河南省新乡市原阳县三高中2021-2022学年高一上学期期中联考数学试卷（PDF版含答案）

2021—2022 学年上期期中联考
高一数学参考答案
一、选择题
1．C
【解析】由题意 A∩ B = {0,1, 2}．
2 B
．
2 2 . 2
【解析】若m = 3，则m = 9，故m = 3能推出m = 9 当m = 9时，m = ±3，此时推不
出m = 3 “，故 m = 3 ” “ 2 ” . 是 m = 9 的充分不必要条件
3 A
．
【解析】原命题是特称命题，其否定是全称命题，注意到是否定结论而不是否定条件，所以
A .
选项符合
4 D
．
3x 2, x ≤ 2
f (x) = f (2) = 4 f ( f (2)) = f (4) = 8+1= 9 【解析】因为 ，则 ， ．
2x +1, x > 2
5 D
．
2 ≤ a ≤ 7, 1≤ b ≤ 4 2 ≤ 2b ≤ 8, 8 ≤ 2b ≤ 2
【解析】依题意 ，则 ，所以 6 ≤ a 2b ≤ 9 .
6 C
．
x 1 1 ( )2= ∴ x = 1 f = 2 1 + 3 = 5 【解析】令 ，故 ．
2x 1 3 3
7 A
．
α 2 α 5 =1
【解析】由于幂函数 f (x) = (α 2 α 5)xα 在 (0,+∞)内单调递增，则 ，解
α > 0
得α = 3 .
8 D
．
A = {2, 4} B = {1, 2,3, 4,5,6} A C B C【解析】由题意可知 ， ，若满足条件 ，则集合 中
2 4 1,3,5,6 4 4 .
的元素除了 ， 外，需要从 这 个中来选，共有2 =16 种选择
9 D
．
x = y =1 f 2 = f 1 + f 1 +3 = 9
【解析】令 得 ( ) ( ) ( ) ，
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x = 2 y = 1 f 3 = f 2 + f 1 +3×2 = 9 +3+ 6 =18 . 令 ， 得 ( ) ( ) ( )
10 B
．
y = f x 1 4,3
【解析】因为 ( )的定义域是[ ]，所以 5 ≤ x 1≤ 2 ，由函数意义知道，
4
5 ≤ 3x 2 ≤ 2 1≤ x ≤
5 ≤ 3x 2 ≤ 2 , 3 所以 ，即 ，
x + 2 > 0
x > 2
4 4
1≤ x ≤ g(x) 1, .
解得 ，所以函数 的定义域为
3 3
11．C
2 a > 0
a 3
【解析】由题可得 ≥ 0 ，解得 ≤ a < 2 ．
4 2
3 ≤ 2a
12 B
．
f (x1 ) f (x2 )
> 4 1< x1 < x2 < 3 f (x1) f (x ) < 4 x【解析】 ， 等价于 2 ( 1
x2 ) ，
x1 x2
f (x1) + 4x1 < f (x2 ) + 4x2 h x = f x + 4x = 2ax
2 + 4x +5
即： ，令 ( ) ( ) ，
h (x) -1,3
则 在( ) 单增．
1
① a > 0 x = ≤ 1
当 时，函数的对称轴为 ，解得0 < a ≤1
a
1 1
a < 0
② x = ≥ 3 ≤ a < 0
当 时，函数的对称轴为 ，得：
a 3
( )
1
③ a = 0 h x , a
当 时， 单增，满足题意所以实数 的取值范围是

,1
3
．

二、填空题
13. 2
1 2 1
a =1 a = 2 a 3 =1= a 2
【解析】若 ， 则 ，不符合集合元素互异性；若a 3 =1，解得：
2 2
a = 2
（舍）或 2 1∈{ 2, 1,1} . ，则 ，满足题意；综上所述：a = 2
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14
．11
【解析】同时选择了政治和化学的人数是27 + 39 50 =16人，只选择了政治没有选择化学
的人数是27 16 =11 人．
15 8 ．
f (x)
【解析】因为函数 图像的开口方向向上，且对称轴方程为 x = 2，
y = f (x) 3, 2
所以，函数 在区间[ ]上为减函数，[ 2,1] 为增函数
y = f (x) 3,1
又因为函数 在区间[ ]上的最大值为11，最小值为 7，
f ( 2) = 4a + 3 2b = 7 a = 2
可得 ( ) ，解得 ．3a + 2b = 8
．
f 1 = 5a + 3 2b =11 b =1
16
．2 + 3
【解析】由3x2 y + 2xy2 y 2x = 0 xy(3x + 2y) = y + 2x 知： ，
1 2
x > 0 y > 0 , 2y + 3x = +
而 ， 得 ，则
x y
1 2 2y 6x 2y 6x
(3x + 2y)2 = (3x + 2y)( + ) = + + 7 ≥ 2 + 7
x y x y x y
= 7 + 4 3 = (2 + 3)2
∴3x + 2y ≥ 2+ 3 3x + 2y，所以 的最小值为2 + 3 .
三、解答题
17 10
．（ 分）
【解析】
3x 5 3x 5 2 2x x 7
1 > 2 = > 0 ………………2
（ ）由 可得 分
1+x 1+x 1+x
变形 (x +1)(x 7) > 0 ，解得： x > 7 或 x < 1 ………………4 分
3x 5
>2
故 的解集为{x x > 7或x < 1} ………………5 分
1+x
2
（2） (2x + 3x 7) (3x2 5x +9) ………………6 分
= x2
2
+8x 16 = (x 4) ≤ 0 ………………9 分
2 2
所以2x + 3x 7 ≤ 3x 5x + 9 ………………10 分
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18 12
．（ 分）
【解析】
2
1 B = x | x 2x 8 > 0
（ ）因为 { } ={x | x > 4 x < 2} ………………2 或 ， 分
A = {x | 4 < x <1} RB = [ 2, 4] ………………3 ， ， 分
A∩ ( RB) = [ 2,1) ………………5 分
2 B∩C =C C B , ………………6
（ ）由 ，所以 分
C ………………8 当集合 是空集时，3m+ 2 ≤ 2m 1，解得m ≤ 3 分
C 当集合 不是空集，即m > 3时，
4 5
4 ≤ 2m 1 3m+ 2 ≤ 2 3 < m ≤ m ≥ . ………………10 或 ，解得 或 分
3 2
4 5
m m ≤ m ≥ . ………………12
综上，实数 的取值范围为 或 分
3 2
19 12
．（ 分）
【解析】
1 p p ………………1
（ ） 是假命题，则命题 是真命题 分
a = 0 f (x) = 3x + 2 p ………………3
当 时，函数 有一个零点，则 真， 分
≠ 9当 a 0 = 9 8a
0时， ，即a ≤ 且a ≠ 0 ，
8
9p a ≤ ………………5
综上则 是假命题时， ； 分
8
（2）命题q等价于函数 f (x) = x2 (2a +1)x + 3a 6满足，
f ( 1) =1+ 2a +1+ 3a 6 < 0且 f (2) = 4 4a 2+ 3a 6 < 0 ， ………………7 分
4
解得 4 < a < ………………8 分
5
p q
因为命题 与命题 ，一个为真命题，另一个为假命题，
p真， p假，
所以 或
q假， q真，
9 9
a ≤ a >
∴ 8 8 ………………11 或 分
4 4a ≥ 或a ≤ 4 4 < a <
5 5
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4 9
a ≤
解得 或a ≤ 4
5 8
4 9
a a ≤ ………………12
所以实数 的取值范围是 或a ≤ 4 分
5 8
20 12
．（ 分）
【解析】
1
（ ）当0 < x < 60 * ， x∈N 时，
400×1000x 1 1
L(x) = x2 20x 200 = x2 + 20x 200 ………………2
分
10000 4 4
* 400×1000x 49000x ≥ 60, x∈N L(x) = 50x +1980 200 当 时，
10000 x 2
49000
= 10x +1780 ………………4
分
x 2
1 x2 + 20x 200, 0 < x < 60, x∈N
*
4
L(x) =
∴ . ………………5 分
490001780 10x +

, x ≥ 60, x∈N
*
x 2
0 < x < 60, x∈N *
1
2 L(x) = x2 + 20x 200
（ ）当 ，
4
x = 40 L(x) L(40) = 200∴ ………………7 当 时， 取得最大值 ， 分
x ≥ 60, x∈N * 当 ，
4900= L(x) 1780 10 x 2+ + 2 ≤1780 1420 = 360 ………………9 分
x 2
4900
x 2 = x = 72 ………………10 当且仅当 ，即 时取等号， 分
x 2
L(x)
取得最大值 L(72) = 360 > 200 ，
x = 72 L(x) 360 综上所述，当 时， 取得最大值 ，
72 360 …12
即年产量为 千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为 万元． 分
21 12
．（ 分）
【解析】
x2 x +1
1
（ ）设 1< x < 0 ，则0 < x <1 ………………1 ， f ( x) = 分
1+ x2
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f (x) ( 1,1) f (x) = f ( x)
又因为 定义域为 的偶函数， ，
x2 x +1
f (x) = ………………2 所以 ， 分
1+ x2
x2 x +1
, 1< x < 0 1+ x2
f (x) = ………………3 所以 分
x2 + x +1
,0 ≤ x <1 1+ x2
∈[ ) x
2 + x +1 x
2 x 0,1
（ ）证明：当 时， f (x) = =1+ ………………4 分
1+ x2 1+ x2
0 ≤ x < x <1
1 2 任取 ，
( ) ( ) x x (
x1 x2 )(1 x x )
f x1 f x =
1 2 = 1 22 + 2 2 ………………6 则 ， 分1 x1 1+ x2 ( + 2 )( 21 x1 1+ x2 )
x x 2 21 2 < 0 1+ x > 0 1+ x > 0 0 ≤ x 1 x x > 0而 ， 1 ， 2 且 1x2 <1 ，即 1 2 ，
f ( x1 ) f (x f (x) 0,1∴ 2 ) < 0 [ ) . ………………7 ， 在 上是增函数 分
3 f (x) ( 1,1) f (x) = f ( x)
（ ）因为 定义域为 的偶函数，所以 ，
f ( 2x 1 ) = f (2x 1) ≤ f ( x 1) = f ( x 1 ) ………………8 ， 分
f (x) [0,1) .
在 上是增函数
1< 2x 1<1
2
1< x 1<1 0 < x ≤ ………………11 所以 ，解得 分
3
2x 1 ≤ x 1
f ( 2 2x 1) ≤ f (x 1) 0, . ………………12 所以不等式 的解集为 分 3
22 12
．（ 分）
【解析】
1 f (x) > 0 2 （ ） 恒成立，即mx 3x + 2 > 0 恒成立
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当m = 0时， 3x + 2 > 0 ………..1 ，不恒成立 分
m > 0 9
2
当m ≠ 0 时，mx 3x + 2 > 0 m > 恒成立等价于 ，解得
9 8m < 0 8
9
m m > . ………..3
综上， 的取值范围是 分
8
2 f (x) > 2m 2 ………..4
（ ） ，变形可得 (x 2)m 3x + 2 > 0， 分
令 h(m) = (x2 2)m 3x + 2 ，
m∈[ 1, 2] h(m) > 0 因为当 时， 恒成立，最小值只能取到h( 1)或h(2)处
h( 1) > 0 x
2 3x + 4 > 0
………..6 所以 ，即 分
h(2) > 0 2x
2 3x 2 > 0
1 1
4 < x < x 4, ………..7 解得 ，所以实数 的取值范围是 分
2 2
3 m =1 f (x) = x2 3x + 2 （ ）当 时，
x1 ∈[3, 4当 ]时， f (x )∈[2,6] ……….8 ， 分1
( ) 1t = f (x ) H t = t + 令 ，令 ，1 t
5 37∈ H t 2,6 H t , ………..9
根据对勾函数图像得 ( )在[ ]上单调递增， ( ) 分 2 6
x2 ∈[1,2] a > 0 g(x2 )∈[a, 2a] 当 ， 时，
1
x2 ∈[1,2 x ∈ 3, 4因为对任意 ]，总存在 1 [ ] f (x，使 1) + = g(x2 ) 总成立，f (x1)
37
2a ≤
g(x 2 )max ≤ f (x1)max 6 5 37≤ a ≤
则 ，即 ，解得 ，
g(x2 )min ≥ f (x1)min 5 2 12a ≥
2
5 37
a ≤ a ≤ . ………..12
所以实数 的取值范围是 分
2 12
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