2.3 用提公因式法进行因式分解
一、教与学目标：
1．了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系，培养学生逆向思维的能力
2．理解公因式的概念，会用提公因式法分解因式．
二、教与学重点难点：
理解公因式的概念，会用提公因式法分解因式。．
三、教与学方法：
自主探究、合作交流。
四、教与学过程：
（一）情境导入：
请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快。
（1）20×（-3）2+60×（-3）
（2）1012-992
（3）572+2×57×43+432
（学生在运算与交流中积累解题经验，复习乘法公式）
设置这一情景，与多项式乘法紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的探究意识，为本节课的学习做好了铺垫。
（二）探究新知：
1.问题导读：
小学里，我们学习了因数分解，即把一个数写成几个质因数相乘的形式，现在我们学习了多项式，是否也可以把一个多项式分解为几个整式乘积的形式呢？
（阅读教材第41——42页内容，思考并总结本节课学习的主要内容，写在下面的横线上：（要写的详细些））
1、什么叫因式分解？写出定义并举例说明。
2、判断下列各式是因式分解的是（ ）
A、a(x+y)=ax+ay
B、x2_4x+4=x(x-4)+4
C、10x2-5x=5x(2x-1)
D、x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x
3、整式乘法与因式分解有什么区别和联系？
个性化设计：
2.合作交流：阅读课本41页例题1，2完成下列问题，理解什么叫提公因式法，会找公因式。
写出什么叫提公因式法？它的根据是什么？
找出下列各式的公因式。(课本42页A组第一题,将答案写在下面)
(1) (2) (3) (4) .
温馨提示：多项式各项系数都是整数时，公因数的系数是各项系数的最大公约数，公因式的字母取各项中相同的字母，相同字母的指数取最低次数。
3.精讲点拨：
教师精讲点拨因式分解的定义。
像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．
可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维．
再观察上面的第（1）题和第（3）题，你能发现什么特点．
[生]我发现（1）中各项都有一个公共的因式x，（2）中各项都有一个公共因式m，是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢？
[师]你分析得合情合理．
因为ma+mb+mc=m（a+b+c）．
于是就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法．
四、应用检测：
1、把8a3b2-12ab3c分解因式．
2、把2a（b+c）-3（b+c）分解因式．
3、把3x3-6xy+x分解因式．
4、把-4a3+16a2-18a分解因式．
5、把6（x-2）+x（2-x）分解因式．
（让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成，然后与同伴交流解题心得，教师深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结）
1、解：8a3b2+12ab2c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2（2a2+3bc）．
总结：提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行．可以概括为一句话：括号里面分到“底”，这里的底是不能再分解为止．
2、 解：2a（b+c）-3（b+c）=（b+c）（2a-3）．
总结：公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出．
3、解：3x2-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1=x（3x-6y+1）．
总结：1作为项的系数，通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，可以概括为：某项提出莫漏1．
4、解：-4a3+16a2-18a
=-（4a3-16a2+18a）
=-2a（2a2-8a+9）
注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．可以用一句话概括：首项有负常提负．
5、 解：6（x-2）+x（2-x）
=6（x-2）-x（x-2）
=（x-2）（6-x）．
总结：有时多项式的各项从表面上看没有公因式，但将其中一些项变形后，但可以发现公因式，然后再提取公因式．
（三）学以致用：
1、巩固新知：
下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）。
A、a (x + y) =a x + a y B、x2－4x+4=x(x－4)+4
C、10x2－5x=5x(2x－1) D、x2－16+3x=(x－4)(x+4)+3x
．
2、能力提升：
若x2－kx＋ab ＝（x＋a)(x＋b，则k的值为( )
A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a
（四）达标测评：
1、多项式a2x2+ay—a3xy2的公因式是（ ）
A、a2 B、a C、ax D、ay
2、把下列各式进行因式分解
（1）75x3y5—5x2y4 （2）5a（a—2b）2—20b（a—2b）2
（3）10x2y+5xy2—15xy （4）8abc+4bc2
（5）x（x—y）+y（y—x） （6）3.14×7.9+3.14×81.2+3.14×10.9
（五） 拓展提高：
3200-43199+103198是7的倍数吗？为什么？
六）课堂小结：
今天我们学习了提公因式法分解因式．同学们在理解的基础上，可以用
四句顺口溜来总结记忆用提公因式法分解因式的技巧．
各项有“公”先提“公”，
首项有负常提负．
某项提出莫漏1．
括号里面分到“底”．引导学生归纳。
七、布置作业：
1、课本42页练习。
2、课本42页习题A组1、2、3题。（3题选作）2.2 完全平方公式
（第1课时）
一、教与学目标：
1．会推导完全平方公式：，了解公式的几何解释，并能运用公式计算；
2．经历探索完全平方公式的推导过程，发展符号感，体会“特殊----一般----特殊”的认识规律。
二、教与学重点难点：
掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算．多项式的乘法法则及其应用．
三、教与学方法：
自主探究、合作交流。
四、教与学过程：
（一）情境导入：
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米。形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
1．直接求：
2．间接求：
３.合作交流：（小组讨论交流通过简拼图的不同方法。看那个小组的方法多！）
设置这一情景，与学生的生活实际紧密相连，一是有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的探究意识；二是为本节课的学习做好铺垫。
（二）探究新知：
从学生原有的认知结构提出问题
1.计算下列各式，你能发现什么规律？
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)= ；
(2)(m+2)2= ；
2.尝试归纳： ；
3.完全平方公式用语言叙述是：
个性化设计
４.精讲点拨：
（1）请同学们总结完全平方公式的结构特征。
公式的左边是
公式的右边是
（2）我们还要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是 、 或 ，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式。（数字、字母或其他代数式）
例1.利用完全平方式计算
1. 2， 2. （-2m+5n）2
要利用完全平方公式计算，则要创设符合公式特征的两数的平方，且计算尽可能简便.学生在练习本上演示此题.让学生叙述，教师板书.
(3)试一试：试计算：（5n-2m）2
让学生看出哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b,然后根据公式展开得到一个三项式，再将三项式整理得到结果。
（三）学以致用：
1.判断下列各式是否正确，如果错误并加以改正：
(1) (2a 1)2＝2a2 2a+1;
（2) (2a+1)2＝4a2 +1；
(3) (a 1)2＝a2 2a 1.
2．下列式子符合完全平方公式形式的是（ ）
A、a2+ab+b2 B、a2+2a+2 C、a2-2b+b2 D、a2+2a+1
3、应用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2 （2）（y-）2
（3）（-a-b）2 （4）（b-a）2
（四）达标测评：
1.下列计算正确的是（ ）
A．（m-1）2=m2-1 B．（x+1）（x+1）=x2+x+1
C．（x-y）2=x2-xy-y2 D．（x+y）（x-y）（x2-y2）=x4-y4
2.如果x2+mx+4是一个完全平方公式，那么m的值是（ ）
A．4 B．-4 C．±4 D．±8
3.将正方形的边长由acm增加6cm，则正方形的面积增加了（ ）
A．36cm2 B．12acm2 C．（36+12a）cm2 D．以上都不对
个性化设计
4．用公式计算
（1）（x －y）2
（2）（x2－2y2）2－（x2+2y2）2
5．运用完全平方公式计算：
（1）1022 （2）992
五、课堂小结：
通过本节课的学习,你有哪些收获？还有哪些疑惑？
六、作业布置：
1、P38 --1、2、3、
2、反思：补充完善自己的数学成长记录，感受自己的点滴进步
七、教学反思：
个性化设计
a
a
b
b2.2 完全平方公式
（第2课时）
一、教与学目标：
1．熟记平方差公式和完全平方公式。掌握多项式的乘法法则；
2．综合应用平方差公式和完全平方公式进行多项式的运算。会进行多项式的乘法运算；
二、教与学重点难点：
乘法公式的综合应用
三、教与学方法：
自主探究、合作交流。
四、教与学过程：
（一）情境导入：
复习平方差公式和完全平方公式。
写出平方差公式的字母表示及语言叙述：
2．写出完全平方公式的字母表示及语言叙述：
3．进行下列简单计算。
（1）（a+2b）（a-2b）
（2）（a+2b）2
（3）（a-2b）2
（二）探究新知：
1．典例探讨
例3.计算（x-2y）(x+2y)-(x+2y) 2+8y 2
学生讨论研究
精讲点拨：
这是运用平方差公式和完全平方公式进行化简计算的题
目，其中（x-2y）(x+2y)运用了平方差公式计算，(x+2y) 2 运用完全平方公式计算。在学方差公式和完全平方公式后，整式的乘法就简化了。
教师板书：（x-2y）(x+2y)-(x+2y) 2+8y 2
=（x 2-4y 2）-(x 2+4xy+4y 2) +8y 2
个性化设计
=x 2-4y 2-x 2-4xy-4y 2 +8y 2
=-4xy
例4．计算:(a+2b+3c) (a+2b-3c)
学生自主探究，师生共同得出结论: 这是一道连续运用乘法公式进行计算的题目，第一步先利用平方差公式算出两式的乘积，再用完全平方公式将积中的二项式的平方展开。在进行第一步时，应引导学生观察题目中两个因式的结构特点：两式都是三项式，并且前两项完全相同，第三项只有符号不同，如果把(a+2b）看做一个整体，就可以运用平方差公式进行运算了。完全平方公式中的a、b可以是任意的代数式.
解： (a+2b+3c) (a+2b-3c)
=【(a+2b）+3c】【(a+2b）-3c】
=(a+2b)2–(3c)2
=a2+4ab+4b2-9c2
精讲点拨：
（1）平方差公式的结构特点：左边是两个二项式的积，两个二项式中，一项相同，另一项互为相反数；右边是两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方。
（2）完全平方公式的结构特点：左边是两数和或差的平方，右边是两个数的平方和加上（或减去）这两数乘积的2倍。
（3）运用公式计算时，先将要计算的代数式写成公式的原始形式，然后再一步步计算.
（4）解题时，要认真分析题目的结构特点，合理安排运算顺序，灵活运用公式，可使解题时快速、简洁。
（三）学以致用：
1．下列等式是否成立 说明理由．
(1) (4a+1)2=(1 4a)2；
(2) (4a 1)2=(4a+1)2；
个性化设计
(3) (4a 1)(1 4a)＝(4a 1)(4a 1)＝(4a 1)2；
(4) (4a 1)(1 4a)＝(4a 1)(4a+1).
2．计算：
(1) (x-2y-1)(x-2y+1)
(2) (a+b+c)(a-b-c)
(3) （a+b+c）2
(4) （a-b-c）2
（四）达标测评：
1．指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2a 1)2＝2a2 2a+1;
(2) (2a+1)2＝4a2 +1；
(3) (a 1)2＝a2 2a 1.
（4）若x2-y2=12,x+y=6,求x,y的值。
2．计算
（1）（3x-2y）2+(3x+2y)2
（2）4(x-1) (x+1)-(2x+3)2
（3）（2a+1）2+(1-2a)2
（4）3(2-y)2-4(y+5)2
3．已知（a+b）2=1，（a-b）2=25，求a2+b2+ab的值.
4．先化简，再求值；
（1）(x+y)2-4xy,其中x=12 ,y=9
（2）已知（x+y）2=4 ，(x-y)2=10 ,求x2+y2 和 xy
五、课堂小结：
通过本节课的学习,你有哪些收获？还有哪些疑惑？
六、作业布置：
1、P40—A、B
2、反思：补充完善自己的数学成长记录，感受自己的点滴进步
七、教学反思：
个性化设计2.1 平方差公式
一、教与学目标：
1．记住平方差公式并会进行运用。
2．能用几何拼图的方式验证平方差公式。
二、教与学重点难点：
重点：平方差公式，平方差公式的几何拼图验证及其应用。
难点：平方差公式的几何拼图验证及其应用．
三、教与学方法：
创设情境—自主探究—合作交流—拓展提高．
四、教与学过程：
（一）情境导入：
时代中学计划将一个边长为m米的正方形花坛改造成长为(m+1)米，宽为(m-1)米的长方形花坛，你会计算改造后的花坛面积吗？
(m+1)(m-1)=m2-m+m-1=m2-1
你能说出上面乘式中两个因式以及它们乘积的特征吗？
积：多项式的积有4项，合并同类项后成为两项；
结构：式子左边是m与1的和及m与1的差的乘积，等式右边是这两个数的平方差
（二）探究新知：
1.由多项式的乘法则可以得到：
(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2
从而有下面的平方差公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2
也就是说，两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差
2.合作交流：
（1）仔细分析教材34页图2—1、图2-2，你能利用这两个图形说明平方差公式吗？
（2）你能用平方差公式计算（5+x）（5-x）吗？
3.精讲点拨：
平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的结构特征：
(1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘，
且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数(式)];
(2) 公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方,减去第二项的平方.
个性化设计：
(3) 公式中的 a和b 可以代表数，也可以是代数式．
例1利用平方差公式计算：（1）（3x+2y）（3x-2y）
（2）（-7+2m2）（-7-2m2）
解：（1）（3x+2y）（3x-2y）
=(3x)2-(2y)2 (找准公式中的a和b)
=9x2-4y2
（2）（-7+2m2）（-7-2m2）
=(-7)2-(2m2)2(找准公式中的a和b)
=49-4m4
例2利用平方差公式计算：803×797
解：803×797=（800+3）（800-3）（化成平方差公式的形式）
=8002-32
=640000-9
=639991
（三）学以致用：
1、巩固新知：
(1) 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）
A.（x+1）（1+x）； B.（2x-5）(2x+5)
C.（－a+b）（a－b）； D.（x2－y）（x+y2）；
(2) （3x+4）(3x-4)＝__________．
2、能力提升：
(3) (3a+2b)(2b-3a)＝__________．
(4) 51×49=__________．
(5) (a+1)(4a-1)-(2a+1)(2a-1)
（四）达标测评：
下面各式的计算对不对，如果不对，应当怎样改正？
（1） （x＋2）(x-2)=x2-2 ( )
（2） (-3a-2)(3a-2)=9a2-4 ( )
2. 运用平方差公式进行计算：
（1）（a+3b）(a-3b)
(2) (3+2a)(-3+2a)
(3) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
(4) 58×62
(5) (m+3)(m-3)(m2+9)
3．运用平方差公式计算：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
个性化设计：
五、课堂小结：
通过本节课的学习,你有哪些收获？还有哪些疑惑？
平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2
六、作业布置：
1、课本35页练习1题。
2、课本36页习题A组。
3、课本36页习题B组。（选作）
4、反思：补充完善自己的数学成长记录，感受自己的点滴进步
七、教学反思：
个性化设计：2.4用公式法进行因式分解（一）
一、教与学目标：
1．能说出完全平方公式的特点。
2．能较熟练地应用完全平方公式公式分解因式。
二、教与学重点难点：
重点：应用完全平方公式公式分解因式。
难点：灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．
三、教与学方法：
自主探究、合作交流。
四、教与学过程：
（一）情境导入：
从学生原有的认知结构提出问题
根据上一节课的学习，回答下列问题：
1、叙述上一节分解因式方法：__________________________________；
2、完全平方公式：_________________。
问题思考：你能对对下列两题进行因式分解吗？
（1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2
（二）探究新知：
1.问题引导：以上两个多项式不就是完全平方公式的结果吗！如果我把完全平方公式反过来写，也就是写出它的逆运算，会是什么呢？
2.合作交流：
a2+2ab+b2=（a+b）2
a2-2ab+b2=（a-b）2
总结：以上乘法公式的逆向应用，也是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，也可以直接写出因式分解的结果，今天我们来学习利用完全公平方公式进行分解因式。
3.精讲点拨：
例1、把下列各式进行因式分解
（1）a2-4a+4 （2）a2+a+0.25 （3）4a2+2ab+b2
特点：左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方。从而达到因式分解的目的。
解：
（1）a2-4a+4=a2-2×2·a+22=（a-2）2
（2）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2
（3）4a2+2ab+b2=（2a）2+2×2a·b+（b）2=（2a+b）2
个性化设计：
例3、把下列各式进行因式分解
⑴ 3ax2-6axy+3ay2 ⑵50n-20n(x-y)+2n(x-y)2
特点：以上两题中每题的各项均有公因式，应先提取公因式，再利用公式法分解因式。
解：（1）3ax2-6axy+3ay2 =3a(x2-2xy+ y2)=3a(x-y)2
（2）50n-20n(x-y)+2n(x-y)2
=2n［25-10(x-y)+ (x-y)2］
=2n［52-2×5(x-y)+ (x-y)2］
=2n［5- (x-y)］2=2n(5-x+y)2
（三）学以致用：
1、巩固新知：分解因式
(1)8x+16+x2＝__________．
(2) m2-4mn+4n2＝__________．
2、能力提升：
(3) (x+y)2+6(x+y)+9 ＝__________．
(4) x2-2xy+y2-4因式分解的正确结果是( )
A．x(x-2y)+(y+2)(y-2) B．(x+2)(x-2)-y(2x-y)
C．(x-y-2)2 D．(x-y+2) (x-y-2)
(5) 如果a-b=1/2,ab=1/8,求-2a2b2+ab3+a3b的值。
（四）达标测评：
1、如果x2-mx+16=(x-4)2,那么m=______
2、把下列各式进行因式分解
（1）6a-a2-9 （2）-8ab-16a2-b2；
（3）2a2-a3-a (4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2
（5）16x2+24x+9 （6）-x2+4xy-4y2
五、课堂小结：
通过本节课的学习,你有哪些收获？还有哪些疑惑？
个性化设计：
引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后出示投影片，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解.
六、作业布置：
1、能力训练相关习题
2、反思：补充完善自己的数学成长记录，感受自己的点滴进步
七、教学反思：
个性化设计:
