河南省顶级中学2021-2022学年高一上学期12月联考数学试题（PDF版，含答案）

河南省顶级中学 2021-2022 学年高一上学期 12 月联考
数学试卷
全卷满分 150分，考试用时 120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题
卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A x 3 x 2 ， B x x 4或 x 1 ，则 A B （ ）
A． x 4 x 3 B． x 3 x 1
C． x 1 x 2 D． x x 3或 x 1
2．不等式 x 1 x 2 0的解集是（ ）
A． 1, 2 B． ,1 2,
C． 2, 1 D． , 2 1,
x23．函数 y 2x 3 的定义域为（ ）
x 1
A． 1,3 B． 1,0 0,3 C． 1,3 D． 1,0 0,3
4．“ t 0 ”是“ t 2 ”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1
5．下列函数中，表示同一个函数的是（ ）
4
A． y = x2与 y x B． y x 3与 y (x 3)2
x y
1 x 0
C． y 与 y = x
2 2
x 1 x
D． 与
0 S a
6．已知 a ,b ,c都是实数，则下列命题中真命题是（ ）
a b a b
A．若 a b，则 B．若 ，则 a b
c c c c
C．若 a b，则 ac2 bc2； D．若 ac2 bc2，则 a b
7．函数的 y x2 6x 5值域为（ ）
A． 0, B． 0,2
C． 2, D． 2,
8．直角边之和为12的直角三角形面积的最大值等于（ ）
A．16 B．18 C． 20 D．不能确定
9 2．已知集合 A x x 6x 8 0 ，B x x a x a 1 0 ，若 x A是 x B的必要
条件，则 a的取值范围是（ ）
A． 2,3 B． 2,3
C． , 2 3, D． , 2 3,
10．已知 f (x), g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 f (x) g(x) x3 x2 x，
则 f (1) g (1) （ ）
A．1 B．3 C． 3 D． 1
11．一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货
员先将5g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将
5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤
2
得的黄金交给顾客，你认为准确的说法是（ ）
A．顾客所得黄金大于10g，商店亏了 B．顾客所得黄金大于10g，顾客亏了
C．顾客所得黄金小于10g，商店亏了 D．顾客所得黄金小于10g，顾客亏了
12．定义在 0, 上的函数 f x 满足：对 x1、 x2 0, ，且 x1 x2 ，都有
x2 f x1 x1 f x2 0成立，且 f 2 4，则不等式 f x 2x的解集为（ ）
x1 x2
A． 4, B． 0, 4 C． 0, 2 D． 2,
四、解答题(本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)设全集 U＝R，集合 A＝{x|2≤x<8}，B＝{x|(x＋1)(x－6)<0}。
(1)求 A∪B，A∩B；
(2)若 C＝{x|x≤a}，且 C CUA，求实数 a的取值范围。
3
18. (12分)已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x＋3。
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)设 h(x)＝f(x)－2tx，当 x∈[1，＋∞)时，求函数 h(x)的最小值 g t 的表达式。
19.(12分)已知 ax2＋2ax＋1≥0对任意 x R恒成立。
(1)求 a的取值范围：
(2)解关于 x的不等式 x2－x－a2＋a<0。
x
20.(12 分)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数 y＝f(x)满足 f ( ) f (x) f (y) ，且函
y
数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数。
(1)求 f(－1)的值；
(2)判断函数 y＝f(x)的奇偶性并证明；
(3)若 f(4)＝2，解不等式 f(x－5)－f(2)≤1。
21.(12分)某商场将进价为 2000元的冰箱以 2400元售出，平均每天能售出 8台，为了配
合国家“家电下乡“政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的
售价每降低 50元，平均每天就能多售出 4台。
(1)假设每台冰箱降价 x元，商场每天销售这种冰箱的利润是 y元，请写出 y与 x之间的
函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)
(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800元，同时又要使消费者得到实惠，每台冰
4
箱应降价多少元？
(3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
1
22.(12分)已知函数 f(x)＝x＋ ，g(x)＝ax＋5－2a(a>0)。
x 1
(1)判断函数 f(x)在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；
(2)若对任意 m∈[0，1]，总存在 m0∈[0，1]，使得 g(m0)＝f(m)成立，求实数 a的取值范
围。
数学答案
5
17.解：（1）因为B x x 1 x 6 0 x | 1 x 6 ，
所以 A B x | 1 x 8 ，-----------3 分
A B x | 2 x 6 ；------------5 分
（2）由已知CU A x | x 2或 x 8 ，
又C CU A，且C x x a ，
a 2 -----------------10分
18解：（1）设 f (x) ax2 bx c(a 0)，∵ f (0) 2, f (x 1) f (x) 2x 3，
c 2
∴ ，------2 分
a x 1
2
b x 1 c ax
2 bx c 2x 3
c 2
c 2
即 ，所以 2a 2 ，--------------4 分
2ax a b 2x 3
a b 3
c 2

解得 a 1，∴ f (x) x2 2x 2 . ----------5 分

b 2
（2）由题意得h(x) x2 2(1 t)x 2，对称轴为直线 x t 1，
①当 t 1 1即 t 2时，函数在[1, )单调递增 h x h(1) 5 2tmin ；----8分
②当 t 1 1即 t 2时，函数在[1, t 1]单调递减，在[t 1, )单调递增，
h x h(t 1) t2 2t 1min ， --------11分
5 2t, (t 2)
综上： h x min 2 -----------------12分 t 2t 1, (t 2)
19[解] (1)因为 ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
①当 a＝0时，1≥0恒成立； ------------2 分
6
a>0，
②当 a≠0时，则 Δ＝4a2－4a≤0，
解得 0综上，a的取值范围为 0≤a≤1. -----------5 分
(2)由 x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0.
因为 0≤a≤1，
1
所以①当 1－a>a，即 0≤a< 时，a2
x 1－ 2
②当 1－a＝a 1，即 a＝ 时， 2 <0，不等式无解；-----9 分
2
③当 1－a2
0≤a<1综上所述，当 时，原不等式的解集为{x|a＜x＜1－a}；
2
a 1当 ＝ 时，原不等式的解集为 ；
2
1
当 2
(没做综上不扣分)
20解
(1)令 x＝y≠0，则 f(1)＝f(x)－f(x)＝0.---------------2 分
再令 x＝1，y＝－1可得 f(－1)＝f(1)－f(－1)
＝－f(－1)，∴f(－1)＝0. -----------4 分
(2)证明：令 y＝－1可得 f(－x)＝f(x)－f(－1)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数． ----------------8 分
(3)∵f(2)＝f(4)－f(2) f(2) 1，∴ ＝ f(4)＝1.
2
解得－1≤x＜5或 5＜x≤9 -----------11 分
所以不等式的解集为{x|－1≤x＜5或 5＜x≤9．--------12分
8＋4× x
21[解] (1)根据题意，得 y＝(2400－2000－x) 50 ，
7
即 y 2＝－ x2＋24x＋3 200. -----------4 分
25
(2) 2由题意，得－ x2＋24x＋3 200＝4 800，
25
整理得 x2－300x＋20 000＝0，
解得 x＝100或 x＝200，
又因为要使消费者得到实惠，所以应取 x＝200，
所以每台冰箱应降价 200元． ------------8 分
(3)y 2＝－ x2＋24x＋3 200 2＝－ (x－150)2＋5 000，
25 25
由函数图像可知，当 x＝150时，ymax＝5 000，
所以每台冰箱降价 150 元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润是 5 000
元． ------------12分
22.[解] (1)函数 f(x)在[0，1]上单调递增，
证明如下：设 0≤x1＜x2≤1，
则 f(x1)－f(x2)
＝x 1 11＋ －x2－
x1＋1 x2＋1
－
＝(x1－x2)
x2 x1
＋
（x1＋1）（x2＋1）
（x1－x2）（x1x2＋x1＋x2）
＝ . -------------------3 分
（x1＋1）（x2＋1）
因为 x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，x1x2＋x1＋x2＞0，
所以 f(x1)－f(x2)＜0，
即 f(x1)＜f(x2)，
所以函数 f(x)在[0，1]上单调递增．------------------------------5 分
1 3，
(2)由(1)知，当 m∈[0，1]时，f(m)∈ 2 . ----7分
因为 a＞0，g(x)＝ax＋5－2a在[0，1]上单调递增，
所以 m0∈[0，1]时，g(m0)∈[5－2a，5－a]. ----------9 分
1 3，
依题意，只需 2 [5－2a，5－a]
8
5－2a≤1，
7
所以 5－a≥3， 解得 2≤a≤ ，
2 2
2 7，
即实数 a的取值范围为 2 . -------------------12分
9