北师大版八年级上册第五章5.6一次函数与三角形的面积 教学设计

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授课教师 课题 一次函数与三角形的面积
知识点来源 □学科：数学 □年级：八年级 □教材版本： 北师大版 □所属章节：第五章《二元一次方程组》第6节 二元一次方程与一次函数
设计思路 一次函数与三角形的面积是北师大版八年级上册第五章的内容，本次 授课是在学习完一次函数和二元一次方程组之后进行的一次拓展提 高，主要解决两直线的交点和两直线与坐标轴的交点所围成的三角形 面积问题。将一次函数和三角形面积综合在一起的问题，是考查学生 综合素质和能力的热点题型，也是中考命题的热点问题，它充分体现 了数学解题中数形结合思想、分类讨论思想、方程思想和转化思想， 同时为下阶段的反比例函数、二次函数等更多函数打下坚实的理论和 思想方法基础。 本节课通过复习—例题讲解—变式训练—归纳总结这四个方面展开。 首先，复习用点坐标求线段长，如果线段与坐标轴平行，线段长等于 对应的横坐标或纵坐标的差的绝对值；如果线段与坐标轴不平行，线 段长利用两点距离公式计算。例1，求两直线的交点和两直线分别与 x轴的交点所围成的三角形面积。三角形有2个顶点在x轴上，其线 段可作为三角形的底边，过另一顶点向x轴作垂线，即作底边上的高。 此时，三角形的底和高都垂直于坐标轴，都为横平竖直的线段，其长 度等于对应的横坐标或纵坐标的差的绝对值。利用解析式得出直线与 坐标轴的交点，通过联立两直线解析式求交点。根据公式求三角形的 面积。变式训练1，把例1中两直线与x轴相交改为与y轴相交，即 求两直线的交点和两直线分别与y轴的交点所围成的三角形面积。三 角形有2个顶点在y轴上，其线段可作为三角形的底边，过另一顶点 向y轴作垂线，即作底边上的高。此时，三角形的底和高都垂直于坐 标轴，都为横平竖直的线段，根据解析式求点坐标，利用点坐标求线 段长。归纳小结，这两道题中，要求的三角形都有底边和高垂直于坐 标轴，即三角形有现成的横平竖直的线段，直接使用。根据坐标即可 快速求出长度，不需使用两点距离公式。例2，求两直线的交点和两 直线分别与x轴、y轴的交点所围成的三角形面积。难度升级，所求 的三角形没有横平竖直的边，没有，那就创造。通过作坐标轴的垂线 构造横平竖直的线段。利用割补法，两种不同的思路来解决三角形面 积问题。补的思路为构造规则的图形，整体减去部分思想。割的思路 是把三角形切割，分成两个具有横平竖直线段的三角形，以创造出来 的横平竖直的线段为底边，过另一交点作底边上的高也是横平竖直的 线段，横平竖直的线段长利用点坐标即可求出。根据解析式或联立解 析式可得到点坐标。割的方法的过程中涉及铅垂线法的学习。归纳总 结，求两直线的交点和两直线与坐标轴的交点所围成的三角形面积， 如果三角形有横平竖直的线段，直接作为三角形的底边，作高即可。 如果三角形没有横平竖直的线段，那就过适合的顶点作坐标轴的垂 线，铅垂线法是其中常用的方法之一，构造横平竖直的线段。利用割 补法来求解三角形的面积。在求两直线的交点和两直线与坐标轴的交 点所围成的三角形面积中，渗透数形结合思想、分类讨论思想、方程 思想和转化思想。
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内 容
教学目的 通过复习使学生熟悉如何利用坐标求线段长。 熟练如何求两直线的交点坐标和直线与坐标轴的交点坐标。 通过对两直线的交点和两直线与坐标轴的交点所围成的三角形面积求值问题的探究，理解横平竖直的线段，掌握割补法，进一步体会函数、坐标、几何图形（三角形）之间的相互转化，在解决函数相关问题中的重要作用。 培养学生的数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和方程思想，增强学生的数学思维能力，提高数学素养。 激发学生学习数学的兴趣，体验成功的喜悦。
教学重点难点 教学重点：求两直线的交点和两直线与坐标轴的交点所围成的三角形面积的方法。 教学难点：在面积问题中渗透数形结合思想和转化思想。
教学过程 一、复习回顾 如何用坐标求线段长？ 设计意图：通过复习回顾本节课所用到的知识点——用坐标求线段长，为后面例1、变式1和例2探究做好铺垫。 二、典型精例 例1：如图，已知直线:与直线:交于点，且和分别交轴于点求的面积. 设计意图：利用解二元一次方程组确定两直线的交点坐标，渗透方程的思想。例1，三角形有一边在x轴上，则以在x轴上的边为底，过另一顶点作x轴垂线即可得出相对应的高，利用面积公式求面积。在解题的过程中渗透数形结合的思想。 变式1：如图，已知直线:与直线:交于点，且和分别交轴于点求的面积. 设计意图：利用解二元一次方程组确定两直线的交点坐标，渗透方程的思想。变式1，三角形有一边在y轴上，则以在y轴上的边为底，过另一顶点作y轴垂线即可得出相对应的高，利用三角形面积公式求面积。通过例1和变式1，三角形有一边在坐标轴上，这是横平竖直的线段（平行于坐标轴的线段都可说是横平竖直的线段）。三角形的边有横平竖直的线段，直接利用三角形面积公式求解。分析解题思路之后，再次强调解题书写过程的规范性。在解题的过程中渗透数形结合的思想。 三、思维拓展 例2.如图，已知直线:与直线:相交于点,且直线交轴于点，直线分交轴于点，求的面积. 设计意图：在例1和变式1的基础上，进一步渗透数形结合的思想。通过问题，引导学生思考，如果三角形任意一边都不在坐标轴上，或任意一边都不平行于坐标轴，即三角形没有横平竖直的线段，则需通过割补法转化为几个具有横平竖直线段的规则图形（三角形、梯形等等）之和或差，渗透转化的思想。 四、总结升华 （1）利用解二元一次方程组确定两直线的交点坐标 （2）如果三角形有横平竖直的线段，直接用面积公式求面积。 （3）三角形没有横平竖直的线段，则通过割补法转化为几个具有横平竖直线段的规则图形（三角形、梯形等等）之和或差 设计意图：培养学生归纳总结的能力。