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编者的话：
在上海，八年级素有“小初三”的称号，因为在这 ( http: / / www.21cnjy.com )一年当中所学的知识在整个初中占比很重，知识难度分层及学生拉开差距也在此时体现明显，本工作室特结合上海本地应试学情，结合近三年的期末数学试卷考察方向，制作本专辑，让教师和学生快速上手，直达知识要点，在宝贵的复习阶段提高复习效率。如有不妥之处，望诸君批评指正，谢谢。21教育网
【期末压轴题】专题04：线段的垂直平分线与角平分线综合（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=6，DE=3，则△BCE的面积是（ ）21cnjy.com
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A．9 B．7 C．10 D．18
2．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD②∠P＝③BC＝CD④⑤PD//AC，其中正确的结论有（ ）21·cn·jy·com
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，中，和的角平分线交于点P，连接PA、PB、PC，若、、的面积分别为、、，则（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B． C． D．无法确定与的大小
4．如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（ ）
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A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，ΔABC的三边AB、BC、CA的 ( http: / / www.21cnjy.com )长分别为20，30，40，其三条角平分线将ΔABC分为三个三角形，则SΔABO∶SΔBCO∶SΔAOC等于（ ）www.21-cn-jy.com
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A．1∶1∶1 B．2∶3∶4 C．1∶2∶3 D．3∶4∶5
6．在下列各原命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补；
B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等；
C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等；
D．两个相等的角是对顶角．
7．如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）21·世纪*教育网
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A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
8．如图，点，，在一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点、，交于点，连接，．下列结论：①；②；③为等边三角形；④平分．其中结论正确的有（ ）2-1-c-n-j-y
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AC＝46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF．将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．90° B．92° C．95° D．98°
10．如图，在△ABC中，∠BAC ( http: / / www.21cnjy.com )和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab．其中正确的个数是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
11．如图，正和正中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（ ）个21*cnjy*com
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① ②连接，则平分 ③ ④
A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，在中，，，平分，交的延长线于F，垂足为E．则下列结论不正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，△ABC的外角∠DBC、∠EC ( http: / / www.21cnjy.com )B的角平分线交于点M，∠ACB的角平分线与BM的反向延长线交于点N，若在△CMN中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则∠A的度数为 _______【出处：21教育名师】
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14．已知：△ABC是三边都不相等的三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．【版权所有：21教育】
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15．如图，在四边形中，，，，面积为18，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为______．21教育名师原创作品
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16．如图，为等腰直角的斜边，为的中点，为延长线上的一个动点（与点不重合），线段的垂直平分线交线段于点，垂足．当点运动时，给出下列四个结论．其中一定正确的结论有______（请填写正确序号）．
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①点到三个顶点的距离相等；②；③；④
17．如图，反比例函数的图象经过点（－1，），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP．在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点A的坐标是____________．www-2-1-cnjy-com
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18．如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH，则下列结论：①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的是 ___．（只填写序号）21*cnjy*com
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19．如图，在中，、的垂直平分线分别交于、两点，并且相交于点，且，则的度数是______．
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20．如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝___．
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三、解答题
21．已知，如图1，射线PE分别与直线AB、CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM=，∠EMF=，且．
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（1）=____ °，=______ °；直线AB与CD的位置关系是_______ ；
（2）如图2，若点G是射线MA上任意一点，且∠MGH=∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论：
（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M和点N，时，作∠PMB的角平分线MQ与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中的值变不变 若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
22．如图1，将线段平移至，使与对应，与对应，连、．
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（1）填空：与的关系为__________，与的大小关系为__________．
（2）如图2，若，、为的延长线上的点，，平分交于，求．
（3）在（2）中，若，其它条件不变，则__________．
23．如图1所示，已知点在直线上，点，在直线上，且，平分．
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（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由．
（2）如图2所示，是上点右侧一动点，的平分线交的延长线于点，设，．
①若，，求的度数．
②判断：点在运动过程中，和的数量关系是否发生变化？若不变，求出和的数量关系；若变化，请说明理由．21世纪教育网版权所有
24．如图，已知△ABC和 ( http: / / www.21cnjy.com )△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC、FG，
（1）求证：BD=AE ， 并求出∠DOE的度数；
（2）判断△CFG的形状并说明理由；
（3）求证：OA+OC=OB；
（4）判断下列两个结论是否正确，若正确请说明理由：①OC平分∠FOG；②CO平分∠FCG．
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25．在平面直角坐标系中，已知点A（0，a），B（b，0），其中a，b满足：（x＋b）（x＋2）＝x2＋ax＋6（a，b为常数）．
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图1，D为x轴负半轴上一点， ( http: / / www.21cnjy.com )C为第三象限内一点，且∠ABC＝∠ADC＝90°，AO＝DO，DB平分∠ADC．过点C作CE⊥DB于点E，求证：DE＝OB；
（3）如图2，P为y轴正半轴上一动 ( http: / / www.21cnjy.com )点，连接BP，过点B在x轴下方作BQ⊥BP，且BQ＝BP，连接PC，PQ，QC．在（2）的条件下，设P（0，p），求△PCQ的面积（用含p的式子表示）．
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26．在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于点D，CD＝．
（1）如图1，当点D是线段AB中点时，
①AC的长为 ；
②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系为 ，∠BCE与∠A的数量关系为 ．
（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．
①按要求补全图形；
②求AE的长．
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27．如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于点D，连接OB，OC．
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（1）可以判断AOD的形状为 三角形（直接写答案）；
（2）若OE平分∠AOB且∠B＝2∠BAO，证明：AO＝BE+OB；
（3）如图2，若点B，C关于y轴对称，AO⊥BO，点M为OA上一点，且∠ACM＝45°，点B的坐标为(3，1)，求点M的坐标．
28．如图，已知点B（-2，0） ( http: / / www.21cnjy.com )，C（2，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限内的一个动点，M在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠ABD=∠ACD．
（1）求证：∠BDC=∠BAC；
（2）求证：DA平分∠CDM；
（3）若在D点运动的过程中， ( http: / / www.21cnjy.com )始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？
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编者的话：
在上海，八年级素有“小初三” ( http: / / www.21cnjy.com )的称号，因为在这一年当中所学的知识在整个初中占比很重，知识难度分层及学生拉开差距也在此时体现明显，本工作室特结合上海本地应试学情，结合近三年的期末数学试卷考察方向，制作本专辑，让教师和学生快速上手，直达知识要点，在宝贵的复习阶段提高复习效率。如有不妥之处，望诸君批评指正，谢谢。
【期末压轴题】专题04：线段的垂直平分线与角平分线综合（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=6，DE=3，则△BCE的面积是（ ）
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A．9 B．7 C．10 D．18
【标准答案】A
【思路点拨】
作EH⊥BC于点H，根据角平分线的性质得出EH=DE，最后根据三角形的面积公式进行求解．
【精准解析】
如图，作EH⊥BC于点H，
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∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高，EH⊥BC，
∴EH=DE=3，
∴．
故选A．
【名师指导】
本题考查角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
2．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD②∠P＝③BC＝CD④⑤PD//AC，其中正确的结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】D
【思路点拨】
根据邻补角平分线性质可判断①；根据三角形外角与角平分线定义列出等式2∠PBG=∠A+2∠PCB，∠PBG=∠P+∠PCB，可判断②，根据外角性质与角平分线定义，结合三角形内角和∠BCD+∠CBD=+=可判断④，利用等腰三角形性质与外角性质，可得∠DBC=∠A，可得∠D=90°，得出2∠D+∠DBC=180°，当∠A=60°时，∠D=∠DBC=60°成立，可判断③，根据∠DBC=∠A=∠ACB，利用平行线判定定理可判断⑤．
【精准解析】
解：∵∠BCA+∠BCF=180°，CP平分∠ACB，CD平分∠FCB，
∴∠PCB=，∠DCB=，
∴∠PCD=∠PCB+∠DCB =+，
∴CP⊥CD；
故①正确；
延长CB到G，
∵BD平分∠CBE，
∴∠EBD=∠DBC，
∵∠EBD=∠PBA，∠CBD=∠PBG，
∴∠PBA =∠PBG，
∴∠ABG=2∠GBP，
∵∠ABG=∠A+∠ACB，即2∠PBG=∠A+2∠PCB，∠PBG=∠P+∠PCB，
∴∠PBG=∠A+∠PCB，
∴∠P=∠A，
故②正确；
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∵CD平分∠BCF，
∴∠BCD=，
∠DBC=，
∴∠BCD+∠CBD=+，
=，
=，
=，
∴∠D=180°-（∠BCD+∠CBD）=180°-，
故④正确；
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∵2∠DBC=∠EBC=∠A+∠ACB=2∠A，
∴∠DBC=∠A，
∴∠D=90°，
∴2∠D+∠DBC=180°，
当∠A=60°时，∠D=∠DBC=60°，
∴BC=CD，
故③不正确，
∵∠DBC=∠A=∠ACB，
∴PD∥AC，
故⑤正确；
故正确的结论有4个．
故选D．
【名师指导】
本题考查三角形内角与外角平分线，等腰三角形性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，三角形外角性质，三角形内角和，平行线判定，掌握三角形内角与外角平分线定义，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和，平行线判定是解题关键．【来源：21·世纪·教育·网】
3．如图，中，和的角平分线交于点P，连接PA、PB、PC，若、、的面积分别为、、，则（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A． B． C． D．无法确定与的大小
【标准答案】A
【思路点拨】
过点P分别作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F，运用三角形面积公式，三角形三边关系定理判断即可．
【精准解析】
过点P分别作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵和的角平分线交于点P，
∴PD=PE=PF=h，
∴=，=，=，
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∴=+=，
∵AC+BC＞AB，
∴＞，
∴，
∴A符合题意，B，C，D都不符合题意，
故选A．
【名师指导】
本题考查了角的平分线的性质定理，三角形的面积公式，三角形的三边关系定理，灵活运用角的平分线的性质和三角形三边关系定理是解题的关键．21教育名师原创作品
4．如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（ ）
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A．5 B．6 C．7 D．8
【标准答案】B
【思路点拨】
作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE=DF=4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC=S△ABC得到×4×7+×4×AC=26，然后解一次方程即可．
【精准解析】
解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=4，
∵S△ADB+S△ADC=S△ABC，
∴×4×7+×4×AC=26，
∴AC=6，
故选：B．
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【名师指导】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题．
5．如图，ΔABC的三边A ( http: / / www.21cnjy.com )B、BC、CA的长分别为20，30，40，其三条角平分线将ΔABC分为三个三角形，则SΔABO∶SΔBCO∶SΔAOC等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1∶1∶1 B．2∶3∶4 C．1∶2∶3 D．3∶4∶5
【标准答案】B
【思路点拨】
利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．
【精准解析】
解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
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∵点O是内心，
∴OE=OF=OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO= AB OE： BC OF： AC OD=AB：BC：AC=2：3：4，
故选：B．
【名师指导】
本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高是相等的，这点是非常重要的．
6．在下列各原命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补；
B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等；
C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等；
D．两个相等的角是对顶角．
【标准答案】C
【思路点拨】
先写出逆命题，再根据相关性质，定义判断即可．
【精准解析】
解：A逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题，
∴A不符合题意；
B逆命题是如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等，是真命题，
∴B不符合题意；
C逆命题是如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，是假命题，
∴C符合题意；
D逆命题是如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是真命题，
∴D不符合题意；
故选C．
【名师指导】
本题考查了命题，互逆命题，命题的真假，熟练确定逆命题，灵活运用相关知识判断是解题的关键．
7．如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）
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A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
【标准答案】C
【思路点拨】
证明，由全等三角形的性质得到，可得，则，得出；，得到，利用角平分线的判定定理得平分，在上截取，根据可证明，得出，由此可以解决问题．
【精准解析】
解：∵，，，
，
即，
在与中，
，
，
，，故①正确，
，，，
，
，故②正确，
连接，过分别作与，于，如图1，
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，
，
，而，
，
平分，所以③正确，
在上截取，
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，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
；
故④正确；
故选：．
【名师指导】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，利用全等三角形面积相等证明高相等是解决问题的关键．
8．如图，点，，在一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点、，交于点，连接，．下列结论：①；②；③为等边三角形；④平分．其中结论正确的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】D
【思路点拨】
由等边三角形的性质得出AB ( http: / / www.21cnjy.com )=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA=60°；由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP=BQ，即可得出△BPQ为等边三角形；由△ABE≌△DBC得到△ABE和△DBC面积等，且AE=CD，从而证得点B到AE、CD的距离相等，利用角平分线判定定理得到点B在角平分线上．
【精准解析】
解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴A ( http: / / www.21cnjy.com )B=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正 ( http: / / www.21cnjy.com )确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
∴②正确；
在△ABP和△DBQ中，
∴△ABP≌△DBQ（ASA）， ( http: / / www.21cnjy.com )
∴BP=BQ，
∴△BPQ为等边三角形，
∴③正确；
∵△ABE≌△DBC
∴AE=CD，S△ABE=S△DBC，
∴点B到AE、CD的距离相等，
∴B点在∠AMC的平分线上，
即MB平分∠AMC；
∴④正确；
故选：D．
【名师指导】
本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
9．如图，在△ABC中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF．将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数（ ）
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A．90° B．92° C．95° D．98°
【标准答案】B
【思路点拨】
仔细分析题意，可连接BO，CO， ( http: / / www.21cnjy.com )根据角平分线性质和中垂线性质不难得到∠OAB=∠OBA；然后结合三角形内角和定理以及等边对等角可得∠ABC的度数；接下来根据全等三角形的判定易得△ABO≌△ACO，进而结合全等三角形的性质可得∠OCB的度数；最后根据折叠变换的性质得出EO=EC，由等边对等角以及三角形内角和定理的知识即可求出∠OEC的度数．
【精准解析】
解：连接BO，CO，
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∵∠BAC=46°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB=∠OAC=23°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵OA=OB，∠OAB=23°，
∴∠OAB=∠ABO=23°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=67°-23°=44°，
∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=44°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠OCE=44°，
∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×44°=92°，
故选：B．
【名师指导】
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端 ( http: / / www.21cnjy.com )点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．【版权所有：21教育】
10．如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab．其中正确的个数是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【标准答案】B
【思路点拨】
由角平分线的定义结合三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
【精准解析】
解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180° ∠OBA ∠OAB＝180° ∠CBA ∠CAB
＝180° （180° ∠C）＝90°＋∠C，①错误；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC＋∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB＋∠OBA＝（∠BAC＋∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180° 60° 60°＝60°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB＋AC＋BC＝2b
∴S△ABC＝×AB×OM＋×AC×OH＋×BC×OD＝（AB＋AC＋BC） a＝ab，③正确．
故选：B．
【名师指导】
本题主要考查了三角形内角和定 ( http: / / www.21cnjy.com )理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解决问题的关键．
11．如图，正和正中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（ ）个
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① ②连接，则平分 ③ ④
A．4 B．3 C．2 D．1
【标准答案】A
【思路点拨】
根据“手拉手”模型证明，从而得到，再结合三角形的外角性质即可求解，即可证明①；作于点，于点，证明，结合角平分线的判定定理即可证明②；利用面积法表示和的面积，然后利用比值即可证明③；利用“截长补短”的思想，在上取点，使得，首先判断出为等边三角形，再结合“手拉手”模型推出即可证明④．
【精准解析】
解：①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，故①正确；
②如图所示，作于点，于点，
则，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴平分，故②正确；
③如图所示，作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴整理得：，
∵，
∴，
∴，故③正确；
④如图所示，在上取点，使得，
∵，平分，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，故④正确；
综上，①②③④均正确；
故选：A．
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【名师指导】
本题考查等边三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等边三角形的基本性质，掌握全等三角形中的辅助线的基本模型，包括“手拉手”模型，截长补短的思想等是解题关键．21*cnjy*com
12．如图，在中，，，平分，交的延长线于F，垂足为E．则下列结论不正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路点拨】
A.根据，可知，再由平分可知，在与中，，，可求出，由可求出，故可求出；
B.由选项Ａ中可直接得出结论；
C.由选项Ａ中可知，，故，，在中，，根据可知，，即可求出，即；
D.由选项Ｃ可知，是等腰三角形，由于，故，在中，若，则，与选项Ｂ中相矛盾，故；
【精准解析】
解：A.，，
，
平分，
，
在与中，，，
，
，，，
，
；
故选项A正确；
B.选项A中，
，
故选项B正确；
C.选项A中，
，，
，
在中，，
，
，
，即，
故C正确；
D.由选项C可知，是等腰三角形，
，
，
在中，若，则，与选项B中相矛盾，
故，
故选项D错误；
故选：D．
【名师指导】
本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质是解答此题的关键．21·cn·jy·com
二、填空题
13．如图，△ABC的外角∠DBC、 ( http: / / www.21cnjy.com )∠ECB的角平分线交于点M，∠ACB的角平分线与BM的反向延长线交于点N，若在△CMN中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则∠A的度数为 _______www-2-1-cnjy-com
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【标准答案】或或
【思路点拨】
根据，的角平分线交于点，可求得，延长 至，根据为的外角的角平分线，可得 是的外角的平分线， 根据平分 ，得到，则有，可得 ，可求得；再根据，分四种情况：①；② ；③；④，分别讨论求解即可．
【精准解析】
解：外角，的角平分线交于点 ，
∴；
如图示，延长至，
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为的外角的角平分线，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
∴
，即；
;
如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①，则， ；
②，则， ，；
③，则，解得 ；
④，则，解得 ．
综上所述，的度数是或或．
【名师指导】
本题是三角形综合题，考查了三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
14．已知：△ABC是三边都不相等 ( http: / / www.21cnjy.com )的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．21cnjy.com
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【标准答案】
【思路点拨】
根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到，进而得出和的数量关系．2·1·c·n·j·y
【精准解析】
解：平分，平分，
，，
，
即；
如图，连接．
点是这个三角形三边垂直平分线的交点，
，
，，，
，，
，
，
故答案为：．
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【名师指导】
本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．
15．如图，在四边形中，，，，面积为18，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为______．
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【标准答案】6
【思路点拨】
连接AQ，过点D作于H．利用三角形的面积公式求出DH，由题意得： ，求出AQ的最小值，AQ最小值是与DH相等，也就是时，根据面积公式求出DH的长度即可得到结论．
【精准解析】
解：连接AQ，过点D作于H．
∵面积为18，BC=6，
∴，
∴，
∵MN垂直平分线段AB，
∴，
∴，
∴当AQ的值最小时，的值最小，
根据垂线段最短可知，当时，AQ的值最小，
∵，
∴AQ=DH=6，
∴的最小值为6．
故答案为：6．
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【名师指导】
本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，把最短问题转化为垂线段最短是解题关键．
16．如图，为等腰直角的斜边，为的中点，为延长线上的一个动点（与点不重合），线段的垂直平分线交线段于点，垂足．当点运动时，给出下列四个结论．其中一定正确的结论有______（请填写正确序号）．
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①点到三个顶点的距离相等；②；③；④
【标准答案】①②④
【思路点拨】
如图，连接AO，根据等腰三角形的性质得到CE⊥AB，求得OA＝OB，根据线段垂直平分线的性质得到OF＝OB，得到点O到△ABF三个顶点的距离相等，故①正确；设BC交OF于J，根据全等三角形的性质得到∠CAO＝∠CBO，求得∠CAO＝∠CFJ，得到∠JOB＝∠JCF＝90°，根据垂直的定义得到OF⊥OB，故②正确；由于CE＝AC，AC＋CF＝AF，显然AF不一定等于AB、故③错误；根据等腰直角三角形的性质得到AE＝CE＝BE＝AB，CE⊥AB，求得△ACE面积为AE CE＝BE2，得到△BOF面积为OF OB＝OB2，于是得到S△AEC＜S△BOF，故④正确．
【精准解析】
解：如图，连接AO，
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∵CA＝CB，AE＝EB，
∴CE⊥AB，
∴OA＝OB，
∵OD垂直平分线段BF，
∴OF＝OB，
∴OA＝OF＝OB，
∴点O到△ABF三个顶点的距离相等，故①正确；
设BC交OF于J，
在△ACO与△BCO中，
,
∴△ACO≌△BCO（SSS），
∴∠CAO＝∠CBO，
∵OA＝OF，
∴∠CAO＝∠CFJ，
∴∠CFJ＝∠OBJ，
∵∠CJF＝∠OJB，
∴∠JOB＝∠JCF＝90°，
∴OF⊥OB，故②正确；
∵CE＝AC，AC＋CF＝AF，
显然AF不一定等于AB、故③错误；
∵△ABC为等腰直角三角形，E为AB中点，
∴AE＝CE＝BE＝AB，CE⊥AB，
∴△ACE面积为AE CE＝BE2，
∵OF⊥OB，OF＝OB，
∴△BOF面积为OF OB＝OB2，
在Rt△OBE中，OB为斜边，BE为直角边，
∴OB＞BE，
∴BE2＜OB2，
∴S△AEC＜S△BOF，故④正确．
故答案为：①②④．
【名师指导】
本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，正确的识别图形是解题的关键．
17．如图，反比例函数的图象经过点（－1，），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP．在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点A的坐标是____________．
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【标准答案】
【思路点拨】
把点（－1，）代入反比例函数，求出k. 连接OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，则有△AOE≌△OCF，进而可得出AE＝OF、OE＝CF，根据角平分线的性质及三角形面积可得出，易证,利用三角形性质可得出,即，设点A的坐标为（）（a＞0），由 可求出a值，进而得到点A的坐标．
【精准解析】
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解：把点（－1，）代入反比例函数得：
k＝ 1×（）＝，
∴
连接OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OA＝OC，OC⊥AB，
∴∠AOE＋∠COF＝90°．
∵∠COF＋∠OCF＝90°，
∴∠AOE＝∠OCF．
在△AOE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△OCF（AAS），
∴AE＝OF，OE＝CF．
设点P到AB的距离为h，
∵BP平分∠ABC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ．
设点A的坐标为（），
解得：a＝ 或a＝ （舍去），
∴，
∴点A的坐标为，
故答案为：．
【名师指导】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、 ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形的面积、相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等是解题的关键．
18．如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH，则下列结论：①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的是 ___．（只填写序号）
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【标准答案】①②③④⑤
【思路点拨】
①根据，，即可得解；
②先证明是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得结论；
③根据“边角边”即可证明；
④根据可得，再结合进而可以判断；
⑤由结合④即可得结论．
【精准解析】
解：①∵，
，
，
，故①正确；
②是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
又平分，
是的垂直平分线，
，故②正确；
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③，，
，
，
，，
，
，
在与中，
，
，故③正确；
④，
，
∵；
；故④正确；
⑤，
，故⑤正确．
综上所述①②③④⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
【名师指导】
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等相关知识，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．【出处：21教育名师】
19．如图，在中，、的垂直平分线分别交于、两点，并且相交于点，且，则的度数是______．
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【标准答案】
【思路点拨】
根据四边形内角和为求出，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，结合图形计算，得到答案．
【精准解析】
解：、的垂直平分线相交于点，，
，
，
、的垂直平分线分别交于、两点，
，，
，，
，
，
故答案为：．
【名师指导】
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
20．如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝___．
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【标准答案】
【思路点拨】
根据平分，平分，可得，，再根据外角的性质可得，，化简得；过作于点，于点，延长线于点，易得，可得平分，即有，根据，可得，，则有，再根据求解即可．
【精准解析】
解：∵平分，平分，
∴，，
又∵，，
∴
∴
∴
如图示，过作于点，于点，延长线于点，
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∵平分，平分，
∴，，
即
∴平分，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案是：．
【名师指导】
本题主要考查了角平分线的判定与性质，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
三、解答题
21．已知，如图1，射线PE分别与直线AB、CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM=，∠EMF=，且．
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（1）=____ °，=______ °；直线AB与CD的位置关系是_______ ；
（2）如图2，若点G是射线MA上任意一点，且∠MGH=∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论：
（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M和点N，时，作∠PMB的角平分线MQ与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中的值变不变 若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【标准答案】（1）35；35；AB∥CD；（2）∠FMN+∠GHF=180°．证明见解析；（3）的值不变，=2．
【思路点拨】
（1）利用非负数的性质可知：==35，推出即可解决问题；
（2）结论，只要证明即可解决问题；
（3）结论：的值不变，=2．如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，只要证明∠R=∠，∠=2∠R即可；
【精准解析】
（1）证明：∵，
∴==35，
∴∠PFM=∠MFN=35°，∠EMF=35°，
∴∠EMF=∠MFN，
∴AB∥CD；
故答案为：35；35；AB∥CD；
（2）解：∠FMN+∠GHF=180°．
理由：∵AB∥CD，
∴∠MNF=∠PME，
∵∠MGH=∠MNF，
∴∠PME=∠MGH，
∴GH∥PN，
∴∠GHM=∠FMN，
∵∠GHF+∠GHM=180°，
∴∠FMN+∠GHF=180°．
（3）解：的值不变，=2．
理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R．
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∵AB∥CD，
∴∠PEM1=∠PFN，
∵∠PER=∠PEM1，∠PFQ=∠PFN，
∴∠PER=∠PFQ，
∴ER∥FQ，
∴∠=∠R，
设∠PER=∠REB=，，
则有：
，可得∠=2∠R，
∴∠=2∠
∴=2．
【名师指导】
本题考查几何变换综合题、平行线的判定和性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )角平分线的定义、非负数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．
22．如图1，将线段平移至，使与对应，与对应，连、．
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（1）填空：与的关系为__________，与的大小关系为__________．
（2）如图2，若，、为的延长线上的点，，平分交于，求．
（3）在（2）中，若，其它条件不变，则__________．
【标准答案】（1）且；相等；（2）；（3）
【思路点拨】
（1）根据平移性质就可得到且，由根据平行线性质得到与的大小关系；
（2）由得，由三角形外角得，进入推理得，分别在与得到，，等量代换得，结合平分，即可得到，代入计算即可．
（3）根据第二问思路，即可得到正确结果．
【精准解析】
（1）∵线段平移至，且与对应，与对应
∴且，
∴,
∴
故与的大小关系为相等．
（2）∵
∴
又∵
∴
在中，
在中，
∴
又∵平分
∴
∴
∴
∴
∵
∴
（3）由第二问知：
∵
∴
【名师指导】
本题考查平移的性质、三角形外角性质、角平分线的性质等相关知识点，根据性质内容解题是关键．
23．如图1所示，已知点在直线上，点，在直线上，且，平分．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由．
（2）如图2所示，是上点右侧一动点，的平分线交的延长线于点，设，．
①若，，求的度数．
②判断：点在运动过程中，和的数量关系是否发生变化？若不变，求出和的数量关系；若变化，请说明理由．
【标准答案】(1) AB∥CD，理由见详解；（2）①50°；②不变化，.
【思路点拨】
（1）依据EF平分∠AEG，可得∠AEF=∠GEF，再根据∠EFG=∠FEG，可得∠AEF=∠GFE，进而得出AB∥CD；
（2）①依据∠HEG=40°，即可得到∠FEG=70°，依据QG平分∠EGH，即可得到∠QGH=∠QGE=20°，根据∠Q=∠FEG-∠EGQ进行计算即可；②根据∠FEG是ΔEGQ的外角，∠AEG是ΔEGH的外角，即可得到∠Q=∠FEG-∠EGQ，∠EHG=∠AEG-∠EGH，再根据FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，即可得出∠FEG=∠AEG，∠EGQ=∠EGH，最后依据∠Q=∠FEG-∠EGQ进行计算，即可得到.
【精准解析】
（1）直线AB与直线CD平行，理由：EF平分∠AEG，
∴∠AEF=∠GEF，
又∵∠EFG=∠FEG，
∴∠AEF=∠GFE，
AB∥CD;
（2） ①∵∠HEG=40°，
∴∠FEG = (180°-40°) =70°，
又∵QG平分∠EGH，
∴∠QGH=∠QGE=20°，
∴∠Q=∠FEG-∠EGQ=70°-20°＝50°；
②点H在运动过程中，α和β的数量关系不发生变化，
∵∠FEG是ΔEGQ的外角，∠AEG是ΔEGH的外角，
∴∠Q=∠FEG-∠EGQ，
∠EHG=∠AEG-∠EGH，
又∵FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，
∴∠FEG=∠AEG，∠EGQ=∠EGH，
∴∠Q=∠FEG-∠EGQ
=（∠AEG-∠EGH）
＝∠EHG
即.
【名师指导】
本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角性质的运用，解决问题的关键是利用三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
24．如图，已知△ABC和△CDE均是等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC、FG，
（1）求证：BD=AE ， 并求出∠DOE的度数；
（2）判断△CFG的形状并说明理由；
（3）求证：OA+OC=OB；
（4）判断下列两个结论是否正确，若正确请说明理由：①OC平分∠FOG；②CO平分∠FCG．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）证明见解析，60°；（2）等边三角形，理由见解析；（3）见解析；（4）①正确，理由见解析；②不正确21·世纪*教育网
【思路点拨】
（1）根据等边三角形的性质，再由SAS判定△BCD≌△ACE，再根据全等三角形的性质即可求解；
（2）由AAS证明△ACG≌△BCF，得出CG=CF，即可得到△CFG是等边三角形；
（3）过点C作CM⊥AE于点 ( http: / / www.21cnjy.com )M，CN⊥BD于点N，由全等三角形的对应角相等即可得到∠CDN=∠CEM，根据AAS证得△CDN≌△CEM；在AE上寻找点P，连接CP使得CP=CO，根据全等三角形的性质可得出EM=DN，再由边与边之间的关系利用SSS即可证出△CMG≌△CNF，通过角的计算即可得出∠CPE=∠COD，再结合∠CDO=∠CEP利用AAS即可证出△COD≌△CPE，从而得出OD=PE，由边与边之间的关系即可找出BO=AO+OC即可；2-1-c-n-j-y
（4）由△CDN≌△CEM，根据全等三角形的对应边相等即可得出CM=CN，结合角平分线的性质即可得出OC为∠BOE的角平分线，易得①成立．
【精准解析】
解：（1）∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠BCD=180°-60°=∠ACE．
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE ，∠BDC=∠AEC，∠CBD=∠CAE，
∵∠DGO=∠CGE，
∴∠DOE=∠DCE=60°；
（2）∵△ACB和△DCE是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=180°-60°-60°=60°，
∴∠BCA=∠ACG=60°，
在△BCF与△ACG中，
，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴CG=CF，
∵∠FCG=60°，
∴△CFG是等边三角形；
（3）在AE上寻找点P，连接CP使得CP=CO，过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N，如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDN=∠CEM．
在△CDN和△CEM中，，
∴△CDN≌△CEM（AAS），
∴EM=DN， CM=CN，
∴OC为∠BOE的角平分线，
∴∠BOC=∠EOC，
∵BD=AE，BF=AG，
∴MG=NF．
在△CMG和△CNF中，，
∴△CMG≌△CNF（SSS），
∴∠MCG=∠NCF，
∴∠MCN=∠GCF=60°，
∴∠MON=360°-∠MCN-90°-90°=120°．
∵∠BOC=∠EOC，
∴∠BOC=∠EOC=∠MON=60°，
∴∠COD=180°-∠BOC=120°．
∵CP=CO，∠COP=60°，
∴△COP为等边三角形，
∴∠CPO=60°，OP=OC，
∴∠CPE=180°-∠CPO=120°=∠COD．
在△COD和△CPE中，，
∴△COD≌△CPE（AAS），
∴OD=PE．
∴BO=BD-OD=AE-PE=AO+OP=AO+OC，
即AO+OC= BO；
（4）判断：①正确，②不正确，
过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N，如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△BCD≌△ACE，且CM、CN是对应边AE、BD边上的高，
∴CM=CN，
∴OC为∠BOE的角平分线，故结论①正确；
∵△BCD≌△ACE，而AC、DC不是对应边，
∴O到AC、DC的距离不一定相等，
∴CO不一定平分∠FCG，故结论②不正确．
【名师指导】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．21*cnjy*com
25．在平面直角坐标系中，已知点A（0，a），B（b，0），其中a，b满足：（x＋b）（x＋2）＝x2＋ax＋6（a，b为常数）．
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图1，D为x轴负半轴上一点，C为第三 ( http: / / www.21cnjy.com )象限内一点，且∠ABC＝∠ADC＝90°，AO＝DO，DB平分∠ADC．过点C作CE⊥DB于点E，求证：DE＝OB；
（3）如图2，P为y轴正半轴上 ( http: / / www.21cnjy.com )一动点，连接BP，过点B在x轴下方作BQ⊥BP，且BQ＝BP，连接PC，PQ，QC．在（2）的条件下，设P（0，p），求△PCQ的面积（用含p的式子表示）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）A（0，5），B（3，0）；（2）证明见解析；（3）（p＞0且p≠5）.
【思路点拨】
（1）根据（x＋b）（x＋2）＝x2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )ax＋6（a，b为常数），将等式左边展开，根据两个多项式相等对应项的系数也相等可得a和b的值，从而得出点A，B的坐标；
（2）过B作AD和DC的垂线，分别 ( http: / / www.21cnjy.com )交AD和DC的延长线于F、G两点，证明△AFB≌△CGB可得AB=BC，再证明△AOB≌△BEC，可得OB=EC，证明△DEC为等腰直角三角形可得DE=CE，从而可得结论；
（3）证明△PAB≌△QCB可得AP=QC，再证明QC//x轴，根据三角形面积公式可求得△PCQ的面积．
【精准解析】
解：（1）∵a，b满足：（x＋b）（x＋2）＝x2＋ax＋6（a，b为常数）．
∴，即，
解得，
故A（0，5），B（3，0）；
（2）过B作AD和DC的垂线，分别交AD和DC的延长线于F、G两点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠AFB=∠BFD=∠BGD=90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠FBG=90°，即∠FBC+∠CBG=90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠FBC+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠CBG，
∵DB平分∠ADC，
∴FB=BG，∠BDC=45°，
∴△DEC为等腰直角三角形，DE=CE，
在△AFB和△CGB中
∵，
∴△AFB≌△CGB（ASA），
∴AB=BC，
∵CE⊥DB，
∴∠AOB=∠CEB=90°，
∴∠OAB+∠ABO=∠ABO+∠CBD=90°，
∴∠OAB=∠CBD，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴DE=CE=OB；
（3）∵P（0，p），A（0，5），
∴AP=p-5，
∵BQ⊥BP，
∴∠PBQ=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABP=∠CBQ，
∵BQ＝BP，AB=BC，
∴△PAB≌△QCB（SAS）,
∴QC=AP=p-5，∠BQC=∠BPO，
∵∠BOP=∠PBQ=90°，
∴∠BPO+∠PBO=∠PBO +∠OBQ=90°，
∴∠BPO=∠OBQ，
∴∠BQC=∠OBQ，
∴QC//x轴，
由（2）可知，OE=OD-DE=5-3=2,CE=3，
∴C(-2,-3),
∴（p＞0且p≠5）.
【名师指导】
本题考查坐标与图形，全等三角形的性质和判定， ( http: / / www.21cnjy.com )角平分线的性质定理，多项式乘多项式．掌握全等三角形的判定定理，并能结合点的坐标证明全等是解题关键．
26．在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于点D，CD＝．
（1）如图1，当点D是线段AB中点时，
①AC的长为 ；
②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系为 ，∠BCE与∠A的数量关系为 ．21教育网
（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．www.21-cn-jy.com
①按要求补全图形；
②求AE的长．
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【标准答案】（1）①，②，；（2）①作图见解析部分，②
【思路点拨】
（1）①利用勾股定理求解即可；
②利用线段的垂直平分线的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可；
（2）①根据要求作出图形即可；
②如图2中，在的上方作，使得，，过点作于．证明，推出，可得结论．
【精准解析】
解：（1）①如图1中，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
，，
，
．
故答案为：．
②连接．
，，
，
，
，
，
故答案为：，．
（2）①图形如图2所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
②如图2中，在的上方作，使得，，过点作于．
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【名师指导】
本题属于几何变换综合题，考查 ( http: / / www.21cnjy.com )了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常常考题型．
27．如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于点D，连接OB，OC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）可以判断AOD的形状为 三角形（直接写答案）；
（2）若OE平分∠AOB且∠B＝2∠BAO，证明：AO＝BE+OB；
（3）如图2，若点B，C关于y轴对称，AO⊥BO，点M为OA上一点，且∠ACM＝45°，点B的坐标为(3，1)，求点M的坐标．
【标准答案】（1）等腰；（2）见解析；（3）
【思路点拨】
（1）利用已知条件可证明，结合角平分线的定义可得，即可求证；
（2）延长到，使,连接，通过证明，即可求解；
（3）连接交轴于，作轴于，通过证明，得到，，从而得出结论．
【精准解析】
解：（1）∵AO平分∠BAC，
∴，
∵AC∥y轴，
∴，
∴，
∴，
∴AOD为等腰三角形，
故答案为：等腰；
（2）∵轴，
∴,
∵AO平分∠BAC，
∴，
∴，
∵，
延长到，使,连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，,
∵,
∴，
∵，
∴，
∴,
∵OE平分∠AOB，
∴，
在和中，
,
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）连接交轴于，作轴于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点B，C关于y轴对称，
∴轴，轴，，，
∴
又∵
∴
∵
∴
∵，
∴，
∴，
又∵
∴平分
又∵平分
∴平分
∴
又∵
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴
∴，
∴
【名师指导】
此题考查了几何图形与坐标的综合应用， ( http: / / www.21cnjy.com )涉及了轴对称、全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，根据题意构造出合适的全等三角形．21世纪教育网版权所有
28．如图，已知点B（-2，0）， ( http: / / www.21cnjy.com )C（2，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限内的一个动点，M在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠ABD=∠ACD．
（1）求证：∠BDC=∠BAC；
（2）求证：DA平分∠CDM；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC=D ( http: / / www.21cnjy.com )A+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？
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【标准答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）∠BAC的度数不变化；理由见详解．
【思路点拨】
（1）由三角形的内角和定理，以及对顶角相等，即可得到结论成立；
（2）过点A作AH⊥CD于点H，作AG⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )BM于点G．运用“AAS”证明△ACH≌△ABG得AH=AG．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
（3）运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．
【精准解析】
解：（1）由题意，在△ACF和△BDF中，
，
∵∠ABD=∠ACD，∠AFC=∠BFD，
∴∠BDC=∠BAC；
（2）过点A作AH⊥CD于点H，作AG⊥BM于点G，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
则∠AHC=∠AGB=90°，
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
∵∠ABD=∠ACD，
∴△ACH≌△ABG （AAS）
∴AH=AG．
∴AD平分∠CDM．
（3）∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP=BD，连接AP．
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∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP．
∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【名师指导】
此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．
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