山西省大同市灵丘县第四高级中学校2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版含答案解析）

灵丘县第四高级中学2021-2022学年第一学期期中考试题
高二数学
（时间：120分钟 总分：150分）
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知、，则（ ）．
A． B． C． D．
2．已知点，向量，则点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆的焦点坐标为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．若某圆的标准方程为，则此圆的圆心和半径长分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且，N为BC的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在棱长为2的正方体中，点M，N分别是棱，的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．（多选题）下列说法中，正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
B．一条直线的倾斜角为
C.若直线倾斜角为,则
D.任意直线都有倾斜角,且时，斜率为
10.已知双曲线：（）的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）．
A．的焦点在轴上 B．
C．的实轴长为6 D．的离心率为
11.已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A． B． C． D．的坐标为
12.已知椭圆的离心率，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分.16题第一空2分，第二空3分）
13．直线恒过定点，则定点坐标为________．
14．若向量的坐标满足，，则等于_________.
15．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．
16．若直线与直线相互平行，则实数a等于______；这两条平行直线间的距离为______.
四、解答题（本部分共6大题，共70分.其中17题10分，其它各题均12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．直线l经过点.
（1）直线l与直线垂直，求直线l的方程；
（2）直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
18．已知直线，圆C以直线的交点为圆心，且过点A(3,3)，
（1）求圆C的方程；
（2）若直线 与圆C交于不同的两点M、N，求|MN|的长度；
（3）求圆C上的点到直线的距离的最大值．
19．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.
（1）求点的坐标和抛物线的准线方程；
（2）过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积.
20．在①，且的左支上的点与右焦点间的距离的最小值为，②的焦距为6，③上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解问题．
问题：已知双曲线，______，求的方程．
21．如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22．已知椭圆的离心率为且经过点.
（1）求椭圆方程；
（2）直线交椭圆于不同两点，若，（是坐标原点）的面积等于，求直线的方程.
2021-2022学年度高二上学期期中考试
数学答案
参考答案
1．C
【详解】因为、，所以，故选：C.
2．D
【详解】设点，则向量，
所以，所以点.故选：D
3．A
【详解】由题得方程可化为，所以所以焦点为故选：A.
4．C
【详解】解：因为圆的标准方程为：，圆心为，半径长为，
又因为某圆的标准方程为，所以、、，故选：C．
5．B
【详解】解：因为空间四边形OABC如图，，，，
点M在线段OA上，且，N为BC的中点，所以.
所以.故选：B.
6．D
【详解】过作的平行线交于，连接，∴（或其补角）就是异面直线与所成角，
因为，，所以，，，所以.故选：D.
7．B
【详解】设倾斜角为，因为，且，所以.故选：B
8．A
【详解】抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，可知此点到准线的距离为，抛物线的准线方程为，所以可得，解得，所以抛物线方程为.故选：A.
9．CD
【详解】对于A，直线的倾斜角为，当时，斜率不存在，A错误；
对于B，直线的倾斜角的范围为，，B错误；
对于C，直线的倾斜角的范围为，，则有sin，C正确；
对于D，任意直线都有倾斜角，且时，斜率为，D正确；故选：CD.
10．AD
【详解】解：由，可知双曲线的焦点一定在轴上，故A正确；
根据题意得，所以，故B错误；
双曲线的实轴长为，故C错误；
双曲线的离心率，故D正确．故选：AD．
11．AC
【详解】由题可知,由，，所以，.
故选：AC．
12．AB
【详解】解：由题意知，当时，，，，∴，解得；当时，，，，∴，解得；故选：AB．
13．
【详解】直线方程可化为，由，可得.故直线恒过定点.故答案为：.
14．
【详解】因为，，两式相加得，解得，，所以.故答案：.
15．
【详解】由双曲线的相关性质可知，双曲线的焦点为，顶点为（2,0），所以椭圆的顶点为，焦点为（2,0），因为，所以椭圆的方程为，故答案为．
16．
【详解】根据题意，若直线与直线相互平行，则有，解可得，则直线的方程为和，即，故这两条平行直线间的距离.
故答案为：，．
17．（1）；（2）或
【详解】（1）直线的斜率为，所以直线的斜率为，
直线的方程为，即.
（2）当直线过原点时，直线的方程为，
当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点的坐标得，解得，
所以直线的方程为或.
18．（1）；（2）：（3）．
【详解】
（1）联立直线方程，即可得交点C(1,3)，
圆C的半径，∴圆C的方程为：.
（2）由C点到直线的距离，∴|MN|=2．
（3）由C点到直线的距离，即圆C上点到直线距离的最大值为．
19．（1），；（2）
【详解】
（1）∵在抛物线上，，
∴点的坐标为，抛物线的准线方程为；
（2）设 的坐标分别为，则，由点差法
，∴直线的方程为 ，点到直线的距离，
.
20．【详解】
方案一 选择条件①．
因为，所以，，，所以，．
因为的左支上的点到右焦点的距离的最小值为，所以，
解得，故的方程为．
方案二 选择条件②．
因为的焦距为6，所以．
若，则，，，
所以，解得，则的方程为；
若，则，，，
所以，解得，则的方程为．
综上，的方程为或．
方案三 选择条件③．
因为上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，所以，即．
若，则，所以，解得，则的方程为；
若，则，所以，解得，则的方程为．
综上，的方程为或．
21．(1)见解析;(2).
详解：
（1）连接，
∵是正方形，是的中点，∴是的中点，
∵是的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面.
（2）建立如图所示空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，则，
取得，设与平面所成角为，
则.
22．（1）；
（2）或或或.
（1），即，，椭圆方程可写为：，
又椭圆过点，，解得：，
椭圆方程为；
（2）设到距离为，则，，
，即，整理可得：，
由得：，
，
设，，则，
，
又，，
令，则，
，解得：，，；
经检验，，满足，
直线方程为：或或或.