2021-2022学年高中数学人教A版（2019）必修第二册第七章 复数 单元测试（word含解析）

第七章复数单元测验卷
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.计算:i(1+i)2= (　　)
A.-2　　　B.2　　　
C.2i　　　D.-2i
2.复数 = (　　)
A.-1-i　　　B.-1+i
C.1+i　　　D.1-i
3.已知i是虚数单位,则复数(2+i)(1-i)在复平面内对应的点位于 (　　)
A.第一象限　　　B.第二象限
C.第三象限　　　D.第四象限
4.已知复数z=,则z的共轭复数的虚部为(　　)
A.　　　
C.-i
5.已知复数z=,a∈R,若复数z在复平面内对应的点位于第四象限,则实数a的取值范围是 (　　)
A.a<0　　　B.a>1
C.06.设复数z满足为纯虚数,若z在复平面内对应的点的坐标为(x,y),x,y≠0,则 (　　)
A.x-y=0　　　B.x+y=0
C.(x-y)(x+y)=0　　　D.x2+y2=1
7.若z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的 (　　)
A.充分不必要条件　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件　　　
D.既不充分也不必要条件
8.*任意复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成z=r(cos θ+isin θ)(其中r=,0≤θ<2π)的形式,该形式为复数的三角形式,其中θ称为复数的辐角的主值.若复数z=,则z的辐角的主值为 (　　)
A.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.*已知复数z=cos 140°+isin 140°,i为虚数单位,则下列说法正确的是 (　　)
A.z的虚部为isin 140°
B.z在复平面内对应的点位于第二象限
C.z=
D.z3=i
10.下列说法中正确的是 (　　)
A.在复平面内,实轴上的点都表示实数,虚轴上的点都表示虚数
B.
C.若m∈Z,则im+im+1+im+2+im+3=0
D.若复数z满足|z-i|=|z+i|,则复数z在复平面内对应的点的集合是圆
11.设z1,z2为复数,则下列结论错误的是 (　　)
A.若>0,则
B.|z1-z2|=
C.=0 z1=z2=0
D.z1-是纯虚数或零
12.若z1,z2,z3是复数,且z1≠0,则下列命题正确的是 (　　)
A.若|z2|=|z3|,则z2=±z3
B.若z1z2=z1z3,则z2=z3
C.若=z3,则|z1z2|=|z1z3|
D.若z1z2=|z1|2,则z1=z2
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.在复平面内,复数1+i与-1+3i分别对应向量,其中O为坐标原点,则||=　　　　.
14.设复数z满足|z1|=1,|z2|=2,z1+z2=-1+i,则|z1-z2|=　　　　.
15.已知i为虚数单位,若复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,则|z+1|=　　　　;z·=　　　　.
16.定义复数的一种运算z1*z2=(等式右边为普通运算),若复数z=a+bi,且正实数a,b满足a+b=3,则z*的最小值为　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知i为虚数单位,当实数x为何值时,复数z=log2(x+3)+ilog2(3-x)在复平面内对应的点:
(1)位于第二象限
(2)位于直线x+y-2=0上
18.(本小题满分12分)设实部为正数的复数z,满足|z|=,且复数(1+2i)z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.
(1)求复数z;
(2)若(m∈R)为纯虚数,求实数m的值.
19.(本小题满分12分)已知z是复数,z+2i与均为实数.
(1)求复数z;
(2)若复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
20.(本小题满分12分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2.
(1)求复数z;
(2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
21.(本小题满分12分)已知ω=-i(i为虚数单位).　　
(1)求(ω+2ω2)2+(2ω+ω2)2;
(2)求ω2+;
(3)类比in,探讨ωn的性质.
22.(本小题满分12分)已知复数 z1=2sin θ-i,z2=1+2icos θ,i为虚数单位,θ∈.
(1)若 z1·z2是实数,求cos 2θ的值;
(2)若复数 z1,z2对应的向量分别是a,b,存在 θ使等式(λa-b)·(a-λb)=0成立,求实数 λ的取值范围.
答案全解全析
一、单项选择题
1.A　i(1+i)2=i·2i=-2.
2.A　复数=-i(1-i)=-1-i.
3.D　(2+i)(1-i)=2-2i+i-i2=3-i,其在复平面内对应的点为(3,-1),位于第四象限.故选D.
4.B　复数z=
=,
则z的共轭复数的虚部为.
5.B　z==2a+(1-a)i,
因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限,
所以解得a>1.
6.C　由题意可知z=x+yi(x,y∈R,且x,y≠0),则=x-yi,
i,因为为纯虚数,所以x2-y2=0,即(x-y)(x+y)=0,故选C.
7.A　若z1=z2,则解得m=1或m=-2.
所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件.
8.D　z=
=-i,∴r==1,
∴cos θ=-,sin θ=,
又0≤θ<2π,∴θ=.
故z的辐角的主值为.
二、多项选择题
9.BCD　由虚部的概念知A错误;
由cos 140°<0,sin 140°>0知B正确;
由z·=|z|2=1知C正确;
z3=(cos 140°+isin 140°)3
=cos(140°×3)+isin(140°×3)
=cos 420°+isin 420°=i,D正确.
10.BC　对于A,在复平面内,实轴上的点都表示实数,虚轴上的点除原点外都表示虚数,A错误;对于B,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则=(a+c)-(b+d)i,=(a+c)-(b+d)i,所以,B正确;对于C,im+im+1+im+2+im+3=im(1+i+i2+i3)=im(1+i-1-i)=0,C正确;对于D,若|z-i|=|z+i|,则在复平面内,复数z对应的点到点(0,1)和(0,-1)的距离相等,所以复数z在复平面内对应的点的集合是实轴,D错误.故选BC.
11.ABC　当z1=4+i,z2=2-2i时,=15+8i,=-8i,满足>0,但都是虚数,不能比较大小,故A中结论错误;因为|z1-z2|2不一定等于(z1-z2)2,所以|z1-z2|与不一定相等,故B中结论错误;当z1=2+i,z2=1-2i时,=3+4i,=-3-4i,满足=0,但z1=z2=0不成立,故C中结论错误;设z1=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,故z1-=2bi,当b=0时,z1-=0,当b≠0时,z1-是纯虚数,故D中结论正确.
12.BC　取z2=1+i,z3=1-i,满足|z2|=|z3|,但z2≠±z3,选项A错误;
当z1z2=z1z3时,有z1z2-z1z3=z1 (z2-z3)=0,
又z1≠0,所以z2=z3,故选项B正确;
若=z3,则z2=,所以|z1z2|2-|z1z3|2=(z1z2)()-(z1z3)·()=z1z2(z2)=z1(z2z3-z3z2)=0,故选项C正确;
若z1z2=|z1|2,则z1z2=z1,
可得z1z2-z1=z1(z2-)=0,因为z1≠0,所以=z2,故选项D错误.
故选BC.
三、填空题
13.答案　2
解析　,所以对应的复数为(-1+3i)-(1+i)=-2+2i,所以|.
14.答案　
解析　由题意可设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R).
因为z1+z2=-1+i,所以即有a2+2ac+c2+b2+2bd+d2=4,又因为|z1|=1,|z2|=2,所以所以1+4+2ac+2bd=4,即2ac+2bd=-1,
则|z1-z2|=.
15.答案　;16
解析　∵复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,∴解得a=-2,∴z=-4i,∴=4i,∴|z+1|=|1-4i|=,z·=16.
16.答案　
解析　z*
=.
∵a+b=3,∴ab≤,
当且仅当a=b=时,等号成立,
∴-ab≥-,∴z*.
故z*.
四、解答题
17.解析　(1)∵z在复平面内对应的点在第二象限,
∴(log2(x+3),log2(3-x))在第二象限, (2分)
∴
解得-3∴当x∈(-3,-2)时,z在复平面内对应的点在第二象限. (5分)
(2)∵z在复平面内对应的点在直线x+y-2=0上,∴(log2(x+3),log2(3-x))在直线x+y-2=0上,
∴log2(x+3)+log2(3-x)-2=0, (7分)
∴log2[(x+3)(3-x)]=2,
∴(x+3)(3-x)=4,
∴x=±,经验证x=±满足题意.
∴当x=±时,z在复平面内对应的点在直线x+y-2=0上. (10分)
18.解析　(1)设z=a+bi(a>0,b∈R),
由题意得|z|=,① (1分)
(1+2i)z=a-2b+(b+2a)i, (3分)
因为复数(1+2i)z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上,所以a-2b=b+2a,②
由①②可得 (5分)
即z=3-i. (6分)
(2)因为i为纯虚数, (9分)
所以3+=0,且1+≠0, (10分)
所以m=-6. (12分)
19.解析　(1)设z=x+yi(x,y∈R),
则z+2i=x+(y+2)i, (1分)
. (2分)
由条件得,y+2=0且x+2y=0,
所以x=4,y=-2. (5分)
所以复数z=4-2i. (6分)
(2)(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i. (8分)
由条件得 (10分)
解得2所以实数a的取值范围是(2,6). (12分)
20.解析　(1)设z=a+bi(a,b∈R),
则z2=a2-b2+2abi. (2分)
由题意得a2+b2=2且2ab=2,
解得a=b=1或a=b=-1, (4分)
所以z=1+i或z=-1-i. (6分)
(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,
所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),
所以S△ABC=1. (9分)
当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,
所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),
所以S△ABC=1.
综上,△ABC的面积为1. (12分)
21.解析　(1)∵ω=-i,
∴ω2=-,ω3=1,ω2+ω+1=0, (3分)
∴(ω+2ω2)2+=ω2+4ω3+4ω4+4ω2+4ω3+ω4=5ω2(ω2+ω+1)+3ω3=3. (5分)
(2)ω2+=ω2+ω=-1. (7分)
(3)由(1)可知ω2=-,ω3=1,
∴ωn=(12分)
22.解析　(1)由题意得z1·z2=2sin θ+2cos θ+(4sin θcos θ-)i, (3分)
由z1·z2为实数,可得 4sin θcos θ-=0,
∴sin 2θ=, (4分)
又θ∈,∴2θ∈,
∴2θ=, (5分)
∴cos 2θ=-. (6分)
(2)由题意得a=(2sin θ,-),b=(1,2cos θ), (λa-b)·(a-λb)=λ(a2+b2)-(1+λ2)(a·b)=0. (8分)
∵a2+b2=(2sin θ)2+(-)2+1+(2cos θ)2=8,
a·b=(2sin θ,-)·(1,2cos θ) =2sin θ-2,
∴(λa-b)·(a-λb)
=8λ-4(1+λ2)sin=0,
即sin, (10分)
∵θ∈,∴θ-,
∴sin,
∴0≤,解得 λ≥2+.
故实数λ的取值范围是 [0,2-]∪[2+,+∞). (12分)