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编者的话：
在上海，八年级素有“小初三”的称号，因 ( http: / / www.21cnjy.com )为在这一年当中所学的知识在整个初中占比很重，知识难度分层及学生拉开差距也在此时体现明显，本工作室特结合上海本地应试学情，结合近三年的期末数学试卷考察方向，制作本专辑，让教师和学生快速上手，直达知识要点，在宝贵的复习阶段提高复习效率。如有不妥之处，望诸君批评指正，谢谢。21·cn·jy·com
【期末压轴题】专题03：反比例函数综合（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．定义：表示不超过实数的最大整数例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（ ）
A．函数的定义域是一切整数
B．函数的图像是经过原点的一条直线
C．点在函数图像上
D．函数的函数值随的增大而增大
【标准答案】C
【思路点拨】
根据题意描述的概念逐项分析即可．
【精准解析】
A、对于原函数，自变量显然可取一切实数，则其定义域为一切实数，故错误；
B、因为原函数的函数值是一些整数，则图象不会是一条过原点的直线，故错误；
C、由题意可知，则点在函数图像上，故正确；
D、例如，，即当，时，函数值均为，不是随的增大而增大，故错误；
故选：C．
【名师指导】
本题考查函数的概念以及新定义问题，仔细审题，理解材料介绍的的概念是解题关键．
2．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，则△ABC的面积等于（ ）
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A．4 B．8 C．12 D．16
【标准答案】B
【思路点拨】
设A点坐标为（），则C点坐标为（），利用坐标求面积即可．
【精准解析】
解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，
∴A，C两点关于原点对称，设A点坐标为（），则C点坐标为（），
S△ABC=，
故选：B．
【名师指导】
本题考查了反比例函数k的几何意义和对称性，解题关键是通过设坐标求三角形面积．
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O在坐标原点，另外两个顶点A、B均在反比例函数的图像上，分别过点A、点B作y轴、x轴的平行线交于点C，连接OC并延长OC交AB于点D，已知C（1，2），△BDC的面积为3，则k的值为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．5 B．2+2 C．2+2 D．8
【标准答案】C
【思路点拨】
过B、C分别做BE⊥x轴，CF⊥x轴，过D作DG⊥BC，DH⊥AB，设BC=a，由点C的坐标即可表示点B、C的坐标，即可得出AC与BC的比值，由相似三角形的判定易证得△COF∽△DCG，得出DG与DH的比值，得出，由三角形面积公式列出关于a的等式，求得a的值得出B点坐标，即可求得k值．
【精准解析】
解：过B、C分别做BE⊥x轴垂足为E，延长AC交x轴于F，过D作DG⊥BC，DH⊥AB，垂足为G、H．【出处：21教育名师】
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∵ C（1，2）
∴ OF=1，CF=2=BE，
则点A的横坐标为1，点B的纵坐标为2，
设BC=a，则B（a+1，2）
∵B在反比例函数的图像上，
∴，
∵A在反比例函数的图像上，且点A的横坐标为1，
∴A点的纵坐标为：，即点A（1，2a+2），
∴ AC=AF-CF=2a+2-2=2a，
∴ ，
∵ BC//x轴，CF⊥x轴，DG⊥BC，
∠COF=∠DCG，∠CFO=∠DGC=90°，
∴ △COF∽△DCG，
∴ ，即，
∴ ，
∴，
∴，即，
∴ ，
∴ B（，2），
∴ k=，
故选：C
【名师指导】
本题考查了反比函数图像上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定，注意准确作出辅助线，求得点B的坐标是关键．【版权所有：21教育】
4．反比例函数y=的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
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A．k>0
B．y 随x的增大而增大
C．若矩形 OABC的面积为2，则
D．若图像上点B的坐标是（-2，1），则当x<-2时，y的取值范围是y<1
【标准答案】C
【思路点拨】
根据反比例函数的性质以及系数k的几何意义进行判断．
【精准解析】
解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0，所以A选项错误；
B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误；
C、矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，所以C选项正确；
D、若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1，所以D选项错误．
故选C
【名师指导】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义 ( http: / / www.21cnjy.com )：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．2·1·c·n·j·y
5．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图像经过点（2，2）； B．函数图像位于第一、三象限；
C．当时，函数值随着的增大而增大； D．当时，．
【标准答案】C
【思路点拨】
直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．
【精准解析】
A、关于反比例函数y=-，函数图象经过点（2，-2），故此选项错误；
B、关于反比例函数y=-，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；
C、关于反比例函数y=-，当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确；
D、关于反比例函数y=-，当x＞1时，y＞-4，故此选项错误；
故选C．
【名师指导】
此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．
6．如图，在四边形中，动点从点开始沿的路径匀速前进到为止，在这个过程中，的面积随时间的变化关系用图象表示正确的是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】C
【思路点拨】
根据点的运动过程可知：的底边为，而且始终不变，点到直线的距离为的高，根据高的变化即可判断与的函数图象．【来源：21·世纪·教育·网】
【精准解析】
解：设点到直线的距离为，
的面积为：，
当在线段运动时，
此时不断增大，也不端增大
当在线段上运动时，
此时不变，也不变，
当在线段上运动时，
此时不断减小，不断减少，
又因为匀速行驶且，所以在线段上运动的时间大于在线段上运动的时间
故选．
【名师指导】
本题考查函数图象，解题的关键是根据点到直线的距离来判断与的关系，本题属于基础题型．
7．若函数y=（2m+6）x2+（1﹣m）x是正比例函数，则m的值是（ ）
A．m=﹣3 B．m=1 C．m=3 D．m＞﹣3
【标准答案】A
【精准解析】
由题意可知：
∴m=-3
故选：A
8．甲、乙两人在笔直的湖 ( http: / / www.21cnjy.com )边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟；③乙用12分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（ ）21·世纪*教育网
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路点拨】
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【精准解析】
由题意可得：甲步行速度==60（米/分）；
故①结论正确；
设乙的速度为：x米/分，
由题意可得：16×60=(16﹣4)x，
解得x=80，
∴乙的速度为80米/分；
∴乙走完全程的时间=（分）；
故②结论正确；
由图可得，乙追上甲的时间为：16﹣4=12（分）；
故③结论正确；
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣(4+30)×60=360（米），
故④结论错误；
故正确的结论有①②③共3个．
故选：C．
【名师指导】
本题考查了函数图象的应用，解题的关键是正确分析函数图象并求出甲乙两人的速度，利用数形结合的思想解答．21教育名师原创作品
9．今年“五一”节，小明外 ( http: / / www.21cnjy.com )出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）21*cnjy*com
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A．小明中途休息用了20分钟
B．小明在上述过程中所走路程为7200米
C．小明休息前爬山的速度为每分钟60米
D．小明休息前后爬山的平均速度相等
【标准答案】B
【思路点拨】
根据函数图象可知，小明40分钟爬 ( http: / / www.21cnjy.com )山2400米，40～60分钟休息，60～100分钟爬山（4800-2400）米，爬山的总路程为4800米，根据路程、速度、时间之间的关系进行解答即可．
【精准解析】
A、小明中途休息的时间是：60-40=20分钟，故本选项正确；
B、小明在上述过程中所走路程为4800米，故本选项错误；
C、小明休息前爬山的速度为=60（米/分钟），故本选项正确；
D、因为小明休息后爬山的速度是=60（米/分钟），所以小明休息前后爬山的平均速度相等，故本选项正确；
故选B．
【名师指导】
本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
10．已知（，），（，），（，）是反比例函数的图像上的三个点，且，，则，，的大小关系是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【标准答案】A
【思路点拨】
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系即可．
【精准解析】
解：∵反比例函数中k=-4＜0，
∴函数图象在二、四象限，
∴在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴0＜y1＜y2，
∵x3＞0，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
【名师指导】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象在二、四象限是解答此题的关键．
二、填空题
11．已知反比例函数的图象经过一、三象限，则实数k的取值范围是_____．
【标准答案】k＞1．
【思路点拨】
根据反比例函数的图象经过一、三象限得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【精准解析】
∵反比例函数的图象经过一、三象限，
∴k﹣1＞0，即k＞1．
故答案为k＞1．
【名师指导】
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
12．两位同学在描述同一反比例函数的图像时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2014．”乙同学说：“这个反比例函数图像与直线有两个交点．”你认为这两位同学所描述的反比例函数的解析式是________________．
【标准答案】
【思路点拨】
根据反比例函数中k的几何意义，再根据图像与直线有两个交点，可知反比例函数图像在二、四象限，即可判断k的值
【精准解析】
解：根据题意得，∴或，
又∵图像与直线有两个交点，
∴，
故反比例函数的解析式是.
【名师指导】
本题考查反比例函数k的几何意义，判断反比例函数的象限是关键.
13．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是_____．
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【标准答案】4
【思路点拨】
过B作BD⊥OA于点D，设点B ( http: / / www.21cnjy.com )（m，n），根据△OAB的面积为6，可以求得A点坐标，而点C是AB的中点，即可表示出C点坐标，再将点B、C坐标同时代入反比例函数解析式，即可求解．
【精准解析】
解：过B作BD⊥OA于D，
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∵点B在反比例函数的图象上，
∴设B（m，n），
∵△OAB的面积为6，
∴，
∴（，），
∵点C是AB的中点，
∴（，），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【名师指导】
本题目考查反比例函数，难度一般，正确作出辅助线，设出点B的坐标，是顺利解题的关键．
14．函数y＝的定义域为_____．
【标准答案】x≥﹣1且x≠0
【思路点拨】
根据二次根式被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【精准解析】
解：由题意得，x+1≥0，x≠0，
解得，x≥﹣1且x≠0，
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
【名师指导】
本题考查了代数式有意义的x的取值范围， 一般地从两个角度考虑:分式的分母不为0;偶次根式被开方数为非负数．
15．已知点（2，－1）在反比例函数的图像上，那么__________．
【标准答案】－2．
【思路点拨】
把（2，-1）代入函数中即可求出k的值．
【精准解析】
解：由题意知，已知点A（2，-1）在反比例函数的图象上，
可把（2，-1）代入函数中，得k=-2，
故答案为：-2．
【名师指导】
本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，此为近几年中考的热点问题，同学们要熟练掌握．
16．函数的定义域是______．
【标准答案】x≠1．
【思路点拨】
根据分式有意义的条件是分母不为0,分析原函数式可得关系式x-1≠0，解可得自变量x的取值范围.
【精准解析】
解：根据题意，有x-1≠0，
解可得x≠1.
故答案为：x≠1.
【名师指导】
考查了分式有意义的条件是分母不等于0.
17．点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，过点A,B分别向x轴作垂线，垂足分别为D、C，那么四边形ABCD的面积是__________________．
【标准答案】2
【思路点拨】
根据反比例函数系数k的几何意义得出矩形EODA的面积为1，矩形BCOE的面积是3，则矩形ABCD的面积为：3-1=2．
【精准解析】
过点A作AE⊥y轴于点E，
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∵点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，
∴矩形EODA的面积为1，矩形EOCB的面积是3，
∴矩形ABCD的面积为：3-1=2，
故答案为:2．
【名师指导】
此题考查反比例函数关系k的几何意义，得出矩形EODA和矩形BCOE的面积是解题关键．
18．在直角坐标系中，O是坐标原点，点P（m，n）在反比例函数的图象上．
（1）若m＝k，n＝k﹣2，则k＝_____；
（2）若m+n＝k，OP＝2，且此反比例函数，满足：当x＞0时，y随x的增大而减小，则k＝_____．
【标准答案】3 1+
【思路点拨】
（1）函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式（k≠0），即可求得k的值；
（2）根据点（x，y）到原点的距离公式d＝，得到关于m，n的方程；
再结合完全平方公式的变形，得到关于k的方程，进一步求得k值．
【精准解析】
解：（1）根据题意，得
k﹣2＝＝1，
∴k＝3．
（2）∵点P（m，n）在反比例函数y＝的图象上．
∴mn＝k
又∵OP＝2，
∴＝2，
∴（m+n）2﹣2mn﹣4＝0，
又m+n＝k，mn＝k，
得k2﹣2k＝4，
（k﹣1）2＝5，
∵x＞0时，y随x的增大而减小，则k＞0．
∴k﹣1＝，
k＝1+．
【名师指导】
本题考查求反比例函数解析式.能够熟练运用待定系数法进行求解．注意：（1）明确两点间的距离公式；（2）在中，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
三、解答题
19．阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.www.21-cn-jy.com
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
【标准答案】（1），2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m=﹣4或﹣2或2．
【思路点拨】
（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后再求出，只要满足=即可；
（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
【精准解析】
解：（1）∵，
∴，2，3是“和谐三数组”；
故答案为：，2，3（答案不唯一）；
（2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴，，
∴，
∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，
∴，∴，
∴=，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴或或，
即或或，
解得：m=﹣4或﹣2或2．
【名师指导】
本题是新定义试题，主要考 ( http: / / www.21cnjy.com )查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
20．已知y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x﹣1成反比例，当x＝2时，y＝4；当x＝3时，y＝8．求y关于x的函数解析式．
【标准答案】y＝3x﹣．
【思路点拨】
利用成正比例和成反比例的定义设出y1和y2，进而得出，再把两组对应值分别代入，然后解方程组即可．
【精准解析】
解：设，，则，
把x＝2，y＝4；x＝3，y＝8代入得，解得，
所以y关于x的函数解析式为y＝3x﹣．
【名师指导】
本题考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握成正比例和成反比例的定义是解题关键．
21．如图，平面直角坐标系中，直线l经过原点O和点A（6，4），经过点A的另一条直线交x轴于点B（12，0）．
（1）求直线l的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线l上求点P，使S△ABP＝S△AOB．
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【标准答案】（1）；（2）24；（3）或
【思路点拨】
（1）直线l是正比例函数的图象，用待定系数法即可求得；
（2）过点A作AC⊥OB于点C，则可得AC的长度，从而可求得△AOB的面积；
（3）设点P的坐标为，分点P在线段OA上和点P在线段OA的延长线上两种情况考虑即可．
【精准解析】
（1）设直线l的解析式为：y=kx，其中k≠0
∵点A（6，4）在直线y=kx上
∴6k=4
∴
∴直线l的解析式为
（2）过点A作AC⊥OB于点C，如图
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∵A（6，4），B（12，0）
∴AC=4，OB=12
∴
（3））设点P的坐标为
∵ S△ABP＝S△AOB
∴S△ABP＝8
当点P在线段OA上时，如图所示
∵
∴△POB的面积为24-8=16
即
解得：a=4
此时点P的坐标为
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当点P在线段OA的延长线上时，如图所示
∵
∴△POB的面积为24+8=32
即
解得：a=8
此时点P的坐标为
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综上所述，点P的坐标为或
【名师指导】
本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，图形面积，正比例函数的图象等知识，涉及分类讨论思想．
22．（1）阅读下面的材料：
如果函数＝f（）满足：对于自变量x的取值范围内的任意，，
（1）若＜，都有f（）＜f（），则称f（）是增函数；
（2）若＜，都有f（）＞f（），则称f（）是减函数．
例题：证明函数f（）＝（＞0）是减函数．
证明：设0＜＜，
f（）﹣f（）＝＝＝．
∵0＜＜，
∴﹣＞0，＞0．
∴＞0.即f（）﹣f（）＞0．
∴f（）＞f（）．
∴函数f（）＝（＞0）是减函数．
（2）根据以上材料，解答下面的问题：
已知：函数f（）＝（＜0），
①计算：f（﹣1）＝ ，f（﹣2）＝ ；
②猜想：函数f（）＝（＜0）是 函数（填“增”或“减”）；
③验证：请仿照例题证明你对②的猜想．
【标准答案】①，；②增；③见解析
【思路点拨】
（1）根据题目中的函数解析式可以解答本题；
（2）由（1）答案可得结论；
（3）根据题目中例子的证明方法可以证明（2）中的猜想成立．
【精准解析】
解：①∵，
∴，；
②由（1）可知，-1<-2时，有，
∴函数f（）＝（＜0）是增函数；
③证明：设x1＜x2＜0，∵f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝3（x1﹣x2）＋ ，
∵x1＜x2＜0，∴x2﹣x1＞0，x1＋x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）＝（x＜0）是增函数．
【名师指导】
本题考查函数的概念、反比例函数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用函数的性质解答．
23．问题：我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数y＝的图象是怎样的呢？
（经验）（1）我们在研究反比例函数的图象和性质的时候是从以下两个方面来探究的：
①由数想形：先根据表达式中x、y的数量 ( http: / / www.21cnjy.com )关系，初步估计图象的基本概貌．如：形状（直线或曲线）；位置（所在区域、与直线或坐标轴的交点情况）；趋势（上升、下降）；对称性等．21教育网
②描点画图：根据已有的函数画图的经验，利用描点画图．
（2）我们知道，函数y＝的图象是如图1所示的两条曲线，一支在过点(﹣1，0)且平行于y轴的直线的右侧且在x轴的上方，另一支在过点(﹣1，0)且平行于y轴的直线的左侧且在x轴的下方．
（探索）请你根据以上经验，研究函数y＝的图象和性质并解决相关问题．
（1）由数想形： ； （请你写出两条）．
（2）描点画图：
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中a＝ ；b＝ ；
x … ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 …
y … a 2 3 6 ﹣6 ﹣3 b ﹣3 ﹣6 6 3 2 …
②描点：根据表中各组对应值(x，y)，在平直角坐标系中描出各点．
③连线：用平滑的曲线顺次连接备点，请你把图象（如图2）补充完整．
（应用）
观察你所画的函数图象，解答下列问题：
（3）若点A(a，c)，B(b，c)为该函数图象上不同的两点，则a+b＝ ；
（4）直接写出当≥﹣2时，x的取值范围为 ．
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【标准答案】（1）函数的图象关于y轴对称；图象与y轴的交点为(0，﹣2)；（2）①，﹣2；②见解析；③见解析；（3）0；（4）x＜﹣3或x＝0或x＞3
【思路点拨】
（1）根据函数解析式可得函数的图象关于轴对称；图象与轴的交点为；
（2）通过列表、描点和连线化函数图象；
（3）观察函数图象得到函数的图象关于轴对称，而点与点关于轴对称，所以与互为相反数；
（4）观察函数图象，找出函数值大于或等于所对应的自变量的值或取值范围．
【精准解析】
解：探索：（1）由数想形：函数的图象关于轴对称；图象与轴的交点为，
故答案为函数的图象关于轴对称；图象与轴的交点为；
（2）描点画图：
①列表：把代入得，，
，
把入得，，
，
故答案为，；
②描点：根据表中各组对应值，在平直角坐标系中描出各点．
③连线：用平滑的曲线顺次连接备点，请你把图象补充完整如图．
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应用：
（3）函数的图象关于轴对称，
而点，为该函数图象上两对称点，
所以；
故答案为0；
（4）由图象可知，当时，的取值范围为或或，
故答案为或或．
【名师指导】
本题考查了反比例函数图象的性质；会利用描点法画反比例函数图象，数形结合是解题的关键．
24．已知点是反比例函数（）的图象上的一动点，轴，轴，分别交反比例函数（）的图象于点，，点是直线上的一点．
（1）点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）；（用含的代数式表示）21世纪教育网版权所有
（2）在点运动的过程中，连接，的面积是一个定值，则这个定值为______；
（3）在点运动的过程中，以点，，，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时的值：若不能，请说明理由．
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【标准答案】（1），，，；（2）；（3），；，
【思路点拨】
（1）将点代入反比例函数，用表示出即可表示出点的坐标，然后根据轴，得到点的纵坐标为，然后将点的纵坐标代入反比例函数的解析式即可得到点的坐标，同理得到点的坐标；
（2）根据，，利用即可得到答案；
（3）根据四边形为平行四边形，则有轴，从而得到点横坐标为，代入可得，，然后表示出，，根据列出方程求得的值即可．同理可求得四边形、四边形为平行四边形时的值．
【精准解析】
解：（1）点是反比例函数图象上的动点，
，
点；
轴，
点的纵坐标为，
将点的纵坐标代入反比例函数的解析式得：，
，，同理可得：；
（2），，
；
（3）①若四边形为平行四边形，则有轴，
点横坐标为，
代入得，，
此时，，
由，得：，
解得：或（舍去），
时，四边形为平行四边形．
②若四边形为平行四边形，则有轴，
点纵坐标为，
把代入得，，
此时，
由，得，
解得：或（舍去）；
③若为平行四边形，则有轴，轴，
点，，
代入，得，
解得或（舍去）．
综上：、1或时，为平行四边形．
故答案为：，；，．
【名师指导】
本题考查了反比例函数的综合知识，题目中根据平行坐标轴的直线上的点的坐标特点表示出有关点的坐标是解答本题的关键，难度中等偏上．21cnjy.com
25．让我们一起用描点法探究函数y＝的图象性质，下面是探究过程，请将其补充完整：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 ；
根据取值范围写出y与x的几组对应值，补全下面列表：
x … ﹣6 ﹣4 ﹣2 ﹣1.5 ﹣1 1 1.5 2 4 6 …
y … 1 1.5 3 6 6 4 1.5 1 …
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中各组对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；www-2-1-cnjy-com
（3）观察画出的函数图象，写出：
①y＝5时，对应的自变量x值约为 ；
②函数y＝的一条性质： ．
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【标准答案】（1），4，3；（2）图象见解析；（3）①或．（只要不超过范围都可估计）；②图象关于轴对称，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，答案不唯一，合理即可．【来源：21cnj*y.co*m】
【思路点拨】
（1）分母不为0，将，分别代入函数解析式求出；
（2）用平滑的曲线连接成图象；
（3）①结合（1）中表格数据和函数图象进行估计；
②可以从对称性、增减性等方面入手分析，合理即可．
【精准解析】
解：（1）分母不为0，
，
自变量的取值范围为，
当时，，当时，．
故答案为：，4，3．
（2）用平滑的曲线连接即可，如右图所示．
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（3）①由图可知，时，，时，，
时，或，
时，自变量的值约为或．（只要不超过范围都可估计）
②图象关于轴对称，
时，随的增大而增大，
时，随的增大而减小，
答案不唯一，合理即可
【名师指导】
本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是画图时要按照“列表描点连线”的顺序进行．
26．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，在第一象限内以为边作，点和边的中点都在反比例函数的图象上，已知的面积为
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（1）求反比例函数解析式；
（2）点是轴上一个动点，求最大时的值；
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（3）过点作轴的平行线（如图2），在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【标准答案】（1）；（2）；（3）存在．点的坐标为或或或
【思路点拨】
（1）先用k表示出点C，D的坐标，作轴于点轴于点，根据，列出方程，即可求解；
（2）由三角形的三边长关系可知：当在一条直线上时，最大，再求出直线CD的解析式，进而即可求解；
（3）设点的坐标为，分三种情况讨论：①当∠QOC=90°时，②当∠OCQ=90°时，③当∠OQC=90°时，利用勾股定理，列出方程，即可求解．
【精准解析】
解：（1）当时，，
，
中，，
，
是边的中点，
，即：，
作轴于点轴于点，
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则，解得：．
反比例函数解析式为：．
在中，，
当在一条直线上时，，
由知，，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
的解析式为：，
由，得，
最大时，的值为；
设点的坐标为，
①当∠QOC=90°时，则OQ2+OC2=QC2，即：，解得：m=，
∴点的坐标为；
②当∠OCQ=90°时，则CQ2+OC2= OQ2，即：，解得：m=，
∴点的坐标为；
③当∠OQC=90°时，则CQ2+OQ2= OC2，即：，解得：m=或，
∴点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或或．
【名师指导】
本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图像和性质，待定系数法，勾股定理，是解题的关键．21*cnjy*com
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编者的话：
在上海，八年级素有“小初三”的称号 ( http: / / www.21cnjy.com )，因为在这一年当中所学的知识在整个初中占比很重，知识难度分层及学生拉开差距也在此时体现明显，本工作室特结合上海本地应试学情，结合近三年的期末数学试卷考察方向，制作本专辑，让教师和学生快速上手，直达知识要点，在宝贵的复习阶段提高复习效率。如有不妥之处，望诸君批评指正，谢谢。21世纪教育网版权所有
【期末压轴题】专题03：反比例函数综合（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．定义：表示不超过实数的最大整数例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（ ）
A．函数的定义域是一切整数
B．函数的图像是经过原点的一条直线
C．点在函数图像上
D．函数的函数值随的增大而增大
2．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，则△ABC的面积等于（ ）21cnjy.com
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A．4 B．8 C．12 D．16
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O在坐标原点，另外两个顶点A、B均在反比例函数的图像上，分别过点A、点B作y轴、x轴的平行线交于点C，连接OC并延长OC交AB于点D，已知C（1，2），△BDC的面积为3，则k的值为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．5 B．2+2 C．2+2 D．8
4．反比例函数y=的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
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A．k>0
B．y 随x的增大而增大
C．若矩形 OABC的面积为2，则
D．若图像上点B的坐标是（-2，1），则当x<-2时，y的取值范围是y<1
5．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图像经过点（2，2）； B．函数图像位于第一、三象限；
C．当时，函数值随着的增大而增大； D．当时，．
6．如图，在四边形中，动点从点开始沿的路径匀速前进到为止，在这个过程中，的面积随时间的变化关系用图象表示正确的是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．若函数y=（2m+6）x2+（1﹣m）x是正比例函数，则m的值是（ ）
A．m=﹣3 B．m=1 C．m=3 D．m＞﹣3
8．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、 ( http: / / www.21cnjy.com )同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟；③乙用12分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．今年“五一”节，小明外出爬山， ( http: / / www.21cnjy.com )他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．小明中途休息用了20分钟
B．小明在上述过程中所走路程为7200米
C．小明休息前爬山的速度为每分钟60米
D．小明休息前后爬山的平均速度相等
10．已知（，），（，），（，）是反比例函数的图像上的三个点，且，，则，，的大小关系是（ ）
A．； B．； C．； D．．
二、填空题
11．已知反比例函数的图象经过一、三象限，则实数k的取值范围是_____．
12．两位同学在描述同一反比例函数的图像时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2014．”乙同学说：“这个反比例函数图像与直线有两个交点．”你认为这两位同学所描述的反比例函数的解析式是________________．21*cnjy*com
13．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是_____．【来源：21cnj*y.co*m】
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14．函数y＝的定义域为_____．
15．已知点（2，－1）在反比例函数的图像上，那么__________．
16．函数的定义域是______．
17．点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，过点A,B分别向x轴作垂线，垂足分别为D、C，那么四边形ABCD的面积是__________________．
18．在直角坐标系中，O是坐标原点，点P（m，n）在反比例函数的图象上．
（1）若m＝k，n＝k﹣2，则k＝_____；
（2）若m+n＝k，OP＝2，且此反比例函数，满足：当x＞0时，y随x的增大而减小，则k＝_____．【版权所有：21教育】
三、解答题
19．阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.【出处：21教育名师】
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．21教育名师原创作品
20．已知y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x﹣1成反比例，当x＝2时，y＝4；当x＝3时，y＝8．求y关于x的函数解析式．21*cnjy*com
21．如图，平面直角坐标系中，直线l经过原点O和点A（6，4），经过点A的另一条直线交x轴于点B（12，0）．
（1）求直线l的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线l上求点P，使S△ABP＝S△AOB．
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22．（1）阅读下面的材料：
如果函数＝f（）满足：对于自变量x的取值范围内的任意，，
（1）若＜，都有f（）＜f（），则称f（）是增函数；
（2）若＜，都有f（）＞f（），则称f（）是减函数．
例题：证明函数f（）＝（＞0）是减函数．
证明：设0＜＜，
f（）﹣f（）＝＝＝．
∵0＜＜，
∴﹣＞0，＞0．
∴＞0.即f（）﹣f（）＞0．
∴f（）＞f（）．
∴函数f（）＝（＞0）是减函数．
（2）根据以上材料，解答下面的问题：
已知：函数f（）＝（＜0），
①计算：f（﹣1）＝ ，f（﹣2）＝ ；
②猜想：函数f（）＝（＜0）是 函数（填“增”或“减”）；
③验证：请仿照例题证明你对②的猜想．
23．问题：我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数y＝的图象是怎样的呢？
（经验）（1）我们在研究反比例函数的图象和性质的时候是从以下两个方面来探究的：
①由数想形：先根据表达式中x、y的 ( http: / / www.21cnjy.com )数量关系，初步估计图象的基本概貌．如：形状（直线或曲线）；位置（所在区域、与直线或坐标轴的交点情况）；趋势（上升、下降）；对称性等．2·1·c·n·j·y
②描点画图：根据已有的函数画图的经验，利用描点画图．
（2）我们知道，函数y＝的图象是如图1所示的两条曲线，一支在过点(﹣1，0)且平行于y轴的直线的右侧且在x轴的上方，另一支在过点(﹣1，0)且平行于y轴的直线的左侧且在x轴的下方．
（探索）请你根据以上经验，研究函数y＝的图象和性质并解决相关问题．
（1）由数想形： ； （请你写出两条）．
（2）描点画图：
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中a＝ ；b＝ ；
x … ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 …
y … a 2 3 6 ﹣6 ﹣3 b ﹣3 ﹣6 6 3 2 …
②描点：根据表中各组对应值(x，y)，在平直角坐标系中描出各点．
③连线：用平滑的曲线顺次连接备点，请你把图象（如图2）补充完整．
（应用）
观察你所画的函数图象，解答下列问题：
（3）若点A(a，c)，B(b，c)为该函数图象上不同的两点，则a+b＝ ；
（4）直接写出当≥﹣2时，x的取值范围为 ．
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24．已知点是反比例函数（）的图象上的一动点，轴，轴，分别交反比例函数（）的图象于点，，点是直线上的一点．
（1）点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）；（用含的代数式表示）21·cn·jy·com
（2）在点运动的过程中，连接，的面积是一个定值，则这个定值为______；
（3）在点运动的过程中，以点，，，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时的值：若不能，请说明理由．www.21-cn-jy.com
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25．让我们一起用描点法探究函数y＝的图象性质，下面是探究过程，请将其补充完整：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 ；
根据取值范围写出y与x的几组对应值，补全下面列表：
x … ﹣6 ﹣4 ﹣2 ﹣1.5 ﹣1 1 1.5 2 4 6 …
y … 1 1.5 3 6 6 4 1.5 1 …
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中各组对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；21·世纪*教育网
（3）观察画出的函数图象，写出：
①y＝5时，对应的自变量x值约为 ；
②函数y＝的一条性质： ．
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26．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，在第一象限内以为边作，点和边的中点都在反比例函数的图象上，已知的面积为21教育网
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（1）求反比例函数解析式；
（2）点是轴上一个动点，求最大时的值；
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（3）过点作轴的平行线（如图2），在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点的坐标；若不存在，请说明理由．
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