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编者的话：
在上海，八年级素有“小初三 ( http: / / www.21cnjy.com )”的称号，因为在这一年当中所学的知识在整个初中占比很重，知识难度分层及学生拉开差距也在此时体现明显，本工作室特结合上海本地应试学情，结合近三年的期末数学试卷考察方向，制作本专辑，让教师和学生快速上手，直达知识要点，在宝贵的复习阶段提高复习效率。如有不妥之处，望诸君批评指正，谢谢。21世纪教育网版权所有
【期末压轴题】专题02：一元二次方程综合（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．对于实数a、b，定义运算“★”：a★b=，关于x的方程（2x+1）★（2x-3）=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（ ）21教育网
A．t＜ B．t＞ C．t＜ D．t＞
3．常凯申公司一月份利润是1万元，二月份、三月份平均每月增长10％，则第一季度的总利润是（ ）21cnjy.com
A．（1＋10％）2万元： B．（1＋10％）10％万元：
C．[（1＋10％）＋（1＋10％）2]万元： D．[1＋（1＋10％）＋（1＋10％）2]万元．
4．（2021·上海闵行·八年级期末）用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是( )21·cn·jy·com
A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0
5．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于的方程是常数，是“邻根方程”，令，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．一元二次方程的解是（ ）
A．， B．， C． D．，
8．某年级举行篮球比赛，赛制为单 ( http: / / www.21cnjy.com )循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有（ ）支队伍参加了比赛．
A．7 B．6 C．12 D．14
9．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
10．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）下列关于的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．； B．； C．； D．．
二、填空题
11．（2021·上海松江·八年级期中）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．21*cnjy*com
12．（2021·上海市南洋模范中学八年级）已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为__________．
13．（2021·上海市民立中学八年级）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ___．【出处：21教育名师】
14．（2021·上海市泗塘中 ( http: / / www.21cnjy.com )学八年级）若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝___，n＝___．【版权所有：21教育】
15．（2021·上海市泗塘中学八年级）当x＝___二次根式有最小值，最小值为 ___．
16．（2021·上海市实验学 ( http: / / www.21cnjy.com )校八年级期中）若a，b，c为等腰三角形的三边长且a＝2，其中b，c是方程x2﹣3x+m＝0的两根．则m＝__________________
17．（2021·上海松江·八年级期中）已知关于的方程的两个根为，，则方程的两根为________．
18．（2021·上海杨浦·八年级期中）已知x＝a是关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根，则﹣＝___．2-1-c-n-j-y
三、解答题
19．（2021·上海市罗南中学八年级）解关于的一元二次方程，其中是满足不等式组的整数．
20．（2021·上海市泗塘中学八年级）已知一元二次方程（m+1）x2+（2m﹣3）x+（m﹣2）＝0．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）如果方程有一根x1＝0，求m的值和另一个根x2．
（2）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
21．（2021·上海市泗塘中学八年级）已知和都有意义，且a是整数，试解关于x的一元二次方程x2﹣5＝x（ax﹣2）﹣2．www.21-cn-jy.com
22．（2021·上海浦东新·八年级期中）要使关于的方程有实数根，整数取得的最大值是多少？
23．（2021·上海市第四中 ( http: / / www.21cnjy.com )学八年级）如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边A→B→C→D的行程，若上、下行速度都是3米/分钟，横行速度是4米/分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形ABCD的面积为72m2，而且机器人走的路线较短？
( http: / / www.21cnjy.com / )
24．（2021·上海市进才中学北校八年级）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x2+3x﹣2＝0的两个根分别是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1x2＝，以上定理称为韦达定理．例如：已知方程5x2+3x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则：x1+x2＝﹣＝﹣，x1x2＝＝＝﹣21·世纪*教育网
请阅读后，运用韦达定理完成以下问题：
（1）已知方程4x2﹣3x﹣6＝0的两根分别为x1，x2，求x1+x2和x1x2的值．
（2）已知方程x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，求的值．
（3）当k取何值时，关于x的一元二次方程3x2﹣2（3k+1）x+3k2﹣1＝0的两个实数根互为倒数？2·1·c·n·j·y
25．（2021·上海松江·八年级期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根．
26．（2021·上海同济大学附属存志学 ( http: / / www.21cnjy.com )校八年级期中）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0，是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0成立？若存在，请求出实数k的值；若不存在，请说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
27．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）若α＝为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；
（1）则方程的另外一个根β＝ ，t＝ ；
（2）求α6+8β的值．
（3）求作一个关于y的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2．
28．（2021·上海市民办新竹园中学八年级）在实数范围内因式分解
（1）；
（2）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者的话：
在上海，八年级素有“小初三”的称号，因为在 ( http: / / www.21cnjy.com )这一年当中所学的知识在整个初中占比很重，知识难度分层及学生拉开差距也在此时体现明显，本工作室特结合上海本地应试学情，结合近三年的期末数学试卷考察方向，制作本专辑，让教师和学生快速上手，直达知识要点，在宝贵的复习阶段提高复习效率。如有不妥之处，望诸君批评指正，谢谢。21世纪教育网版权所有
【期末压轴题】专题02：一元二次方程综合（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路点拨】
由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得出△=36-4k＞0，解之即可得出实数k的取值范围．
【精准解析】
∵方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-4）2-4k=16-4k＞0，
解得：k＜4．
故选：B．www-2-1-cnjy-com
【名师指导】
此题考查根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
2．对于实数a、b，定义运算“★”：a★b=，关于x的方程（2x+1）★（2x-3）=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（ ）【出处：21教育名师】
A．t＜ B．t＞ C．t＜ D．t＞
【标准答案】D
【思路点拨】
分两种情况：①当2x+1≤2x-3成立时；②当2x+1＞2x-3成立时；进行讨论即可求解．
【精准解析】
解：①当2x+1≤2x-3成立时，即1≤-3，矛盾；所以a≤b时不成立；
②当2x+1＞2x-3成立时，即1＞-3，所以a＞b时成立；
则（2x-3）2-（2x+1）=t，
化简得：4x2-14x+8-t=0，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，
△=142-4×4×（8-t）＞0；
解得：t＞．
故选：D．
【名师指导】
本题考查了根的判别式：一元二 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．同时考查了新定义的运算．【来源：21·世纪·教育·网】
3．常凯申公司一月份利润是1万元，二月份、三月份平均每月增长10％，则第一季度的总利润是（ ）
A．（1＋10％）2万元： B．（1＋10％）10％万元：
C．[（1＋10％）＋（1＋10％）2]万元： D．[1＋（1＋10％）＋（1＋10％）2]万元．
【标准答案】D
【思路点拨】
首先表示出二月份的利润：1月份的利润×(1+10%)，再表示出三月份利润：2月份的利润×(1+10%)，然后把三个月的利润加起来即可．
【精准解析】
解：由题意得：二月份的利润为：1×(1+10%)=(1+10%)
三月份的利润为：1×(1+10%)(1+10%)=(1+10%)2
故第一季度的利润为：1+(1+10%)+(1+10%)2万元.
故选：D．
【名师指导】
此题主要考查了一元二次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程的应用--增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．得到三月份的产量的等量关系是解决本题的关键．【版权所有：21教育】
4．（2021·上海闵行·八年级期末）用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是( )
A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0
【标准答案】A
【思路点拨】
方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．
【精准解析】
把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．
故选：A．
【名师指导】
考查了换元法解分式方程，换元法解分式方 ( http: / / www.21cnjy.com )程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
5．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
【标准答案】D
【思路点拨】
利用因式分解法解方程．
【精准解析】
解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3．
故选：D．
【名师指导】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于的方程是常数，是“邻根方程”，令，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路点拨】
根据“邻根方程”的定义求出，代入进行配方求出最大值即可．
【精准解析】
解：设、是方程是常数，的两根，
解得，，
∵原方程是“邻根方程”
∴或
∴当a=2时，t有最大值，最大值为4．
故选C.
【名师指导】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
7．一元二次方程的解是（ ）
A．， B．， C． D．，
【标准答案】B
【思路点拨】
利用提公因式分进行因式分解，再解方程，即可得到答案．
【精准解析】
解：x（5x-2）=0，
x=0或5x-2=0，
所以或．
故选：B．
【名师指导】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
8．某年级举行篮球比赛，赛 ( http: / / www.21cnjy.com )制为单循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有（ ）支队伍参加了比赛．
A．7 B．6 C．12 D．14
【标准答案】A
【思路点拨】
赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝x（x﹣1），即可列方程求解．
【精准解析】
解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x﹣1）＝21，
解得x＝7或x＝﹣6（舍去）．
故应邀请7支队伍参加比赛．
故选：A．
【名师指导】
本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数＝队数×（队数﹣1）÷2，进而得出方程是解题关键．【来源：21cnj*y.co*m】
9．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
【标准答案】B
【思路点拨】
根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程判断即可；21教育名师原创作品
【精准解析】
有两个未知数，不是一元二次方程，故A错误；
是一元二次方程，故B正确；
中a的取值不确定，故C错误；
化简后没有二次项，故D错误；
故选B．
【名师指导】
本题主要考查了一元二次方程的定义，准确分析判断是解题的关键．
10．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）下列关于的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）21·世纪*教育网
A．； B．； C．； D．．
【标准答案】C
【思路点拨】
利用完全平方公式把A分解，利用十字乘法把B分解，再分别令再计算根的判别式，从而可判断C，D，从而可得答案.
【精准解析】
解：故A不符合题意；
故B不符合题意；
令
则
所以在实数范围内不能分解，故C符合题意；
令
则
故D不符合题意；
故选：C
【名师指导】
本题考查的是因式分解，一元二次方程的解法，根的判别式，掌握利用公式法解一元二次方程，进而分解因式是解题的关键.21*cnjy*com
二、填空题
11．（2021·上海松江·八年级期中）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．
【标准答案】8或9
【思路点拨】
分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．
【精准解析】
解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根，
因此有，
解得，
则方程为，解得另一个根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根，
因此，根的判别式，
解得，
则方程为，解得方程的根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
综上，的值为8或9，
故答案为：8或9．
【名师指导】
本题考查了一元二次方程根的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理．
12．（2021·上海市南洋模范中学八年级）已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为__________．
【标准答案】19
【思路点拨】
利用因式分解法可得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【精准解析】
解：解方程得第三边的边长为6或8，
依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，
∴三角形的周长=2+8+9=19．
故答案为：19．
【名师指导】
本题考查了解一元二次方程——因式分 ( http: / / www.21cnjy.com )解法和三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．
13．（2021·上海市民立中学八年级）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ___．21教育网
【标准答案】
【思路点拨】
利用新定义得到“天宫”方程的一个解为，则，然后利用整体代入的方法计算．
【精准解析】
解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，
∴“天宫”方程的一个解为，
方程是“天宫”方程，
，
，，，
．
故答案为：．
【名师指导】
本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键．21cnjy.com
14．（2021·上海市泗塘中 ( http: / / www.21cnjy.com )学八年级）若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝___，n＝___．21*cnjy*com
【标准答案】0 7
【思路点拨】
首先把方程变为一元二次方程的一般形式，再根据题意可得，进而可得答案．
【精准解析】
解：m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0，
整理得，，
∵为一元二次方程且不含x的一次项，
∴，
解得，
故答案为：0，7．
【名师指导】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．
15．（2021·上海市泗塘中学八年级）当x＝___二次根式有最小值，最小值为 ___．
【标准答案】-1
【思路点拨】
把配方得：，即可解决．
【精准解析】
∵
∴
当x=-1时，有最小值，从而有最小值，且最小值为
故答案为：-1，
【名师指导】
本题考查了配方法及求最小值，关键是配方．
16．（2021·上海市实验学校八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）若a，b，c为等腰三角形的三边长且a＝2，其中b，c是方程x2﹣3x+m＝0的两根．则m＝__________________
【标准答案】或2
【思路点拨】
分a为底边长及a为腰长两种情况考虑：当a为底边长时，由根的判别式 ＝0可求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出等腰三角形的两腰长，利用三角形的三边关系可确定m＝符合题意；当a为腰长时，将a＝2代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出等腰三角形的底边长，利用三角形的三边关系可确定m＝2符合题意．综上，此题得解．2-1-c-n-j-y
【精准解析】
解：当a为底边长时， ＝（﹣3）2﹣4×1×m＝0，
解得：m＝，
此时原方程为x2﹣3x+＝0，解得：x1＝x2＝．
∵以2，，为长度的三边能组成三角形，
∴m＝符合题意；
当a为腰长时，将a＝2代入原方程，得：4﹣6+m＝0，
解得：m＝2，
此时原方程为x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝1．
∵以2，2，1为长度的三边能组成三角形，
∴m＝2符合题意．
故答案为：或2．
【名师指导】
此题考查等腰三角形的性质，一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，以及三角形的三边关系，正确掌握各知识点并解决问题是解题的关键．
17．（2021·上海松江·八年级期中）已知关于的方程的两个根为，，则方程的两根为________．
【标准答案】或
【思路点拨】
观察给出的两个方程可知：2和3也是关于的方程的两根，由此即可求得答案．
【精准解析】
解：根据题意可得：题目所给的两个方程的系数、结构都相同，
∴2和3也是关于的方程的两根，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【名师指导】
本题考查了一元二次方程的解的定义，解决本题的关键是根据给出的方程特点，得到两个方程的解的关系．
18．（2021·上海杨浦·八年级期中）已知x＝a是关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根，则﹣＝___．21·cn·jy·com
【标准答案】
【思路点拨】
把代入已知方程，得到，整体代入所求的代数式进行求值即可．
【精准解析】
解：∵x＝a是关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根，
∴把代入已知方程，则
，
∴．
故答案为：．
【名师指导】
考查了一元二次方程的解，能 ( http: / / www.21cnjy.com )使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
三、解答题
19．（2021·上海市罗南中学八年级）解关于的一元二次方程，其中是满足不等式组的整数．
【标准答案】，方程的解为，
【思路点拨】
通过解关于的不等式组以及一元二次方程的定义求得的值；然后利用因式分解法解关于的一元二次方程即可．
【精准解析】
解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组解集是：，
整数的值为0或1；
将整理得：，
又∵是关于的一元二次方程，
，
即，
，
关于的一元二次方程是，
即，
或，
∴，．
【名师指导】
本题考查了解一元二次方程因式分解法、一元二次方程的定义以及一元一次不等式组的整数解．注意一元二次方程的二次项系数不为零．
20．（2021·上海市泗塘中学八年级）已知一元二次方程（m+1）x2+（2m﹣3）x+（m﹣2）＝0．
（1）如果方程有一根x1＝0，求m的值和另一个根x2．
（2）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【标准答案】（1），；（2）且．
【思路点拨】
（1）将代入一元二次方程解得m，然后将m代回原方程进行求解，即可得出方程的另一个根；
（2）方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式：，将方程的系数代入可得不等式，求解即可得出m的取值范围．
【精准解析】
解：（1）将代入一元二次方程可得：
，
解得：，
将代回原方程可得：
，
，
解得：，，
另一个根为：；
（2）方程有两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根的判别式：，
可得：，
解得：，
为一元二次方程，
∴，
∴，
综上可得：且．
【名师指导】
题目主要考查解一元二次方程的因式分解法和方程根的判别式以及求解不等式的解集，熟练掌握一元二次方程的解法及不等式的解法是解题关键．www.21-cn-jy.com
21．（2021·上海市泗塘中学八年级）已知和都有意义，且a是整数，试解关于x的一元二次方程x2﹣5＝x（ax﹣2）﹣2．
【标准答案】当时，方程的根为，；当时，方程没有实数根．
【思路点拨】
先根据二次根式有意义求得a的取 ( http: / / www.21cnjy.com )值范围，进而可求得a的整数值，再逐个代入一元二次方程求解即可，注意a＝1时，方程不是一元二次方程，故a＝1舍去．
【精准解析】
解：∵和都有意义，
∴，
解得：，
又∵a是整数，
∴，
当时，方程为，
整理得：，
解得：，，
当时，方程为，
即，此方程为一元一次方程，不符合题意，
∴舍去，
当时，方程为，
整理得：，
∵，
∴此方程没有实数根，
综上所述，当时，方程的根为，；当时，方程没有实数根．
【名师指导】
本题考查了二次根式有意义的条件以及一元二次方程的定义及解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．2·1·c·n·j·y
22．（2021·上海浦东新·八年级期中）要使关于的方程有实数根，整数取得的最大值是多少？
【标准答案】
【思路点拨】
分和两种情况讨论，分别求出a的取值，综合分析即可求解．
【精准解析】
解：当时，关于x的方程为一元一次方程，
，
解得，满足条件；
当时，关于x的方程为一元二次方程，
，
解得，
∵是整数且，
∴；
综上所述，．
【名师指导】
本题考查了解一元一次方程和根据一元二次方程根的情况求字母取值，理解题意，分类讨论，熟知一元二次方程的根的判别式相关知识是解题关键．
23．（2021·上海市第四中学八年级）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边A→B→C→D的行程，若上、下行速度都是3米/分钟，横行速度是4米/分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形ABCD的面积为72m2，而且机器人走的路线较短？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】应该安排上、下行和横行的时间分别为3分钟、3分钟、2分钟，能使得矩形ABCD的面积为72平方米，而且机器人走的路较短．
【思路点拨】
设安排机器人上行的时间为x分钟，则下行的时间也为x分钟，横行的时间为(8-2x)分钟，根据题意列出一元二次方程，求解再比较即可求解．
【精准解析】
解：设安排机器人上行的时间为x分钟，则下行的时间也为x分钟，横行的时间为(8-2x)分钟，
根据题意，得3x4(8-2x)=72，
整理，得x2-4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
当x=1时，机器人走的路程为2×3×1+4×(8-2×1) =30(米)；
当x=3时，机器人走的路程为2×3×3+4×(8-2×3)=26(米)；
∵26<30，
∴取x=3，从而8-2x=2，
答：应该安排上、下行和横行的时间分别为3分钟、3分钟、2分钟，能使得矩形ABCD的面积为72平方米，而且机器人走的路较短．
【名师指导】
本题考查了一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并正确列得方程，是解题的关键．
24．（2021·上海市进才中学北校八年级）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x2+3x﹣2＝0的两个根分别是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1x2＝，以上定理称为韦达定理．例如：已知方程5x2+3x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则：x1+x2＝﹣＝﹣，x1x2＝＝＝﹣
请阅读后，运用韦达定理完成以下问题：
（1）已知方程4x2﹣3x﹣6＝0的两根分别为x1，x2，求x1+x2和x1x2的值．
（2）已知方程x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，求的值．
（3）当k取何值时，关于x的一元二次方程3x2﹣2（3k+1）x+3k2﹣1＝0的两个实数根互为倒数？
【标准答案】（1），；（2）；（3）．
【思路点拨】
（1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
（2）先把所求的代数式变形为含有和的形式，然后利用根与系数的关系进行解答．
（3）依据题意可得，解关于的一元二次方程即可．
【精准解析】
解：（1），；
（2），，
；
（3）关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，
，
，
解得．
【名师指导】
本题主要考查了根与系数的关系及解一元二次方程，根与系数的关系中，，中、、所表示的意义是解题的关键．
25．（2021·上海松江·八年级期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根．
【标准答案】，．
【思路点拨】
首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．
【精准解析】
解：将原方程变形移项得：，
关于的方程有两个相等的实数根，
，
∵，
∴，
解得：，
当时，方程为，
整理，得：，
，
解得．
【名师指导】
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．
26．（2021·上海同济大学 ( http: / / www.21cnjy.com )附属存志学校八年级期中）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0，是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0成立？若存在，请求出实数k的值；若不存在，请说明理由．
【标准答案】存在，或-9
【思路点拨】
先计算一元二次方程根的判别式，进而根据根与系数的关系求得的值，代入等式，结合判别式即可求得的值．
【精准解析】
存在，理由如下，
x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0，
当，即时，
（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0
即
解得,
或-9
【名师指导】
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，理解根与系数的关系在一元二次方程有实根的情况下使用是解题的关键．
27．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）若α＝为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；
（1）则方程的另外一个根β＝ ，t＝ ；
（2）求α6+8β的值．
（3）求作一个关于y的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2．
【标准答案】（1）；；（2）；（3）
【思路点拨】
（1）根据根于系数的关系列式计算即可；
（2）由幂的乘方运算，完全平方式的运算法则计算即可；
（3）由根与系数的关系计算出相关数值，即可写出满足题意的一元二次方程．
【精准解析】
解：（1）∵和是一元二次方程的两个根
∴，
又∵
∴，
故答案为：；
（2）
∵
∴
（3）∵，
∴
∴关于y的一元二次方程为：
【名师指导】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，幂的乘方，完全平方式等相关知识点，牢记知识点并能够灵活应用是解题关键．
28．（2021·上海市民办新竹园中学八年级）在实数范围内因式分解
（1）；
（2）．
【标准答案】（1）；（2）
【思路点拨】
（1）先拆项，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可；
（2）首先解方程得出方程的根进而分解因式．
【精准解析】
解：（1）
=
=
=；
（2）令=0，
，
∴，
∴或，
∴=．
【名师指导】
此题主要考查了在实属范围内分解因式，正确求出方程的根是解题关键．
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