解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝，
∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，
∴BD＝CE＝2，∠ACE＝∠ABD＝45°，AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠BCE＝90°，
∴BE＝＝＝2；
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠BAE+∠DAC＝180°，
∵AC平移得到DF，
∴AC＝DF＝AB，AC∥DF，
∴∠ADF+∠DAC＝180°，
∴∠ADF＝∠BAE，
在△ABE和△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（SAS），
∴BE＝AF＝2，
故选：A
【名师指导】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用性质性质解决问题是本题的关键．www.21-cn-jy.com
8．如图，等腰RtABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF＝DN；②DMN为等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝EC；⑤AE＝NC，其中正确结论有（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【标准答案】C
【思路点拨】
先根据等腰直角三角形的性质得出，，，进而证，即可判断①，再证，推出，即可判断⑤；根据全等三角形的判定与性质可得M为AN的中点，进而可证得，由次可判断②，再根据等腰三角形的性质及外角性质可判断③，最后再根据垂直平分线的判定与性质以及直角三角形的勾股定理可判断④．
【精准解析】
解：，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
又∵M为EF的中点，
∴，
，
，
在和中，
（ASA），
，故①正确；
在和中
（ASA），
，
，
，故⑤正确；
在和中
（ASA），
，
∴点M是AN的中点，
又∵，
∴，
，
是等腰三角形，故②正确；
，
，
，
，
平分，故③正确；
如图，连接EN，
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∵，，
∴BE垂直平分AN，
∴EA＝EN，
，
，
又∵，
∴，且，
在中，，
∴，
，故④错误，
即正确的有4个，
故选：C．
【名师指导】
本题考查了全等三角形的判定与 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质以及勾股定理等相关知识的应用，能熟练运用相关图形的判定与性质是解此题的关键，主要考查学生的推理能力．
9．如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（ ）
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A． B． C．6 D．3
【标准答案】C
【思路点拨】
由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明最短，多次用勾股定理求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出的周长最小值为6．www-2-1-cnjy-com
【精准解析】
解：作点关于、的对称点分别为点和点，
连接交和于点和点，，连接、；
再和上分别取一动点和（不同于点和，
连接，，和，如图1所示：
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，
，，
，
又，
，，
，
时周长最小；
连接，过点作于的延长线于点，
如图示2所示：
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在中，，，
，
，
，，
又，
，
，，
，
，
又，
，
，，
在△中，由勾股定理得：
．
，
故选：C．
【名师指导】
本题综合考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，平角的定义和两点之间线段最短等相关知识点，解题的关键是掌握轴对称最短路线问题，难点是构建直角三角形求两点之间的长度．
10．如图，中，且，为外一点，连接，过作交于点，为上一点且，连接，．将线段绕点逆时针旋转到线段，连接分别交、于点、，连接、．下列结论：①；②；③；④；⑤若，，，则．其中正确的个数为（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【标准答案】C
【思路点拨】
先证明，得到对应边相等，对应角相等，依次得出①正确和③错误，由等腰直角三角形的性质和勾股定理，得出②正确，由三角形的三边关系，可以得出④正确，利用勾股定理逆定理和三角形面积公式即可判定⑤正确．
【精准解析】
解:∵，，
∴，
又∵且，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
，即，故④正确；
∵，，，
∴，
∴，故③错误；
如图，连接，
若，，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
故选：C．
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【名师指导】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质、勾股定 ( http: / / www.21cnjy.com )理及其逆定理、等腰直角三角形等内容，解决本题的关键是能正确分析图形中的相等关系，能在相等的边和角中进行转化，能构造直角三角形进行求解等．
11．如图，在ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，延长BD到F，使DF＝DB，连接CF，过点C作CD⊥BF于点D，BD＝16，AC＝22，则边BC的长为（ ）
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A．8 B．9 C．10 D．12
【标准答案】A
【思路点拨】
过点C作交BF于点H，由此可得∠A＝∠ECH，∠EBA＝∠EHC，再根据EB＝EA可得∠A＝∠EBA，进而可得AC＝BH＝22，结合DF＝DB＝16可得BF＝32，DH＝6，FH＝10，再利用垂直平分线的性质可得BC＝CF，进而可得∠F＝∠CBE，再结合∠A＝2∠CBE，∠EHC＝∠HCF＋∠F可得CH＝FH＝10，最后利用勾股定理计算即可求得答案．
【精准解析】
解：如图，过点C作交BF于点H，
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∵，
∴∠A＝∠ECH，∠EBA＝∠EHC，
∵EB＝EA，
∴∠A＝∠EBA，
∴∠ECH＝∠EHC，
∴EC＝EH，
∴EC＋EA＝EH＋EB，
即AC＝BH＝22，
又∵DF＝DB＝16，
∴BF＝BD＋DF＝32，DH＝BH－BD＝6，
∴FH＝BF－BH＝32－22＝10，
∵CD⊥BF，DF＝DB，
∴BC＝CF，
∴∠F＝∠CBE，
又∵∠A＝2∠CBE，
∴∠EHC＝∠ECH＝2∠F，
又∵∠EHC＝∠HCF＋∠F，
∴∠HCF＋∠F＝2∠F，
∴∠HCF＝∠F，
∴CH＝FH＝10，
∴在中，，
∴在中，，
故选：A．
【名师指导】
本题考查了平行线的性质，等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定，三角形的外角性质，垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，根据题意作出正确的辅助线并能熟练运用相关图形的性质是解决本题的关键．
12．如图，把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转至如图EBD，使BC在BE上延长AC交DE于F，若AF=4，则AB的长为（ ）
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A．2 B．2 C．2 D．3
【标准答案】C
【思路点拨】
连接AE，可证明△ABE为等边三角形AE ( http: / / www.21cnjy.com )=AB，△AEF为直角三角形，再结合含30°角的直角三角形的性质和勾股定理可求得AE，从而得出AB．
【精准解析】
解：连接AE，
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由题意可知，在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
根据旋转的性质可知，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE=AB，∠AEB=60°，∠EAF=30°，
∴∠AEF=90°，
∴,．
故选：C．
【名师指导】
本题考查勾股定理，旋转的性质，含30°角的直角三角形，等边三角形的性质和判定．能正确作出辅助线构筑等边三角形是解题关键．2·1·c·n·j·y
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段绕着点P逆时针旋转90°，得到线段，连接，，则的最小值为__________．
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【标准答案】
【思路点拨】
过点B作BC⊥y轴于点C，作O关于直线BC的对称点D，连接AD，BD，由题意易得△BCP≌△POA，则有PC=OA=6，BC=OP=m，则有CO=6+m，DO=12+2m，由三角不等关系可知，进而问题可求解．2-1-c-n-j-y
【精准解析】
解：过点B作BC⊥y轴于点C，作O关于直线BC的对称点D，连接AD，BD，如图所示：
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∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴△BCP≌△POA，
∵点，点，
∴PC=OA=6，BC=OP=m，
∴CO=6+m，
由轴对称可知：，
∴DO=12+2m，
由三角不等关系可知，即，
∴AB+OB的最小值即为AD的长，
∴
∴当m=0时，AD最短，为；
故答案为．
【名师指导】
本题主要考查图形与坐标、 ( http: / / www.21cnjy.com )勾股定理、轴对称的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
14．如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，点E与点A关于直线对称，连接，，，当是直角三角形时，求的长为_____________．
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【标准答案】1或7.
【思路点拨】
根据题意分两种情况：①当点D在AF上时；②当点D在BF上时；进行讨论即可求解．
【精准解析】
解：作CF⊥AB于F，
∵在△ABC中，，，，
∴AF=4，
∴，
①如图1，当点D在AF上时，【来源：21·世纪·教育·网】
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∵∠ADE=90°，
∴∠ADC=∠EDC=（360°-90°）÷2=135°．
∴∠CDF=45°．
∴CF=DF．
∴AD=AF-DF=AF-CF=4-3=1．
②如图2，当点D在BF上时，
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∵∠ADE=90°，
∴∠CDF=45°．
∴CF=DF．
∴AD=AF+DF=AF+CF=4+3=7．
故答案为：1或7.
【名师指导】
本题主要考查勾股定理，等腰三角形的性质以及轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题．
15．如图，已知，，，且，则_________
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【标准答案】
【思路点拨】
延长CD交AB于E，根据题意可求得∠BDE=∠B =30°，再根据等腰三角形的判定和三角形外角性质求得BE=DE，∠AED=2∠B=60°，过E作EF⊥BD于F，过A作AP⊥CE于P，利用等腰三角形的性质和含30°角在直角三角形的性质可得BF= BD，BE=2EF，AE=2EP，AP= EP，根据勾股定理和等腰直角三角形判定分别求出BE、DE、EP，进而求得AE即可解答．
求解即可．
【精准解析】
解：延长CD交AB于E，
∵∠BDC=150°，∠B=30°，
∴∠BDE=∠B =30°，
∴BE=DE，∠AED=2∠B=60°，
过E作EF⊥BD于F，过A作AP⊥CE于P，
则BF= BD= ，
在Rt△BEF中，∠B=30°，
∴BE=2EF，由勾股定理得：BF2+EF2=BE2，
解得：BE= ，即DE =，
在Rt△APE中，∠AED=60°，则∠EAP=30°，
∴AE=2EP，
∴AP= =EP，
∵AP⊥CE，∠C=45°，
∴∠CAP=45°，
∴CP=AP=EP，
∵EP+CP=DE+CD，CD=5，
∴EP+EP=+5，
解得：EP=，
∴AE=2EP=，
∴AB=BE+AE=，
故答案为：．
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【名师指导】
本题考查等腰三角形的判定与性质、含3 ( http: / / www.21cnjy.com )0°角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的外角性质、解一元一次方程等性质，理解题意，添加适当的辅助线，掌握相关知识间的联系与运用是解答的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，点E在线段AD上，连接BE、CE，点F在线段BE上，连接CF，若∠EBC＝2∠ECD，DE＝2，BF＝9，tan∠EFC＝，则线段CE的长为______．
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【标准答案】
【思路点拨】
过点C作于，证明，得到，继而证明，结合已知tan∠EFC＝，设，在中，根据勾股定理得，结合因式法解一元二次方程得到，从而解得，最后在中，有应用勾股定理解题即可．
【精准解析】
解：过点C作于，
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设∠ECD=
矩形ABCD中，AD//BC
在与中
与中，
tan∠EFC＝，
设
在中，根据勾股定理得，
整理得，
即
解得：或（舍去）
在中，
故答案为：．
【名师指导】
本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、因式法解一元二次方程、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．21世纪教育网版权所有
17．如图，在等腰中，，，D、E为边AB上两个动点，且，则周长的最小值是________．
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【标准答案】16
【思路点拨】
作CH∥AB，点E关于直 ( http: / / www.21cnjy.com )线CH对称点为F，连接CF，作CG⊥AB于G，当F、C、D在同一直线上时，周长最小，此时可证CD=CE，根据勾股定理可求CD长，即可求出周长最小值．
【精准解析】
解：作CH∥AB，点E关于直线CH对称点为F，连接CF，作CG⊥AB于G，
由对称可知，CD+CE＝CD+CF，当F、C、D在同一直线上时，它们的和最小，即周长的最小．
∵CH∥AB，CG⊥AB，
∴∠HCG＝90°，
∠ECG+∠HCE＝90°，∠FCH+∠DCG＝90°，
由对称可知，∠HCF＝∠HCE，
∴∠DCG＝∠GCE，
∵CG＝GC，∠EGC＝∠DGC＝90°，
∴△EGC≌△DGC，
∴CD=CE，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
周长的最小值为5+5+6=16．
故答案为：16．
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【名师指导】
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理和最短路径问题，解题关键是恰当作轴对称，确定周长最小时，三角形为等腰三角形．
18．如图，点D是等边△ABC内部的一点，∠ADC＝120°，AB2＝19，，则线段BD的长度是 ___．
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【标准答案】
【思路点拨】
如图，以AD为边作等边△ADE，连接CE，作AF⊥CD交延长线于点F，作CG⊥DE于点G，证明得,设，则，运用勾股定理求出DG，CG，CE，DF，AF的长，最后列出方程求解即可．
【精准解析】
解：以AD为边作等边△ADE，连接CE，作AF⊥CD交延长线于点F，作CG⊥DE于点G，如图，
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∴AD=AE，
∵是等边三角形，
∴AB=AC，
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴设，则
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∵
∴
∴
∴
又
在Rt△AFC中，，即
∴
解得，（负值舍去）
∴
故答案为：
【名师指导】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
19．如图所示，∠AOB＝50° ( http: / / www.21cnjy.com )，∠BOC＝30°，OM＝11，ON＝6．点P、Q分别是OA、OB上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是 ___．【来源：21cnj*y.co*m】
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【标准答案】
【思路点拨】
作点关于的对称点，则，作点关于的对称点，则，，当在同一条直线上时取最小值，连接，过点作交的反向延长线于点，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，求得，进而在和中，勾股定理求得，进而求得．
【精准解析】
如图，作点关于的对称点，则，作点关于的对称点，则，
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，
当在同一条直线上时取最小值，连接，过点作交的反向延长线于点，
，
则，
，
,
在中，
在中，，
故答案为：
【名师指导】
本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，轴对称的性质，构造特殊三角形是解题的关键．
20．△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝4，BC＝13，以AB为边作等边△ABD，过D作DE⊥BC于E，则BE的长为____．
【标准答案】2.5或8.5
【思路点拨】
作辅助线，构建全等三角形，如图1，证 ( http: / / www.21cnjy.com )明△ABC≌△DAG，则∠HGC=∠C=60°，DG=AC=4，再证明△GHC是等边三角形，计算DH=13，BH=4；在Rt△DHE中，∠HDE=30°，
根据直角三角形30°角的性质求 ，从而得EC的长；延长AC至G，使AG=BC=13，连接GD，CD，设AD，BC交于F，根据等边三角形的性质得到AD=BD，∠ABD=∠C=60°，根据全等三角形的性质得到∠ADG=∠BDC，DG=CC，推出△CDG是等边三角形，根据直角三角形的性质即可得到答案．
【精准解析】
解：如图1，延长CA至G，使AG=BC=13，连接GD并延长，交CB的延长线于H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△ADB是等边三角形，
∴AD=AB，∠DAB=60°，
∴∠DAG+∠BAC=120°，
∵∠C=60°，
∴∠ABC+∠BAC=120°，
∴∠DAG=∠ABC，
在△ABC和△DAG中，
∵BC=AG，∠ABC=∠DAC，AB=AD
∴△ABC≌△DAG（SAS），
∴∠HGC=∠C=60°，DG=AC=4，
∴△GHC是等边三角形，
∴GH=GC=HC=13+4=17，∠DHC=60°，
∴DH=13，BH=4，
∵DE⊥BC，
∴∠DEH=90°，
在Rt△DHE中，∠HDE=30°，
∴ ，
∴BE=EH-BH=6.5-4=2.5；
如图2，延长AC至G，使AG=BC=13，连接GD，CD，设AD，BC交于F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△ADB是等边三角形，
∴AD=BD，∠ABD=∠C=60°，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAD=∠CBD，
在△ADG和△BDC中，
∵AD=BD，∠DAG=∠DBC，AG=BC，
∴△ADG≌△BDC（SAS），
∴∠ADG=∠BDC，DG=CC，
∴∠BDC-∠ADC=∠ADG-∠ADC，即∠ADB=∠CDG=60°，
∴△CDG是等边三角形，
∴∠DCG=60°，
∴∠BCD=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠EDC=30°，
∵CD=CG=AG-AC=BC-AC=9
∴ ，
∴BE=BC-CE=8.5，
综上所述，BE的长为2.5或8.5．
故答案为：2.5或8.5
【名师指导】
本题考查了全等三角形的性质和判定、直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形30°角的性质、等边三角形的性质和判定，作辅助线构建两三角形全等是本题的关键，证明△GHC是等边三角形是突破口．
三、解答题
21．如图，AD与BC交 ( http: / / www.21cnjy.com )于点O，①AD=BC；②∠A=∠C；③AB=CD，请以①②③中的两个作为条件，另一个为结论，写出一个真命题，并加以证明．
已知：
求证：
证明：
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】已知：①③， 求证②，见解析
【思路点拨】
连接BD，由SSS证明△ABD≌△CDB，即可得出∠A＝∠C；
【精准解析】
真命题：AD与BC交于点O，如果AD=BC；AB=CD，那么∠A=∠C
已知：如图，AD=BC ，AB=CD，
求证：∠A=∠C
证明：连接BD，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠A＝∠C；
【名师指导】
本题考查了全等三角形的判定与性质；熟记三角形全等的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以4cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当t= 时，AP平分△ABC的面积．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
（3）若点Q是边AB上一点，且QP⊥BC，垂足为P，请用无刻度的直尺和圆规，作出点P、点Q，使得QA=QP．
（4）若点E、F为BC、AB上的动点，求AE+EF的最小值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）1；（2）当△ABP为等腰三角形时，或或4；（3）图见详解；（4）AE+EF的最小值．
【思路点拨】
（1）由题意易得BP=4t，然后可得4t=4，进而问题可求解；
（2）当△ABP为等腰三角形时，可分：①BP=AP；②BP=BA；③AB=AP；然后根据等腰三角形的性质可进行求解；
（3）以点A为圆心，适当长为 ( http: / / www.21cnjy.com )半径画弧，交AB、AC于点M、N，然后以点M、N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，交于一点，连接点A与这个点并延长，交BC于点P，最后过点P作PQ⊥BC即可；
（4）作点A关于射线BC的对称点G，然 ( http: / / www.21cnjy.com )后过点G作GF⊥AB交BC于点E，垂足为F，由轴对称的性质及垂线段最短可知此时AE+EF的最小值即为GF的长，进而问题可求解．
【精准解析】
解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，
∴，
∵AP平分△ABC的面积，
∴点P是边BC的中点，
∵BP=4t，
∴，解得：，
故答案为1；
（2）当△ABP为等腰三角形时，可分：①BP=AP=4t，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，
∴在Rt△ACP中，由勾股定理可得：，
解得：；
②BP=BA=4t，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，解得：；
③AB=AP=10，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，解得：；
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，或或4；
（3）如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（4）由题意可得如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
作点A关于射线BC的对称点 ( http: / / www.21cnjy.com )G，然后过点G作GF⊥AB交BC于点E，垂足为F，由轴对称的性质及垂线段最短可知此时AE+EF的最小值即为GF的长，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，
连接BG，
∴，
∴，
∴AE+EF的最小值．
【名师指导】
本题主要考查勾股定理、角平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理、角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
23．在△ABC中，P是BC边上的一动点，连接AP．
（1）如图1，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BAP＝15°，且PC＝+1．求：△ABP的面积．
（2）如图2，若∠BAC＝90°，AB＝A ( http: / / www.21cnjy.com )C，AP为边作等腰Rt△APE，连接BE，F是BE的中点，连接AF，猜想PE，PB，AF之间有何数量关系？并证明你的结论．
（3）如图3，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，若∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝9﹣3，当DE最小时，请直接写出DE的最小值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）；（2）；（3）DE的最小值为：
【思路点拨】
（1）过点A作AG⊥BC于点G，由,列等量关系,计算得到的长，然后利用三角形面积公式求解即可；
（2）连接CE并延长，交BA的延长线与点H，证明，,进一步推理得到；由三角形中位线定理知道；证明，得到,代入中即可得到答案；
（3）延长PD到点M，使MD ( http: / / www.21cnjy.com )=PD，延长PE到点N，使NE=PE，连接AP、AM、AN、MN，过点A作AQ⊥MN于点Ｑ，推理得到当AP有最小值的时候，DE有最小值，在△ABC中，当AP⊥BC的时，AP有最小值，利用勾股定理求解即可．
【精准解析】
解：（1）过点A作AG⊥BC于点G，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
又∵，
∴
在中，，
∴
设，则
由勾股定理，得：，即
∵
∴
∴
∵,
∴
解得：
∴
∴
∴
（2）,理由如下：
证明：连接CE并延长，交BA的延长线与点H，作图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵
∴,
∵是等腰直角三角形
∴
∴
∴
在和中，
∴
∴,
∴
在中，
由勾股定理，得：,即：
∵
∴
又∵
∴
在中，
∴
∴
∴
又∵F是BE的中点
∴AF是的中位线
∴
∵
∴
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
（3）延长PD到点M，使MD=PD，延长PE到点N，使NE=PE，连接AP、AM、AN、MN，过点A作AQ⊥MN于点Ｑ，如下图：21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵
∴
∴
∵
∴，
∵
∴,
∴,DE是的中位线
∴,
在中，AM=AN，，
∴,
∴
在中，
∴
由勾股定理，得：
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴当AP有最小值的时候，DE有最小值
∴在△ABC中，当AP⊥BC的时，AP有最小值
过点B作BF⊥AC于点F，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵
∴∠BFC=∠BFA=
在中，
∴,
∴FB=FC
由勾股定理，得：，即
∵
∴
在中，
∴
∴
由勾股定理，得：
即：
∵
∴
∴
在中，
∴
∴
由勾股定理，得，即
∵
∴
∴AP的最小值为3
∴
∴DE的最小值为：
【名师指导】
本题考查勾股定理解直接三角形，等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理等知识点，能够用化归的思想，画出解题必需的辅助线是解该类型题的关键．
24．如图， 在RtABC 中AB=10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P 关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点 E，连结DP， 设AP=m．
（1） 若BC=8，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；
（2）在（1）的条件下，若AP=PD．求CP的长：
（3）连结PE， 若∠A=60°，PCE与PDE的画积之比为1：2，求m的值．
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【标准答案】（1）6，12-2m；（2）2；（3）2
【思路点拨】
（1）先利用定理求出AC，再利用折叠的性质，可求出PQ；
（2）通过AP=PD和∠ADP+∠PDQ=∠A+∠AQD=90°，可得AP=PQ=PD，进而即可列方程求解；
（3）先证明点E是DQ的中点，再证明∠DPQ=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AP=AD=-m，从而列方程求解．
【精准解析】
解：（1）∵RtABC 中AB=10，BC⊥AC，BC=8，
∴AC=，
∵AP=m，
∴PC=6-m，
∵点Q，P 关于直线BC对称，
∴PQ= 2PC=12-2m；
（2）∵AP=PD，
∴∠A=∠ADP，
∵QD⊥AB，
∴∠ADP+∠PDQ=∠A+∠AQD=90°，
∴∠PDQ=∠AQD，
∴PD=PQ，
∴AP=PQ=PD，
∴m=12-2m，解得：m=4，
∴CP=6-4=2；
（3）∵PCE与PDE的面积之比为1：2，PCE的面积和DCE的面积相等，
∴PQE和PDE的面积相等，
∴点E是DQ的中点，即：DE=QE，
∵点Q，P 关于直线BC对称，
∴EP=EQ，
∴EP=EQ=ED，
∴∠EDP=∠EPD，∠EPQ=∠EQP，
∴∠EPD+∠EPQ=180°÷2=90°，即：∠DPQ=90°，
∵∠A=60°，QD⊥AB，
∴∠AQD=30°，∠B=30°，
∴AC=AB=5，
∴AD=AQ=（AP+PQ）=（10-2m+m）=5-m，
∵∠APD=90°，
∴∠ADP=30°，
∴AP=AD=-m，
∴-m=m，解得：m=2．
【名师指导】
本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，掌握直角三角形，30°角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
25．定义：如图1，点M、N把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．
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（1）已知点M、N是线段的勾股分割点，，，若，，则_________；
（2）如图，在等腰直角中，，，M，、N为直线上两点，满足．
①如图2，点M、N在线段上，求证：点M、N是线段的勾股分割点；
小林同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对小林说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；
②如图3，若点M在线段上，点N在线段的延长线上，，，求的长．
【标准答案】（1）；（2）①点M、N是线段的勾股分割点，过程见解析；②
【思路点拨】
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）①将绕点C逆时针旋转90°得到△CAP，连接AP、MP，根据旋转的性质得到CP=CN，∠CAP=∠B=45°，AP=BN，证明△MCN≌△MCP，推出MN=PM，利用勾股定理得到，由此得到结论；
②将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAE，连接ME，则AE=，CE=CN，∠ACE=∠BCN，∠MAE=90°，证明△MCE≌△MCN，推出ME=MN，根据勾股定理得到，即，将数值代入即可求出答案．
【精准解析】
解：（1）∵以、、为边的三角形是一个直角三角形，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①∵，，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
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将绕点C逆时针旋转90°得到△CAP，连接AP、MP，
∴CP=CN，∠CAP=∠B=45°，AP=BN，
∴∠MAP=90°，
∵，∠NCP=90°，
∴∠MCP=，
∵CM=CM，CP=CN，
∴△MCN≌△MCP，
∴MN=PM，
∵，
∴；
∴点M、N是线段的勾股分割点；
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②将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAE，连接ME，则AE=，CE=CN，∠ACE=∠BCN，∠CAE=∠CBN=135°，21教育网
∴∠MAE=90°，
∵∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠BCN+∠ECB=90°，即∠ECN=90°，
∵，
∴∠ECM=45°=∠MCN，
∵CM=CM，CE=CN，
∴△MCE≌△MCN，
∴ME=MN，
∵，即，
∴，
解得．
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【名师指导】
此题考查勾股定理，全等三角形的判定及性质，旋 ( http: / / www.21cnjy.com )转的性质，直角三角形的判定，正确掌握勾股定理及旋转的性质是解题的关键．（2）解题的关键是利用旋转的性质正确引出辅助线，构造直角三角形．
26．如图，在中，．
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（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，D为外的一点，连接，且，，过点C作交的延长线于点E，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，作平分交于点P，过E点作交的延长线于点M，点K为直线上点的一个动点，连接，过M点作，且始终满足，连接，若，请求出取得最小值时的值．
【标准答案】（1）6；（2）见解析；（3）
【思路点拨】
（1）通过作辅助线构造等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB边上的高，再利用三角形面积公式求解；
（2）通过在BE上截取BF=BD，构造出两组全等三角形，即可完成求证；
（3）先通过延长ME，构造全等三角形，得出，利用轴对称，得出的最小值等于，最后利用直角三角形的性质与勾股定理进行计算求解即可．
【精准解析】
解：（1）如图，过C点作CD⊥AB，垂足为点D，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴的面积为6．
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（2）如图所示，在BE上截取，
∵∠D+∠DCB+∠DBC=180°，∠1+∠DBC+∠2=180°，且∠1=∠BCD，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴
∴,
∵,
∴,
∴；
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（3）如图3，延长ME至F，使MF=MA，连接KF，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
作M点关于的对称点，
则，
∴，
连接，则，
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∴当共线时的值最小，等于，
∴取得最小值时的值即为的值，
连接，
由轴对称的性质可得：，，
∴，平分，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
如图4，取中点O点，连接OC，OM，作于，
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∵，
∴，
∴
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴；
∴的值为．
故答案为
【名师指导】
本题综合考查了全等三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、轴对称、等腰三角形的性质与判定等内容，解决本题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形或等腰直角三角形等，本题较为综合，要求学生有较强的理解能力与分析能力．
27．如图（1），CD、BE是△ABC的两条高，M为线段BC的中点．
（1）求证：MD＝ME．
（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝42°，求∠DME的度数．
（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图（2），∠BAC＝α，请直接写出∠DME的度数．（用含α的式子表示）
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【标准答案】（1）见解析；（2）（3）∠DME =2α- 180°
【思路点拨】
（1）由直角三角形斜边中线定理可得DM=EM；
（2）根据三角形内角和定理可 ( http: / / www.21cnjy.com )得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠BMD+∠CME，然后根据平角的意义可求解；
（3）根据三角形内角和定理可得 ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME+∠CMD，然后根据平角的意义可求解
【精准解析】
（1）证明：CD、BE分别是高，M、N分别是线段BC、DE的中点，
∴DM
（2）解：在△ABC中，∠ABC＝70°，∠ACB＝42°，
DM=EM= BM =MC,
∠BMD+∠CME =(180°-2∠ABC)+(180°-2∠ACB)=360°-2(∠ABC +∠ACB)=2∠A
∠DME = 180°-2∠A
（3） ∠DME=2α-180°，理由如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
DM=EM= BM =MC,
∠BME + ∠CMD =2∠ACB +2∠ABC =2(180° -∠BAC )=360° -2∠BAC ,
:. ∠DME =180°-(∠BME + ∠CMD) =180°-(360°-2∠BAC)= 2∠BAC -180°
∠BAC＝α，
∠DME=2α-180°
【名师指导】
本题主要考查直角三角形斜边中线定理及等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线定理及等腰三角形的性质是解题的关健
28．如图，在中，，过点A作线段AD，使，连接BD，CD．
（1）如图1，当时，求度数；
（2）如图2，求证：；
（3）如图3，在（1）的条件下，过点D作，垂足为点F，并反向延长DF到点E，使，连接AE交DC于点M，若，求AE的长．
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【标准答案】（1）∠BDC=120°；（2）见解析；（3）AE=10．
【思路点拨】
（1）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质即可求解；
（2）同（1）法即可证明；
（3）同（1）法得到∠DBC=∠DAC，再证明△DEG≌△DAM(ASA)，得到△DGM是等边三角形，再证明△ABM≌△DAN(AAS)，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【精准解析】
（1）解：∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°，
∵AB=AD，
∴AB=AC=AD，
∴∠ADB=，∠ADC=，
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=
===120°；
（2）证明：∵AB=AC=AD，
∴∠ADB=，∠ADC=，
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=
=，
∵∠BAC=，
∴∠BDC=180°-∠BAC，
即∠BDC+∠BAC=180°；
（3）过点A作AN⊥DC于点N，过点D作DH⊥BM于点H，延长BD交AE于点G，连接BM，
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由（1）知∠ABD=∠ADB=，
则∠DBC=∠ABD-30°=-30°=，
而∠DAC=180°-∠BAD，
∴∠DBC=∠DAC，
∵AC=AD，AN⊥DC，
∴∠DBC=∠DAN=∠CAN，
∵AN⊥DC，DF⊥BC，
∴∠BDF=∠ADN，而∠BDF=∠EDG，
∴∠ADM=∠EDG，
∵DA=DM，∴∠DAM=∠E，
∴△DEG≌△DAM(ASA)，
∴DG=DM，EG=AM，
由（1）知∠BDC=120°，则∠GDM=60°，
∴△DGM是等边三角形，
∴BD=DM=GM=DG=2，∠DMG=60°，
在△DBM中，BD=DM=2，∠BDM=120°，∠DBM=30°，
∴DH=BD=1，BH=HM=，
∴BM=，
∴∠BMG=∠BMD+∠DMG=90°，
∵∠GBM=∠ABC=30°，
则∠DBF=∠ABM=∠DAN，而∠AMB=∠DNA=90°，且AB=AD，
∴△ABM≌△DAN(AAS)，
∴AN=BM=，
在△AMN中，∠AMN=∠AMN=60°，则∠MAN=30°，
∴MN=AM，
由勾股定理得AM=4，则EG=AM=4，
∴AE=AM+GM+EG=10．
【名师指导】
本题考查了全等三角形的判定和性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，构造直角三角形和全等三角形是解题的关键．21·世纪*教育网
29．如图，已知ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
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（1）如图1，若点P在线段AB上时，猜想PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系 ；
（2）如图2，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明；21*cnjy*com
（3）若动点P满足＝，求的值（请利用图3进行探求）．
【标准答案】（1）AP2+BP2=PQ2；（2）证明见解析；（3）或
【思路点拨】
（1）过点C作CD⊥AB，垂足 ( http: / / www.21cnjy.com )为D，则AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DP-BD）=（PD-DC），可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，方法同（1）；
（3）根据点P所在的位置画 ( http: / / www.21cnjy.com )出图形，然后依据题目中的比值关系求得PD的长（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的长度即可．
【精准解析】
AP2+BP2＝PQ2．理由如下：
如图①：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝DB．
∵AP2＝（AD+PD）2＝（DC+PD）2＝CD2+2DC PD+PD2，
PB2＝（DP﹣BD）2＝（PD﹣DC）2＝DC2﹣2DC PD+PD2，
∴AP2+BP2＝2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2＝DC2+PD2，
∴AP2+BP2＝2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2＝PQ2．
∴AP2+BP2＝PQ2．
故答案为：AP2+BP2＝PQ2；
（2）AP2+BP2＝PQ2．理由如下：
如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝DB．
∵AP2＝（AD+PD）2＝（DC+PD）2＝CD2+2DC PD+PD2，
PB2＝（DP﹣BD）2＝（PD﹣DC）2＝DC2﹣2DC PD+PD2，
∴AP2+BP2＝2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2＝DC2+PD2，
∴AP2+BP2＝2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2＝PQ2．
∴AP2+BP2＝PQ2．
（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
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①当点P位于点P1处时．
＝，
在Rt△CPD中，由勾股定理得： ，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：，
②当点P位于点P2处时．
＝，
在Rt△CPD中，由勾股定理得：，
在Rt△ACD中，由勾股定理得： ，
综上所述，的比值为或
【名师指导】
此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识；解本题的关键是作图辅助线，熟练应用勾股定理和构造全等三角形．
30．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，，记旋转角为．
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（1）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；
（2）如图②，当时，求的长及点的坐标．
【标准答案】（1），（2）的长为，
【精准解析】
（1）点，
是等腰直角三角形
当点落在边上时，
过点作于点
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（2）如图，连接，过作轴于点，轴于点，
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，
是等边三角形，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
设，则
在中
即
解得（舍）
的长为，
【名师指导】
本题考查了旋转变换，坐标与图形，勾股 ( http: / / www.21cnjy.com )定理，解一元二次方程，三角形全等的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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