高中数学人教A版（2019）选择性必修 第二册 4.2 等差数列

高中数学人教A版（2019）选择性必修 第二册 4.2 等差数列
一、单选题
1．（2021高三上·河北期中）若各项均不为零的等差数列 满足 ，则 （　　）
A． B． C． D．
2．（2021高三上·陕西月考）在等差数列 中，若 ， ，则 （　　）
A．7 B．8 C．9 D．21
3．（2020高二上·东城期末）已知等差数列 ， ，则公差d等于（　　）
A． B． C．3 D．-3
4．（2021·邢台模拟）在等差数列 中， ， ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高二上·新郑月考）已知正项等差数列 ，若 ， ，则 （　　）
A．1 B．2 C． D．
6．（2021高三上·茂名月考）在等差数列 中， ， ， ，则其前 项的和为（　　）
A．12 B．22 C．23 D．25
7．（2021高三上·洛南月考）在《张丘建算经》中有一题“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”.意思为：现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，则该女子第30天比第1天多织布的尺数为（　　）
A． B．21 C． D．16
8．（2021高三上·汉中月考）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其大意为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
9．（2021·安徽模拟）一个至少有3项的数列 中，前 项和 是数列 为等差数列的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2021高三上·灵丘开学考）已知数列 是公差不为零的等差数列， ， 、 、 成等比数列，则 （　　）
A． B． C．2 D．3
二、多选题
11．（2021高三上·湖南月考）已知数列{an}各项均是正数，a4，a6是方程x2－4x＋a＝0(0A．若{an}是等差数列，则数列{an}前9项和为18
B．若{an}是等差数列，则数列{an}的公差为2
C．若{an}是等比数列，{an}公比为q，a＝1，则q4－14q2＋1＝0
D．若{an}是等比数列，则a3＋a7的最小值为2
12．（2021·潍坊模拟）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列 ，则（　　）
A． B．
C． D．
13．已知单调递增的等差数列 满足 ，则下列各式一定成立的有（　　）
A． B． C． D．
14．（2020高二上·高州期末）已知数列 是公差 不为0的等差数列，前 项和为 ，且满足 ，则下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
15．（2020高二上·随州期末）在等差数列 中， ， .记 ，则数列 （　　）
A． B．有最大项 C．无最大项 D．无最小项
三、填空题
16．（2021高三上·赣州期中）已知数列 满足： ， ，则 的值为　 　．
17．（2021高二上·河南月考）在等差数列 中，已知 ， ，则 　 　.
18．（2021高三上·沧县月考）已知正项等差数列 满足 ， ，则 　 　.
19．（2021高二下·开封期末）在数列 ， ， ，则 　 　．
四、解答题
20．（2021高二上·河池月考）设等差数列 的前 项和为 ，已知 ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
21．（2021高三上·苏州月考）在① ，② ，③ 中任选两个，补充在横线上，并回答下面问题.已知公差不为0的等差数列 ，且___________.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
22．（2021高二上·河南月考）在等差数列 中， .
（1）求 的通项公式；
（2）求 的前 项和 及 的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
故 .
故答案为：A.
【分析】根据已知条件及等差数列的通项公式，即可求出答案。
2．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】依题意 ，
所以 .
故答案为：D
【分析】根据题意由等差数列的通项公式，结合已知条件计算出d的取值，再把数值代入通项公式计算出结果即可。
3．【答案】B
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【解答】由题意，等差数列 ， ，
可得等差数列 的公差 .
故答案为：B.
【分析】由等差数列的定义结合题意计算出结果即可。
4．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】设公差为 ，因为 ， ，所以 ，即 ，
从而 .
故答案为：A.
【分析】由等差数列的通项公式整理化简已知条件即可得出d的取值范围，再由等差数列的通项公式整理即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】在等差数列 中，依题意， ，
故 ，
解得 ，
故 和 是 的两根，解得： ， ，
因为 为正项等差数列，故公差 ，
从而 ， ，则 ，即 ，
所以 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合等比数列的性质得出的值， 再利用 和 是 的两根，从而解一元二次方程求出两根，再利用数列 为正项等差数列，故公差 ，得出 ， 的值，再结合等差数列的性质得出公差的值，再利用等差数列的性质求出正项等差数列的通项公式。
6．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】由题意，
∴ ， ．
．
故答案为：B
【分析】由等差数列的定义整理即可得到t与d的取值，然后由等差数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
7．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】由题意，该女子每天织的布的长度成等差数列，且 ，设公差为 ，由
，可得 ，
故答案为：D
【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合等差数列的前n项和公式和已知条件计算出d的值，再由等差数列的通项公式代入数值计算出结果即可。
8．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设橘子最少的人所得橘子个数为 ，则 ，解得： ，
即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6个.
故答案为：B.
【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，由等差数列的前n项和公式代入数值计数首项的值，由此得出答案。
9．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解；(1)必要性显然成立；
(2)充分性，若 ，所以当n≥2时，，
所以2an=n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)，化简得(n-1)an-1=a1+(n-2)an①
所以当n≥3时，(n-2)an-2=a1+(n-3)an-1②
①-②得2(n-2)an-1=(n-2)(an+an-2)，
所以2an-1=an+an-2，即数列(an)是等差数列，
∴充分性得证，
所以是数列(an)是等差数列的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据充要条件的判断，结合等差数列的概念求解即可.
10．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】设等差数列 的公差为 ，则 ，
由 、 、 成等比数列得 ，即 ，整理可得 ，
已知 ，解得 ，则 ．
故答案为：C．
【分析】由已知条件结合等差数列项的通项公式以及等比数列的项的性质整理即可求出d的值，然后由等差数列的通项公式代入数值计算出结果即可。
11．【答案】A,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【解答】由条件得 ， ．如果 是等差数列，则 ， ，∴ ，所以A符合题意；
又因为 ，∴数列 公差 满足 ，B不符合题意；
如果 是等比数列，由 得 ，∴ ，∴ ，即 ，∴ ，C符合题意；
由已知得 ，由于 ，所以 ，即数列 的公比不为 ，∴ ，∴在不等式 中，等号不成立，D不符合题意．
故答案为：AC
【分析】利用数列{an}各项均是正数，a4，a6是方程x2－4x＋a＝0(0再利用 ，再结合等差数列的性质得出数列 公差 满足 ；利用数列 是等比数列，由 得 ，再结合等比数列的通项公式，得出 ；由已知得 ，由于 ，所以 ，即数列 的公比不为 ，所以 ，再结合均值不等式求最值的方法得出 ，等号不成立，进而找出结论正确的选项。
12．【答案】B,C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由题意知： ，故 ，
∴ ，A不符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意；
， ，显然 ，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】 根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到，由此对各个选项进行逐一的判断即可．
13．【答案】B,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】设等差数列 的公差为 ，易知 ，
∵等差数列 满足 ，
且 ，
，
，B，D符合题意，A不符合题意.
又 ， ，
,
，C不符合题意.
故答案为：BD.
【分析】设等差数列 的公差为 ，利用单调递增的等差数列 ， 易知 ，再利用 结合等差数列的性质，再结合等差数列的通项公式，进而找出一定成立的选项。
14．【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为 是等差数列，设公差为 ，
由 ，得 ，即 ，A符合题意；
又 ，B符合题意；
若d>0， 是单调递增数列， ，
所以当n<10时 ，当n>10时 ，所以 或 最小，符合题意；
若d<0， 是单调递减数列， ，
所以当n<10时 ，当n>10时 ，所以 或 最大，符合题意，
所以无法判断公差的取值，C不符合题意；
又 ，即 ，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】由数列的前n项和公式与等差数列项的通项公式整理即可求出，从而判断出选项A正确；由等差数列的前n项和公式与等差数列项的关系，整理即可求出选项B正确；由数列的单调性结合数列的前n项和公式即可等差选项C错误；由等差数列的前n项和公式和等差数列项的性质即可计算出结果由此判断出选项D正确；由此即可得出答案。
15．【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等差数列 公差为 ， ，
所以 ，
所以 ； ，
所以
所以 ，A符合题意；
由 ，所以比较 可得有最大项 ，B符合题意；所以C不符合题意；
又 且 越大 越大，故数列无最小项，D符合题意。
故答案为：ABD。
【分析】设等差数列 公差为 ，利用已知条件结合等差数列通项公式，从而求出等差数列的公差，进而结合等差数列通项公式求出等差数列通项公式，所以 ； ，进而结合 ，从而推出 ，由 ，所以比较 可得有最大项 ，又 且 越大 越大，故数列无最小项，从而选出正确的选项。
16．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】由递推公式可得： ，
即： ，据此有： ，又 ，
故数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
则 ，故 .
【分析】首先由数列的递推公式整理即可得到数列为等差数列，再由等差数列的通项公式代入数值计算出结果即可。
17．【答案】0
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】设 的公差为 ，
因为 ， ，
所以 ，解得： ，
故答案为：0.
【分析】设 的公差为 ，利用等差数列的通项公式列出方程组，即可求出a1。
18．【答案】9
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】设等差数列 的公差为 ，而 是正项数列，则 ，
因 ，则 ，整理得 ，而 ，
解得 ， ，则有 ，
所以 .
故答案为：9
【分析】由等差数列的通项公式结合已知条件整理即可求出首项和公差的值，再把数值代入到等差数列的通项公式计算出结果即可。
19．【答案】9899
【知识点】等差数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】在数列 ， ， ，所以
累加得： ，
所以 9899
故答案为：9899
【分析】根据题意由已知条件的数列递推公式，然后累加由等差数列的前n项和公式计算出结果即可。
20．【答案】（1）设公差为d，则 ，
∵ 代入上式得 ．
∴ ．
（2）∴ ，∴ ，∴ 时 ．
∴ 时， ．
时，
．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列的通项公式整理化简，结合已知条件计算出d的取值，由此得出等差数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由等差数列的前n项和公式计算出结果即可。
21．【答案】（1）解：选①②：因为 是等差数列，且 ， ，
所以 ，解得 ， ，所以 .
选①③：所以 ，解得 ， ，所以 .
选②③：因为 是等差数列，且 ，
所以 ，解得 ， ，所以
（2）解：因为 ，所以 ，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】 (1)直接利用等差数列的性质的应用求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式；
(2)利用裂项相消法求出数列的和.
22．【答案】（1）解：设 的公差为 ，
根据题意得
解得 ，
所以
（2）解：根据等差数列的前 项和公式得
则当 时， 取得最小值-36
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列的通项公式整理化简已知条件，由此即可求出首项和公差的值，从而得到数列的通项公式。
(2)由已知条件结合等差数列的前n项和公式，即可求出结合二次函数的性质即可求出最小值。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修 第二册 4.2 等差数列
一、单选题
1．（2021高三上·河北期中）若各项均不为零的等差数列 满足 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
故 .
故答案为：A.
【分析】根据已知条件及等差数列的通项公式，即可求出答案。
2．（2021高三上·陕西月考）在等差数列 中，若 ， ，则 （　　）
A．7 B．8 C．9 D．21
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】依题意 ，
所以 .
故答案为：D
【分析】根据题意由等差数列的通项公式，结合已知条件计算出d的取值，再把数值代入通项公式计算出结果即可。
3．（2020高二上·东城期末）已知等差数列 ， ，则公差d等于（　　）
A． B． C．3 D．-3
【答案】B
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【解答】由题意，等差数列 ， ，
可得等差数列 的公差 .
故答案为：B.
【分析】由等差数列的定义结合题意计算出结果即可。
4．（2021·邢台模拟）在等差数列 中， ， ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】设公差为 ，因为 ， ，所以 ，即 ，
从而 .
故答案为：A.
【分析】由等差数列的通项公式整理化简已知条件即可得出d的取值范围，再由等差数列的通项公式整理即可得出答案。
5．（2021高二上·新郑月考）已知正项等差数列 ，若 ， ，则 （　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】在等差数列 中，依题意， ，
故 ，
解得 ，
故 和 是 的两根，解得： ， ，
因为 为正项等差数列，故公差 ，
从而 ， ，则 ，即 ，
所以 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合等比数列的性质得出的值， 再利用 和 是 的两根，从而解一元二次方程求出两根，再利用数列 为正项等差数列，故公差 ，得出 ， 的值，再结合等差数列的性质得出公差的值，再利用等差数列的性质求出正项等差数列的通项公式。
6．（2021高三上·茂名月考）在等差数列 中， ， ， ，则其前 项的和为（　　）
A．12 B．22 C．23 D．25
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】由题意，
∴ ， ．
．
故答案为：B
【分析】由等差数列的定义整理即可得到t与d的取值，然后由等差数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
7．（2021高三上·洛南月考）在《张丘建算经》中有一题“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”.意思为：现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，则该女子第30天比第1天多织布的尺数为（　　）
A． B．21 C． D．16
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】由题意，该女子每天织的布的长度成等差数列，且 ，设公差为 ，由
，可得 ，
故答案为：D
【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合等差数列的前n项和公式和已知条件计算出d的值，再由等差数列的通项公式代入数值计算出结果即可。
8．（2021高三上·汉中月考）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其大意为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设橘子最少的人所得橘子个数为 ，则 ，解得： ，
即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6个.
故答案为：B.
【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，由等差数列的前n项和公式代入数值计数首项的值，由此得出答案。
9．（2021·安徽模拟）一个至少有3项的数列 中，前 项和 是数列 为等差数列的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解；(1)必要性显然成立；
(2)充分性，若 ，所以当n≥2时，，
所以2an=n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)，化简得(n-1)an-1=a1+(n-2)an①
所以当n≥3时，(n-2)an-2=a1+(n-3)an-1②
①-②得2(n-2)an-1=(n-2)(an+an-2)，
所以2an-1=an+an-2，即数列(an)是等差数列，
∴充分性得证，
所以是数列(an)是等差数列的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据充要条件的判断，结合等差数列的概念求解即可.
10．（2021高三上·灵丘开学考）已知数列 是公差不为零的等差数列， ， 、 、 成等比数列，则 （　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】设等差数列 的公差为 ，则 ，
由 、 、 成等比数列得 ，即 ，整理可得 ，
已知 ，解得 ，则 ．
故答案为：C．
【分析】由已知条件结合等差数列项的通项公式以及等比数列的项的性质整理即可求出d的值，然后由等差数列的通项公式代入数值计算出结果即可。
二、多选题
11．（2021高三上·湖南月考）已知数列{an}各项均是正数，a4，a6是方程x2－4x＋a＝0(0A．若{an}是等差数列，则数列{an}前9项和为18
B．若{an}是等差数列，则数列{an}的公差为2
C．若{an}是等比数列，{an}公比为q，a＝1，则q4－14q2＋1＝0
D．若{an}是等比数列，则a3＋a7的最小值为2
【答案】A,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【解答】由条件得 ， ．如果 是等差数列，则 ， ，∴ ，所以A符合题意；
又因为 ，∴数列 公差 满足 ，B不符合题意；
如果 是等比数列，由 得 ，∴ ，∴ ，即 ，∴ ，C符合题意；
由已知得 ，由于 ，所以 ，即数列 的公比不为 ，∴ ，∴在不等式 中，等号不成立，D不符合题意．
故答案为：AC
【分析】利用数列{an}各项均是正数，a4，a6是方程x2－4x＋a＝0(0再利用 ，再结合等差数列的性质得出数列 公差 满足 ；利用数列 是等比数列，由 得 ，再结合等比数列的通项公式，得出 ；由已知得 ，由于 ，所以 ，即数列 的公比不为 ，所以 ，再结合均值不等式求最值的方法得出 ，等号不成立，进而找出结论正确的选项。
12．（2021·潍坊模拟）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列 ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由题意知： ，故 ，
∴ ，A不符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意；
， ，显然 ，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】 根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到，由此对各个选项进行逐一的判断即可．
13．已知单调递增的等差数列 满足 ，则下列各式一定成立的有（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】设等差数列 的公差为 ，易知 ，
∵等差数列 满足 ，
且 ，
，
，B，D符合题意，A不符合题意.
又 ， ，
,
，C不符合题意.
故答案为：BD.
【分析】设等差数列 的公差为 ，利用单调递增的等差数列 ， 易知 ，再利用 结合等差数列的性质，再结合等差数列的通项公式，进而找出一定成立的选项。
14．（2020高二上·高州期末）已知数列 是公差 不为0的等差数列，前 项和为 ，且满足 ，则下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为 是等差数列，设公差为 ，
由 ，得 ，即 ，A符合题意；
又 ，B符合题意；
若d>0， 是单调递增数列， ，
所以当n<10时 ，当n>10时 ，所以 或 最小，符合题意；
若d<0， 是单调递减数列， ，
所以当n<10时 ，当n>10时 ，所以 或 最大，符合题意，
所以无法判断公差的取值，C不符合题意；
又 ，即 ，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】由数列的前n项和公式与等差数列项的通项公式整理即可求出，从而判断出选项A正确；由等差数列的前n项和公式与等差数列项的关系，整理即可求出选项B正确；由数列的单调性结合数列的前n项和公式即可等差选项C错误；由等差数列的前n项和公式和等差数列项的性质即可计算出结果由此判断出选项D正确；由此即可得出答案。
15．（2020高二上·随州期末）在等差数列 中， ， .记 ，则数列 （　　）
A． B．有最大项 C．无最大项 D．无最小项
【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等差数列 公差为 ， ，
所以 ，
所以 ； ，
所以
所以 ，A符合题意；
由 ，所以比较 可得有最大项 ，B符合题意；所以C不符合题意；
又 且 越大 越大，故数列无最小项，D符合题意。
故答案为：ABD。
【分析】设等差数列 公差为 ，利用已知条件结合等差数列通项公式，从而求出等差数列的公差，进而结合等差数列通项公式求出等差数列通项公式，所以 ； ，进而结合 ，从而推出 ，由 ，所以比较 可得有最大项 ，又 且 越大 越大，故数列无最小项，从而选出正确的选项。
三、填空题
16．（2021高三上·赣州期中）已知数列 满足： ， ，则 的值为　 　．
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】由递推公式可得： ，
即： ，据此有： ，又 ，
故数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
则 ，故 .
【分析】首先由数列的递推公式整理即可得到数列为等差数列，再由等差数列的通项公式代入数值计算出结果即可。
17．（2021高二上·河南月考）在等差数列 中，已知 ， ，则 　 　.
【答案】0
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】设 的公差为 ，
因为 ， ，
所以 ，解得： ，
故答案为：0.
【分析】设 的公差为 ，利用等差数列的通项公式列出方程组，即可求出a1。
18．（2021高三上·沧县月考）已知正项等差数列 满足 ， ，则 　 　.
【答案】9
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】设等差数列 的公差为 ，而 是正项数列，则 ，
因 ，则 ，整理得 ，而 ，
解得 ， ，则有 ，
所以 .
故答案为：9
【分析】由等差数列的通项公式结合已知条件整理即可求出首项和公差的值，再把数值代入到等差数列的通项公式计算出结果即可。
19．（2021高二下·开封期末）在数列 ， ， ，则 　 　．
【答案】9899
【知识点】等差数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】在数列 ， ， ，所以
累加得： ，
所以 9899
故答案为：9899
【分析】根据题意由已知条件的数列递推公式，然后累加由等差数列的前n项和公式计算出结果即可。
四、解答题
20．（2021高二上·河池月考）设等差数列 的前 项和为 ，已知 ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）设公差为d，则 ，
∵ 代入上式得 ．
∴ ．
（2）∴ ，∴ ，∴ 时 ．
∴ 时， ．
时，
．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列的通项公式整理化简，结合已知条件计算出d的取值，由此得出等差数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由等差数列的前n项和公式计算出结果即可。
21．（2021高三上·苏州月考）在① ，② ，③ 中任选两个，补充在横线上，并回答下面问题.已知公差不为0的等差数列 ，且___________.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）解：选①②：因为 是等差数列，且 ， ，
所以 ，解得 ， ，所以 .
选①③：所以 ，解得 ， ，所以 .
选②③：因为 是等差数列，且 ，
所以 ，解得 ， ，所以
（2）解：因为 ，所以 ，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】 (1)直接利用等差数列的性质的应用求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式；
(2)利用裂项相消法求出数列的和.
22．（2021高二上·河南月考）在等差数列 中， .
（1）求 的通项公式；
（2）求 的前 项和 及 的最小值.
【答案】（1）解：设 的公差为 ，
根据题意得
解得 ，
所以
（2）解：根据等差数列的前 项和公式得
则当 时， 取得最小值-36
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列的通项公式整理化简已知条件，由此即可求出首项和公差的值，从而得到数列的通项公式。
(2)由已知条件结合等差数列的前n项和公式，即可求出结合二次函数的性质即可求出最小值。
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