不等式和绝对值不等式

(共47张PPT)
第一讲 不等式和绝对值不等式
1、不等式
1、不等式的基本性质：
①、对称性： 传递性：_________
②、 ，a+c＞b+c
③、a＞b， ， 那么ac＞bc；
a＞b， ，那么ac＜bc
④、a＞b＞0， 那么，ac＞bd
⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件 ）
⑥、 a＞b＞0 那么 （条件 ）
练习：1、判断下列各命题的真假，并说明理由：
（1）如果a>b，那么ac>bc；
（2）如果a>b，那么ac2>bc2；
（3）如果a>b，那么an>bn(n∈N+)；
（4）如果a>b, cb-d。
2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。
（假命题）
（假命题）
（真命题）
（假命题）
解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)
=x2+3x+2-(x2+3x-18)
=20>0，
所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)
例2、 已知a>b>0，c>d>0，求证：
例1、求证：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd。
证明：因为a>b>0, c>d>0，
由不等式的基本性质（3）可得ac>bc, bc>bd，
再由不等式的传递性可得ac>bc>bd。
练习： 如果a>b,c>d，是否一定能得出ac>bd？并说明理由 。
例3、若a、b、x、y∈R，则 是
成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
C
例5、已知f(x)=ax2+c，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。
例4、对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：
（1）若c>a>b>0，则
（2）若a>b, ，则a>0，b<0。
（真命题）
（真命题）
f(3)的取值范围是[-1, 20]
例6、已知a>0，a2-2ab+c2 =0，bc>a2，试比较a、b、c的大小。
解：因为bc>a2>0，所以b、c同号；又a2+c2=2ab>0，且
a>0，所以b= 且c>0。
因为(a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c )≥0，所以b-c≥0.
当b-c>0，即b>c时，b= 得
所以a2c+c3 >2a3即a3-c3+a3-a2c<0，(a-c)(2a2+ac+c2)<0
因为a>0,b>0,c>0，所以2a2+ac+c2>0，故a-c<0,即a从而aa2，
所以b2>a2，即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a=b，
与前面矛盾，故b≠c.所以a小结：理解并掌握不等式的六个基本性质
作业：课本P10第3题。求证：
（1）如果a>b, ab>0，那么
（2）如果a>b>0，c选做题：设a≥b,c≥d，
求证：ac+bd≥ (a+b)(c+d)
2、基本不等式
定理1 如果a, b∈R, 那么
a2+b2≥2ab.
当且仅当a=b时等号成立。
探究： 你能从几何的角度解释定理1吗？
分析：a2与b2的几何意义是正方形面积，ab的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。
a
a
b
b
b
A
H
I
D
K
G
B
J
C
F
E
如图把实数a，
b作为线段长度，
以a≥b为例，在
正方形ABCD中，
AB=a；在正方形
CEFG中，EF=b.
则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.
S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。 即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形，此时有 a2+b2=2ab。
定理2（基本不等式） 如果a，b>0，那么
当且仅当a=b时，等号成立。
证明：因为 =a+b-2 ≥0，
所以a+b≥ ，
上式当且仅当 ，即a=b时，等号成立。
称为a,b的算术平均
称为a，b的几何平均
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上的中线和高，设AD=a，DB=b，则由图形可得到基本不等式的几何解释。
C
A
B
D
O
例3 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。
结论：已知x, y都是正数。（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2 ；（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值
A
B
E
N
M
F
D
C
Q
P
H
G
例4 某居民小区要建一座八边
形的休闲场所，它的主体造型
平面图（右图）是由两个相同的
矩形ABCD和EFGH构成的面积
为200平方米的十字型地域，计
划在正方形MNPQ上建一座花坛，
造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角（图中四个直角三角形）上铺上草坪，造价为每平方米80元。
（1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式。
（2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值。
课堂练习：课本P10第5题、第6题、第9题
5、设a, b∈R+,且a≠b，求证： (1) (2)
6、设a,b,c是不全相等的正数，求证：
（1）(a+b)(b+c)(c+a)>8abc；
（2）a+b+c>
9、已知x、y∈R,求证：
小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一定要满足“一正二定三相等”的条件。
作业：课本P10第7、8、10题，第11题为选做题。
3、三个正数的算术-几何平均不等式
练习：θ是锐角，求y=sinθcos2θ的最大值。
13、在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长，怎样的矩形面积最大？
14、已知球的半径为R，球内球圆柱的底面半径为r，高为h，则r与 h为何值时，内接圆柱的体积最大？
二、绝对值不等式
1、绝对值三角不等式
实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：
O
a
A
x
|a|
x
A
B
a
b
|a-b|
任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。
联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：
分ab>0和ab<0两种情形讨论：
（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|
O
x
a
b
a+b
O
x
a
b
a+b
（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|
O
b
a
x
a+b
如果a<0, b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|
a+b
a
b
x
O
（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：
|a+b|=|a|+|b|
定理1 如果a, b是实数，则
|a+b|≤|a|+|b|
当且仅当ab≥0时，等号成立。
探究 如果把定理1中的实数a, b分别换成向量a, b, 能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？
O
x
y
探究 当向量
a, b共线时，有怎样的结论？
这个不等式称为绝对值三角不等式。
定理1的代数证明：
探究 你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与|a-b|等之间的关系。
|a|-|b|≤|a+b|,
|a|+|b|≥|a-b|,
|a|-|b|≤|a-b|.
如果a, b是实数，那么
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
例1 已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求证：
|2x+3y-2a-3b|<5ε.
证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|
=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|
=2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε.
所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε.
定理2 如果a, b, c是实数，那么
|a-c|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
证明：根据绝对值三角不等式有
|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
B
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？
分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有
S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。
练习：课本P20第1、2题
.求证：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a|
(2)|a+b|-|a-b|≤2|b|
2.用几种方法证明
D
D
C
小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理：
|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立）
|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,
(a-b)(b-c)≥0时等号成立）
能应用定理解决一些证明和求最值问题。
作业：课本P20第3、4、5题
2、绝对值不等式的解法
复习：如果a>0，则
|x||x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)
O
a
-a
x
O
-a
a
x
|x||x|>a
（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。
②分段讨论法：
例3 解不等式|3x-1|≤2
例4 解不等式|2-3x|≥7
补充例题：解不等式
|ax+b|c(c>0)型不等式比较：
类型 化去绝对值后 集合上解的意义区别
|ax+b|-c-c} ∩ {x|ax+b|ax+b|>c
ax+b<-c或ax+b>c {x|ax+b<-c}∪
{x|ax+b>c}, 并
课堂练习：P20第6题
x
1
2
-2
-3
A
B
A1
B1
y
x
O
-3
2
-2
①利用绝对值不等式的几何意义
②零点分区间法
③构造函数法
作业：P20第7题、第8题(1)(3)
练习：P20第8题(2)
补充练习：解不等式：
（1）1<|2x+1|≤3.
（2）||x-1|-4|<2.
（3）|3x-1|>x+3.
答案：（1）{x|0（2）{x|-5（3）
作业
8.解不等式: