2021-2022学年高中数学人教A版（2019）必修第二册第九章 统计 单元测试（word版含解析 ）

第九章统计单元测验卷
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列调查中,适宜采用抽样调查方式调查的是 (　　)
A.高考考生的体检
B.某幼儿园中有位小朋友得了手足口病,对此幼儿园中的小朋友进行检查
C.农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量
D.调查某快餐店中8位店员的生活质量情况
2.在世界无烟日,某学习小组为了了解本地区成年人吸烟人数,随机调查了100位成年人,其中有15位成年人吸烟.对于这个数据收集与处理的问题,下列说法正确的是 (　　)
A.调查的方式是普查 B.本地区只有85位成年人不吸烟
C.样本是15位吸烟的成年人 D.本地区约有15%的成年人吸烟
3.中国女排曾经十度成为世界冠军,铸就了响彻中华的女排精神,看过电影《夺冠》后,某大学掀起“学习女排精神,塑造健康体魄”的年度主题活动,一段时间后,学生的身体素质明显提高,现随机抽取800位学生进行体能测试,分数的频率分布直方图如图,数据分成六组:[40,50),[50,60),…,[90,100],则成绩落在[70,80)内的人数为 (　　)
A.12　　　B.120　　　C.24　　　D.240
4.为了普及环保知识,增强环保意识,某学校分别从两个班各抽取7位同学分成甲、乙两组参加环保知识测试,分数(十分制)如图所示,则下列描述不正确的有(　　)
A.甲、乙两组成绩的平均数相等
B.甲、乙两组成绩的中位数相等
C.甲、乙两组成绩的极差相等
D.甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差
5.2021年开始,某省将试行“3+1+2”的普通高考新模式,即除语文、数学、外语3门必选科目外,考生再从物理、历史中选1门,从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科,某中学将高一每位学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制,绘制成雷达图.甲同学的成绩(分)雷达图如图所示,则下面叙述不正确的是 (　　)
A.甲的物理成绩领先年级平均分最多
B.甲有2门科目的成绩低于年级平均分
C.甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史
D.对甲而言,物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果
6.某示范农场的鱼塘放养鱼苗8万条,根据这几年的经验知,鱼苗的成活率为95%,一段时间后准备打捞出售,第一网捞出40条,称得平均每条鱼2.5 kg,第二网捞出25条,称得平均每条鱼2.2 kg,第三网捞出35条,称得平均每条鱼2.8 kg,估计鱼塘中鱼的总质量为 (　　)
A.192 280 kg　　　B.202 280 kg C.182 280 kg　　　D.172 280 kg
7.为了解某校高三学生的视力情况,随机抽查了该校100名高三学生的视力,得到频率分布直方图如图所示.由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数分别为x1,x2,x3,x4,且满足,后6组的频数分别为y1,y2,y3,y4,y5,y6,且后6组各频数之间差值相同,设最大频率为a,视力在4.6到5.0之间的学生人数为b,则a,b的值分别为 (　　)
A.0.27,78　　　B.0.27,83　　　C.2.7,78　　　D.2.7,83
8.已知样本x1,x2,…,xn的平均数为,样本y1,y2,…,ym的平均数为,且,若样本x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym的平均数+(1-a),其中0A.nm 　　　C.n=m　　　D.不能确定
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数和方差均为2,则下列叙述正确的有 (　　)
A.x1+1,x2+1,x3+1,x4+1,x5+1的平均数为3
B.x1+1,x2+1,x3+1,x4+1,x5+1的方差为3
C.2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方差为4
D.2x1+2,2x2+2,2x3+2,2x4+2,2x5+2的方差为8
10.在全国人民的共同努力下,特别是医护人员的奋力救治下,新冠肺炎疫情得到了有效控制.如图是国家卫健委给出的全国疫情通报,甲、乙两省份从2月7日到2月13日一周的新增新冠肺炎确诊人数的折线图.
下列关于甲、乙两省新增新冠肺炎确诊人数的说法正确的是 (　　)
A.甲省的平均数比乙省的低B.甲省的方差比乙省的大
C.甲省的中位数是27 D.乙省的极差是12
11.某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2016年和2019年的高考情况,得到如图所示的柱状图:
2016年高考数据统计
2019年高考数据统计
则下列结论正确的是 (　　)
A.与2016年相比,2019年一本达线人数有所增加
B.与2016年相比,2019年二本达线人数增加了0.5
C.2016年与2019年艺体达线人数相同
D.与2016年相比,2019年不上线的人数有所增加
12.某生活超市2020年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表如下:
生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其他类
营业收 入占比 48.6% 15.8% 20.1% 10.8% 4.7%
净利 润占比 65.8% -4.3% 16.5% 20.2% 1.8%
本季度该生活超市的总营业利润率为32.5%(营业利润率是净利润占营业收入的百分比),则 (　　)
A.本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区
B.本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区
C.本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区
D.本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过50%
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.下列调查的样本不合理的是　　　　.(填序号)
①某高中在校内发出一千张印有全校各班级的选票,要求被调查的学生在其中一个班级旁画“√”,以了解最受欢迎的教师是谁;
②为了解工人们对厂长的信任情况,通过选举从全厂10 000多名工人中确定100名代表,然后投票表决;
③为了解全市老年人的健康状况,到某老年公寓进行调查;
④为了解全班同学每天的睡眠时间,在每个小组中各随机选取3名学生进行调查.
14.下表是关于某校高一年级男女生选科意向的调查数据,现要在所有参与调查的人中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取n人进行进一步调查,若在“选修物理的男生”中抽取了8人,则n的值为　　　　.
选修物理 选修历史
男生 160 40
女生 80 120
15.某班全体学生参加消防安全知识竞赛,分数的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].估计本班学生的消防安全知识分数的第90百分位数是　　　　.
16.为了调查公司员工的健康状况,用比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本,已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg,标准差为60,男员工的平均体重为70 kg,标准差为50,女员工的平均体重为50 kg,标准差为60,若样本中有20名男员工,则女员工的人数为　　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)现有某小区100户居民的月平均用电量(单位:千瓦时)的数据,以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.
(1)求图中x的值;
(2)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280)的三组用户中,用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10户居民,则月平均用电量在[240,260)内的用户中应抽取多少户
18.(本小题满分12分)两台机床同时生产直径为10的零件,为了检验产品质量,质量质检员从两台机床的产品中各随机抽取4件进行测量,结果如下:
机床甲 10 9.8 10 10.2
机床乙 10.1 10 9.9 10
根据上述数据判断哪台机床生产的零件质量更符合要求.
19.(本小题满分12分)某省教育厅为了了解和掌握2020年高考考生的数学实际答卷情况,随机地取出了100名考生的数学成绩(单位:分),将数据分成了11组,制成了如下所示的频率分布表:
分组 频数 频率
[80,85) 1 0.01
[85,90) 2 0.02
[90,95) 4 0.04
[95,100) 14 0.14
[100,105) 24 0.24
[105,110) 15 0.15
[110,115) 12 0.12
[115,120) 9 0.09
[120,125) 11 0.11
[125,130) 6 0.06
[130,135] 2 0.02
合计 100 1
(1)求样本数据的第60,80百分位数;
(2)估计2020年高考考生的数学成绩的90%分位数.
20.(本小题满分12分)某区组织部为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况,按照分层随机抽样的方法,从全区320名正科级干部和1 280名副科级干部中抽取40名预测全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况.现将这40名科级干部分为正科级干部组和副科级干部组,利用同一份试卷分别进行预测.经过预测后,两组各自将预测成绩统计分析如下表:
分组 人数 平均成绩(分) 标准差
正科级干部组 a 80 6
副科级干部组 b 70 4
(1)求a,b;
(2)求这40名科级干部预测成绩(分)的平均数和标准差s.
21.(本小题满分12分)某市2019年4月1日~4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
(1)列出频率分布表;
(2)作出频率分布直方图;
(3)根据国家标准,污染指数在0~50之间时,空气质量为优;在51~100之间时,空气质量为良;在101~150之间时,空气质量为轻度污染;在151~200之间时,空气质量为中度污染.请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价.
22.(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得到了下面的条形图.
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数(x,y∈N).
(1)若n=19,求y与x的函数关系式;
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件
答案全解全析
一、单项选择题
1.C　A中高考考生的体检要普查,B中传染病问题要普查,D中个体数较小,适宜采用普查的方式调查,C中个体数较大,适宜采用抽样调查的方式调查.
2.D　根据题意,随机调查100位成年人,属于抽样调查.这100位成年人中85人不吸烟不代表本地区只有85位成年人不吸烟.易知样本是100位成年人,所以本地区约有15%的成年人吸烟.故选D.
3.D　由于频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1,则成绩落在[70,80)内的频率为1-10×(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)=0.3,
又一共抽取800位学生进行体能测试,即样本容量为800,所以成绩落在[70,80)内的人数为800×0.3=240.故选D.
4.A　由题图知甲组7位同学的分数为4,5,6,6,7,7,8,乙组7位同学的分数为5,5,5,6,7,8,9.
因为×(4+5+6+6+7+7+8)=,×(5+5+5+6+7+8+9)=,,所以甲组成绩的平均数小于乙组成绩的平均数;
甲、乙两组成绩的中位数均为6;
甲、乙两组成绩的极差均为4;
甲组的成绩比乙组的成绩稳定,所以甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差.
故选A.
5.C　由题中雷达图可知,甲的物理成绩约领先年级平均分1.5分,化学成绩约领先年级平均分1分,生物成绩约等于年级平均分,历史成绩低于年级平均分,地理成绩约领先年级平均分1分,政治成绩低于年级平均分,故A、B、D中结论正确;六门科目中,显然历史的成绩最低,故C中结论错误.故选C.
6.A　依题意得鱼塘中的鱼的平均质量为=2.53(kg),
∴估计鱼塘中鱼的总质量为2.53×80 000×95%=192 280(kg).故选A.
7.A　由题意得4.5到4.6之间的频率为0.09,4.6到4.7之间的频率为0.27.后6组的频数差值相同,设差值为d(d<0),则后6组的频率依次为0.27,0.27+d,0.27+2d,0.27+3d,0.27+4d,0.27+5d,∴6×0.27+15d=1-0.01-0.03-0.09,∴d=-0.05.
∴b=(0.27×4+6d)×100=78,a=0.27.
8.A　由题意得,
,
=
=+(1-a),
所以=a,=1-a,又0所以0<,所以n二、多项选择题
9.AD　对于A,B,将每个数据在原基础上加1,故平均数加1,但是方差保持不变,故新数据的平均数是3,方差是2,故A正确,B错误;
对于C,将每个数据都乘2,故新数据的方差为原来的4倍,即为8,故C错误;
对于D,将每个数据都乘2再加2,故新数据的方差为原来的4倍,即为8,故D正确.故选AD.
10.ABD　对于A,甲省的平均数为×(28+28+24+27+11+9+13)=20,
乙省的平均数为×(19+26+24+29+18+17+23)=,20<,故甲省的平均数比乙省的低,故A选项正确;对于B,由题中折线图可知,甲省数据的波动范围大于乙省数据的波动范围,故甲省的方差比乙省的大,故B选项正确;对于C,由题中折线图可得甲省的数据从小到大排列为9,11,13,24,27,28,28,故甲省的中位数为24,故C选项错误;对于D,由题中折线图可得乙省的极差为29-17=12,故D选项正确.故选ABD.
11.AD　设2016年高考考生人数为x,则2019年高考考生人数为1.5x,
24%·1.5x-28%·x=8%·x>0,故选项A正确;
(40%·1.5x-32%·x)÷(32%·x)=,故选项B不正确;
8%·1.5x-8%·x=4%·x>0,故选项C不正确;
28%·1.5x-32%·x=10%·x>0,故选项D正确.
12.BC　对于A,由题表可知,本季度此生活超市营业收入最低的是其他类,故选项A错误;
对于B,因为本季度生鲜区的净利润占比65.8%>50%,所以本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区,故选项B正确;
对于C,本季度此生活超市生鲜区的营业利润率为32.5%×≈44%,熟食区的营业利润率为32.5%×≈-8.8%,乳制品区的营业利润率为32.5%×≈26.7%,日用品区的营业利润率为32.5%×≈60.8%,其他类的营业利润率为32.5%×≈12.4%,所以本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区,故选项C正确;
对于D,由上面计算可知,本季度此生活超市生鲜区的营业利润率约为44%,44%<50%,故选项D错误.故选BC.
三、填空题
13.答案　①③
解析　①在班级旁画“√”与了解最受欢迎的教师没关系,故样本不符合有效性;
②样本合理,属于合理的调查;
③老年公寓中的老年人不能代表全市老年人,故样本缺少代表性;
④在每个小组中各随机选取3名学生进行调查,属于合理的调查.
故调查的样本不合理的是①③.
14.答案　20
解析　根据题意得,解得n=20.
15.答案　93
解析　由题图得,从左到右的第一、二、三、四小组的频率分别是0.10,0.20,0.40,0.30.
第一、二、三小组的频率之和为0.10+0.20+0.40=0.70,
所以第90百分位数在第四小组[80,100]内,故第90百分位数为80+20×≈93.
16.答案　200
解析　设男员工的权重为ω,则女员工的权重为1-ω,
由题意可得ω[502+(70-60)2]+(1-ω)·[602+(50-60)2]=602,
解得ω=,则1-ω=,
因为样本中有20名男员工,所以样本中女员工的人数为200.
四、解答题
17.解析　(1)由题图得(0.002+0.009 5+0.011+x+0.007 5+0.005+0.002 5)×20=1, (3分)
解得x=0.012 5. (4分)
(2)月平均用电量在[220,240)内的用户有0.012 5×20×100=25(户),
在[240,260)内的用户有0.007 5×20×100=15(户),
在[260,280)内的用户有0.005×20×100=10(户), (7分)
抽取比例为, (8分)
则月平均用电量在[240,260)内的用户中应抽取15×=3(户). (10分)
18.解析　设机床甲的平均数、方差分别为,机床乙的平均数、方差分别为,
则=10, (2分)
=10, (4分)
×[(10-10)2+(9.8-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]=0.02, (7分)
×[(10.1-10)2+(10-10)2+(9.9-10)2+(10-10)2]=0.005, (10分)
∴,,∴机床乙的零件质量更符合要求. (12分)
19.解析　(1)从题中频率分布表得,前六组的频率之和为0.01+0.02+0.04+0.14+0.24+0.15=0.60,
前七组的频率之和为0.60+0.12=0.72,
前八组的频率之和为0.72+0.09=0.81,
前九组的频率之和为0.81+0.11=0.92, (4分)
则样本数据的第60百分位数为110, (5分)
第80百分位数一定在第八组[115,120)内,由115+5×≈119.4,估计样本数据的第80百分位数为119.4. (8分)
(2)由前八组的频率之和为0.81,前九组的频率之和为0.92,知90%分位数一定在第九组[120,125)内,由120+5×≈124.1,估计2020年高考考生的数学成绩的90%分位数为124.1. (12分)
20.解析　(1)抽取比例为, (2分)
则抽取的正科级干部人数为320×=8,
副科级干部人数为1 280×=32,所以a=8,b=32. (5分)
(2)解法一:依题意得正科级干部组预测成绩(分)的平均数=80,标准差s1=6,
副科级干部组预测成绩(分)的平均数=70,标准差s2=4,
因此这40名科级干部预测成绩(分)的平均数×70=72, (8分)
方差s2=×[+()2]+×[+()2]
=×[36+(80-72)2]+×[16+(70-72)2]=36,
则s==6.
综上,这40名科级干部预测成绩(分)的平均数为72,标准差为6. (12分)
解法二:同解法一得这40名科级干部预测成绩(分)的平均数=72. (8分)
设正科级干部组每人的预测成绩(分)分别为x1,x2,x3,…,x8,
副科级干部组每人的预测成绩(分)分别为x9,x10,x11,…,x40,
则正科级干部组预测成绩(分)的方差[()-8×802]=62,
则=8×(62+802)=51 488,
副科级干部组预测成绩(分)的方差[()-32×702]=42,
则=32×(42+702)=157 312.(10分)
这40名科级干部预测成绩(分)的方差s2=×[()+()-40×]=(51 488+157 312-40×722)=36,所以s==6.
综上,这40名科级干部预测成绩(分)的平均数为72,标准差为6. (12分)
21.解析　(1)①求极差,103-45=58;
②确定组距与组数,以10为组距,分成7组:[41,51),[51,61),[61,71),[71,81),[81,91),[91,101),[101,111];
③求出各组的频数,计算频率,列出频率分布表:
分组 频数 频率
[41,51) 2
[51,61) 1
[61,71) 4
[71,81) 6
[81,91) 10
[91,101) 5
[101,111] 2
(4分)
(2)根据频率分布表,作出频率分布直方图,如图所示.
(8分)
(3)答对下述两条中的一条即可.
①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平,占当月天数的;有26天处于良的水平,占当月天数的;处于优或良的天数为28,占当月天数的,说明该市空气质量基本良好.
②轻度污染有2天,占当月天数的;污染指数在80以上的接近轻度污染的天数为15,加上处于轻度污染的天数,共17天,占当月天数的,超过50%,说明该市空气质量有待进一步改善. (12分)
22.解析　(1)当x≤19时,y=3 800;
当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700.
所以y与x的函数关系式为
y=(x∈N). (3分)
(2)由题中条形图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19. (6分)
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为3 800元,20台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为4 300元,10台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元). (9分)
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为4 000元,10台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(4 000×90+4 500×10)=4 050(元). (11分)
比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件. (12分)