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27.2.2相似三角形的性质教案
课题 27.2.2相似三角形的性质 单元 第27单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 掌握相似三角形对应高线、中线和角平分线的比与相似比之间的关系。理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质。能够运用相似三角形的性质解决相关问题。
重点 1.相似三角形的性质。2.运用相似三角形的性质解决相关问题。
难点 运用相似三角形的性质解决相关问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题判定两三角形相似的方法1.定义法: 对应角相等，对应边的比相等 的两个三角形相似.2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 相似 .3. 三边 对应成比例的两个三角形相似.4. 两边 对应成比例且 夹角 相等的两个三角形相似. 5. 两角 分别相等的两个三角形相似.教师：三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素 （高线、中线、角平分线、周长、面积）问：如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？【活动探究】如图，小方格的边长都是1.△ABC∽△A′B′C′，相似比为，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？AD、A′D′分别为BC和B′C′上的高线∴AD=2， A′D′=4，∴=.AE、A′E′分别为BC和′B′C′上的中线∴AE=， A′E′=2，∴=.AF、A′F′分别为∠BAC和∠B′A′C′的平分线∴AF=， A′F′=，∴= .探究结果：①相似三角形的对应高线之比等于相似比；②相似三角形的对应中线之比等于相似比；②相似三角形的对应角平分线之比等于相似比。思考：是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？1.如图，△DEF∽△ABC，相似比为k ，AO、DP为BC、EF上的高．求证：k.证明：∵△DEF∽△ABC，∴∠E= ∠B．又∵∠DPE =∠AOB =90°,∴△DEP∽△ABO.∴==k.2.如图，△ABC ∽△DEF，相似比为k ，AM、DN分别为BC、EF上的中线．求证：k.证明：∵△A′B′C′∽△ABC，∴∠B= ∠E，==kAM、DN为BC、EF上的中线∴BC=2BM，EF=2EN∴=△ABM∽△DEN.∴==k3.已知△ABC∽△DEF，相似比为k ，AM、DN分别为角平分线.求证： 证明：∵△ABC∽△DEF.∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.又∵AM、DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线∴∠BAM=BAC ， ∠EDN=EDF ，∴∠BAM=∠EDN. ∴△AMB∽△DNE.∴=k.教师和学生公共总结归纳：相似三角形的性质（1）相似三角形对应高的比等于相似比.相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比.【活动探究】1.相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么=k，∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，CA=kC′A′∴2.相似三角形面积的比与相似比又有什么关系呢？由前面的结论，得=k .教师讲授内容：相似三角形的性质（2）相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方． 思考自议回答问题，回顾知识。 教师出示问题师生一起回顾上节课学习的关于图形的相似多边形相关知识。从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情。
讲授新课 提炼概念三、典例精讲 【例】如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为12，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.解：在 △ABC 和 △DEF 中，∵ AB=2DE，AC=2DF，∴，又 ∵∠D=∠A，∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 .∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为12，∴△DEF 的边 EF 上的高为， 面积为： . 师出示例题，学生先独立思考，自己检测自己对知识点的掌握程度。 通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点。
课堂检测 四、巩固训练1．已知两个相似三角形的相似比是1∶2，则下列判断中，错误的是 ( )A．对应边的比是1∶2B．对应角的比是1∶2C．对应中线的比是1∶2D．对应角平分线的比是1∶2答案：B2.如图所示，△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是 ( ) A.＝ B.＝C.＝ D.＝答案B3.如果两个相似三角形面积之比为1∶9，那么它们对应边的比为________，对应角平分线的比为_______，周长之比为________.【解析】 相似三角形对应边的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．1∶3，1∶3，1∶34. 如图所示，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB，＝，S△ABC＝S，求S BFED.解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，又∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB.由＝，得＝.∵＝，∴＝.∴＝()2＝，即S△ADE＝S.＝()2＝，即S△CEF＝S.∴S BFED＝S－S－S＝S.5. 如图所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，AD与PN交于点E，这个正方形零件的边长是多少？解： 设正方形的边长为x mm，∵PN∥BC.∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C.∴＝，解得x＝48.答：加工成的正方形零件的边长为48 mm.
课堂小结 本节课学习了什么内容呢？（1）相似三角形对应的比等于相似比.（2）相似三角形对应周长的比等于相似比.相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.
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27.2.2相似三角形的性质学案
课题 27.2.2相似三角形的性质 单元 第27单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 掌握相似三角形对应高线、中线和角平分线的比与相似比之间的关系。理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质。能够运用相似三角形的性质解决相关问题。
重点 1.相似三角形的性质。2.运用相似三角形的性质解决相关问题。
难点 运用相似三角形的性质解决相关问题。
教学过程
导入新课 【引入思考】判定两三角形相似的方法1.定义法: 的两个三角形相似.2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 .3. 对应成比例的两个三角形相似.4. 对应成比例且 夹角 相等的两个三角形相似. 5. 分别相等的两个三角形相似.教师：三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素 （高线、中线、角平分线、周长、面积）问：如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？【活动探究】如图，小方格的边长都是1.△ABC∽△A′B′C′，相似比为，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？思考：是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？1.如图，△DEF∽△ABC，相似比为k ，AO、DP为BC、EF上的高．求证：k.2.如图，△ABC ∽△DEF，相似比为k ，AM、DN分别为BC、EF上的中线．求证：k.3.已知△ABC∽△DEF，相似比为k ，AM、DN分别为角平分线.求证： 【活动探究】1.相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？2.相似三角形面积的比与相似比又有什么关系呢？
新知讲解 提炼概念 典例精讲 【例】如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为12，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.
课堂练习 巩固训练1．已知两个相似三角形的相似比是1∶2，则下列判断中，错误的是 ( )A．对应边的比是1∶2B．对应角的比是1∶2C．对应中线的比是1∶2D．对应角平分线的比是1∶22.如图所示，△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是 ( ) A.＝ B.＝C.＝ D.＝3.如果两个相似三角形面积之比为1∶9，那么它们对应边的比为________，对应角平分线的比为_______，周长之比为________.4. 如图所示，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB，＝，S△ABC＝S，求S BFED.5. 如图所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，AD与PN交于点E，这个正方形零件的边长是多少？答案引入思考 判定两三角形相似的方法1.定义法: 对应角相等，对应边的比相等 的两个三角形相似.2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 相似 .3. 三边 对应成比例的两个三角形相似.4. 两边 对应成比例且 夹角 相等的两个三角形相似. 5. 两角 分别相等的两个三角形相似.教师：三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素 （高线、中线、角平分线、周长、面积）问：如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？【活动探究】如图，小方格的边长都是1.△ABC∽△A′B′C′，相似比为，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？AD、A′D′分别为BC和B′C′上的高线∴AD=2， A′D′=4，∴=.AE、A′E′分别为BC和′B′C′上的中线∴AE=， A′E′=2，∴=.AF、A′F′分别为∠BAC和∠B′A′C′的平分线∴AF=， A′F′=，∴= .探究结果：①相似三角形的对应高线之比等于相似比；②相似三角形的对应中线之比等于相似比；②相似三角形的对应角平分线之比等于相似比。思考：是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？1.如图，△DEF∽△ABC，相似比为k ，AO、DP为BC、EF上的高．求证：k.证明：∵△DEF∽△ABC，∴∠E= ∠B．又∵∠DPE =∠AOB =90°,∴△DEP∽△ABO.∴==k.2.如图，△ABC ∽△DEF，相似比为k ，AM、DN分别为BC、EF上的中线．求证：k.证明：∵△A′B′C′∽△ABC，∴∠B= ∠E，==kAM、DN为BC、EF上的中线∴BC=2BM，EF=2EN∴=△ABM∽△DEN.∴==k3.已知△ABC∽△DEF，相似比为k ，AM、DN分别为角平分线.求证： 证明：∵△ABC∽△DEF.∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.又∵AM、DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线∴∠BAM=BAC ， ∠EDN=EDF ，∴∠BAM=∠EDN. ∴△AMB∽△DNE.∴=k.教师和学生公共总结归纳：相似三角形的性质（1）相似三角形对应高的比等于相似比.相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比.【活动探究】1.相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么=k，∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，CA=kC′A′∴2.相似三角形面积的比与相似比又有什么关系呢？由前面的结论，得=k .教师讲授内容：相似三角形的性质（2）相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方．提炼概念典例精讲 解：在 △ABC 和 △DEF 中，∵ AB=2DE，AC=2DF，∴，又 ∵∠D=∠A，∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 .∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为12，∴△DEF 的边 EF 上的高为， 面积为： .巩固训练1.答案：B2.答案B3.1∶3，1∶3，1∶34.解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，又∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB.由＝，得＝.∵＝，∴＝.∴＝()2＝，即S△ADE＝S.＝()2＝，即S△CEF＝S.∴S BFED＝S－S－S＝S. 5. 解： 设正方形的边长为x mm，∵PN∥BC.∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C.∴＝，解得x＝48.答：加工成的正方形零件的边长为48 mm.
课堂小结 本节课学习了什么内容呢？（1）相似三角形对应的比等于相似比.（2）相似三角形对应周长的比等于相似比.相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.
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人教版 九年级下
27.2.2 相似三角形的性质
新知导入
情境引入
如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切割出的三角形与梯形的面积之比为4：5，那么该怎么切割呢？
A
B
C
新知导入
合作学习
1.定义法: 的两个三角形相似.
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 .
对应角相等，对应边的比相等
相似
3. 对应成比例的两个三角形相似.
三边
4. 对应成比例且 相等的两个三角形相似.
两边
夹角
5. 分别相等的两个三角形相似.
两角
判断两三角形相似
三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素
高线
角平分线
中线
三角形周长、三角形面积
？
？
？
如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？
A
C
B
A′
B′
C′
D
D′
E
E′
F
F′
探究结果：
①相似三角形的对应高线之比等于相似比；
②相似三角形的对应中线之比等于相似比；
②相似三角形的对应角平分线之比等于相似比.
如何证明探究的结果呢？
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
解：如图，分别作出 △ABC 和△A‘ B’ C‘
的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
∴
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应高的比.
探究一：相似三角形对应高线的比
探究二：相似三角形对应中线的比
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应中线的比.
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′ ，
解：如图，分别作出 △ABC 和△A′B′C′
的中线 AE 和 A′ E′ ．
则BE = B′E′=
∴△ABE ∽△A′ B′E′
A
B
C
A'
B'
C'
E'
E
∴
∴
探究三：相似三角形对应角平分线的比
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应角平分线的比.
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′ ， ∠BAC= ∠B′A′C ′
解：如图，分别作出 △ABC 和△A′B′C′
的对应角平分线 AF 和 A′F′ ．
则∠BAF＝ ∠BAC, ∠B′A′F ′= ∠B′A′C′
∴△ABF ∽△A′ B′F′
A
B
C
A'
B'
C'
F'
F
∴
∴∠BAF= ∠B′A′F ′
提炼概念
相似三角形对应高的比等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
归纳总结：
相似三角形对应中线的比等于相似比.
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？
两个相似多边形呢？
A
B
C
A/
B/
C/
相似三角形周长的比等于相似比。
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
2.相似三角形面积的比与相似比又有什么关系呢？
典例精讲
新知讲解
解：在 △ABC 和 △DEF 中，
∵ AB=2DE，AC=2DF，
又 ∵∠D=∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为
∴
例、如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.
A
B
C
D
E
F
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3，
面积为
归纳概念
（1）相似三角形对应的 比等于相似比.
相似三角形(多边形)的性质:
（3）相似 面积的比等于相似比的平方.
多边形
（2）相似 周长的比等于相似比.
三角形
三角形
高线
角平分线
中线
课堂练习
1．已知两个相似三角形的相似比是1∶2，则下列判断中，错误的是 ( )
A．对应边的比是1∶2
B．对应角的比是1∶2
C．对应中线的比是1∶2
D．对应角平分线的比是1∶2
B
课堂练习
2．如图所示，△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是 ( )
B
课堂练习
3．如果两个相似三角形面积之比为1∶9，那么它们对应边的比为________，对应角平分线的比为_______，周长之比为________.
【解析】 相似三角形对应边的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．
1∶3
1∶3
1∶3
【点悟】(1)此类问题一般利用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求解．(2)把所求图形的面积转化为三角形面积的和(或差)来计算．
5.如图所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，AD与PN交于点E，这个正方形零件的边长是多少？
解： 设正方形的边长为x mm，
∵PN∥BC.
∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C.
【点悟】 运用数学知识解决问题时，首先应读懂题意，从问题中抽象出几何图形，然后运用所学的知识求出结论或列出有关未知数的方程．
课堂总结
（2）相似三角形对应周长的比等于相似比.
相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.
作业布置
教材课后配套作业题。
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