2021—2022学年沪科版数学九年级下册 24.2.2 垂径定理（第2课时垂直于弦的直径及其推论）课件 （共65张）
文档属性
| 名称 | 2021—2022学年沪科版数学九年级下册 24.2.2 垂径定理（第2课时垂直于弦的直径及其推论）课件 （共65张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-09 14:27:12 | ||
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文档简介
(共65张PPT)
沪科版九年级数学下
第24章 圆
24.2 圆的基本性质
第二课时 垂径定理及其推论
复习：
定义一： 在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
１、从运动和集合的观点理解圆的定义：
定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
.
o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
点与圆的位置关系有三种：
点在圆内，
点在圆上，
点在圆外
点和圆的位置关系
1. 一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远距离为10cm,
则这个圆的半径是______cm.
2.CD为⊙O的直径,∠EOD=72°,AE交⊙O于B,
且AB=OC,则∠A=_______.
3.如图点A、D、G、M在半圆O上,四边形ABOC、DEOF、
AMNO均为矩形,设BC=a,EF=b,NH=c,则a,b,c的大小关系。
7或3
第2题
24°
第3题
D
O
A
B
E
C
垂直于弦的直径
什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．
回 顾
线段
角
等腰三角形
矩形
菱形
等腰梯形
正方形
圆
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。它有无数条对称轴
●O
·
O
A
B
C
D
E
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E．
求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．
⌒
⌒
⌒
⌒
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E．
求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．
⌒
⌒
⌒
⌒
证明：连结OA、OB，则OA＝OB．∵ 垂直于弦AB的直径CD所在的直线
既是等腰三角形OAB的对称轴又
是⊙ O的对称轴．
∴ 当把圆沿着直径CD折叠时，
CD两侧的两个半圆重合，
A点和B点重合，
AE和BE重合，
AC、AD分别和BC、BD重合．
∴ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
叠合法
D
O
A
B
E
C
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
题设
结论
（1）直径
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
③AE=BE,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
⌒
⌒
④AC=BC,
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
条件
CD为直径
CD⊥AB
CD平分弧ADB
CD平分弦AB
CD平分弧ACB
结论
① 直径过圆心
③ 平分弦
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论1
D
O
A
B
E
C
∵ CD是直径，AB是弦，CD平分AB
∴ CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
⌒
一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．
O
A
B
M
N
C
D
注意
为什么强调这里的弦不是直径？
① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
③ 平分弦
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
垂径定理的推论1
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
∵ CD是直径，AB是弦，并且AC＝BC
∴ CD平分AB，CD ⊥AB，AD＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
D
O
A
B
E
C
① 直径过圆心
⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
② 垂直于弦
垂径定理的推论1
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
∵ CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD
∴ CD平分AB，CD ⊥AB，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
⌒
D
O
A
B
E
C
② 垂直于弦
③ 平分弦
① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论1
∵ AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB，
∴ CD是直径，AD＝BD，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
⌒
D
O
A
B
E
C
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
垂径定理及其的推论：
直线CD （1） 过圆心 （2）垂直于弦 （3） 平分弦 （4）平分弦所对的劣弧 （5）平分弦所对的优弧 以上五个中只要符合两个条件，就能得到其它三个结论。
A
P
D
C
B
O
┓
定理辨析
垂径定理的几个基本图形
E
O
A
B
D
C
E
A
B
C
D
E
O
A
B
D
C
E
O
A
B
C
E
O
C
D
A
B
练习1
O
B
A
E
D
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等
的线段或相等的圆弧.
O
判断下列图形，能否使用垂径定理？
注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！
2、判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..( )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..( )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………………...( )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………( )
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
×
√
×
×
√
8cm
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 。
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
距离为3cm，则弦AB的长是 。
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是 。
练习 2
A
B
O
E
A
B
O
E
O
A
B
E
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
垂径定理经常和勾股定理结合使用。
E
.
A
C
D
B
O
.
A
B
O
∴AM＝BM，
CM＝DM
⌒
⌒
⌒
⌒
垂径定理的推论2
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
M
O
A
B
N
C
D
证明：作直径MN垂直于弦AB
∵ AB∥CD
∴ 直径MN也垂直于弦CD
∴AM－CM ＝BM－DM
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
即 AC＝BD
A
B
C
D
两条弦在圆心的同侧
两条弦在圆心的两侧
垂径定理的推论2有这两种情况：
O
O
A
B
C
D
C
D
A
B
E
已知：AB．
求作：AB的中点．
⌒
⌒
点E就是所求AB的中点．
⌒
作法：
1． 连结AB．
2． 作AB的垂直平分线 CD，交AB于点E．
⌒
小练习
A
B
C
D
E
已知：AB．
求作：AB的四等分点．
⌒
⌒
作法：
1． 连结AB．
3． 连结AC．
2． 作AB的垂直平分线 ，交AB于点E．
⌒
4． 作AC的垂直平分线 ，交AC于点F．
⌒
5． 点G同理．
点D、C、E就是AB的四等分点．
⌒
A
B
C
作AC的垂直平分线
作BC的垂直平分线
这种方法对吗？
等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线．
×
C
A
B
O
你能确定AB的圆心吗？
⌒
作法：
1． 连结AB．
2． 作AB的垂直平分线 ，交AB于点C．
⌒
3． 作AC、BC的垂直平分线．
4． 三条垂直平分线交于一点O．
点O就是AB的圆心．
⌒
你能破镜重圆吗？
A
B
C
m
n
O
作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．
作法：
依据：
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理三角形
d + h = r
d
h
a
r
有哪些等量关系？
在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．
你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m．
赵州桥主桥拱的半径是多少？
实际问题
垂径定理的应用
问题 ：你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
A
B
O
D
C
解：用AB表示主拱桥，设AB所在圆的
圆心为O，过点O作AB的垂线交AB于C。
由垂径定理可知，D是AB的中点，C是AB
的中点，CD就是拱高。
AB=37.4，CD=7.2 ，∴AD=18.7，设OA=OC=R
OD=OC-CD=R-7.2.
在Rt△AOD中，OA2 = AD2 + OD2
即 R2 = 18.72 + (R-7.2)2 解得 R≈27.9
因此，赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米。
课堂小结
1． 圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
O
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
2． 垂径定理
D
O
A
B
E
C
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．
3． 解决有关弦的问题
1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧． （ ）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧． （ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．
（ ）
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
（ ）
√
√
随堂练习
2． 在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
解：
答：⊙O的半径为5cm．
3． 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证：四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形．
4． 在直径是20cm的⊙O中， 的度数是60°，那么弦AB的弦心距是________．
cm
5． 弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为________．
cm
6． 已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm，，那么过P点的最短的弦等于____________．
cm
8． 已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3cm，AE＝BE．
∵AB＝8cm ∴AE＝4cm
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm
∴⊙O的半径为5cm．
．
A
E
B
O
9． 在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
求证：AC＝BD．
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BD
E
．
A
C
D
B
O
10． 已知：⊙O中弦AB∥CD．
求证：AC＝BD
⌒
⌒
证明：作直径MN⊥AB．
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD．
则AM＝BM，CM＝DM
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
．
M
C
D
A
B
O
N
4.如图，已知圆O的直径AB与
弦CD相交于G，AE⊥CD于E，
BF⊥CD于F，且圆O的半径为
10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
5.:如图，CD为圆O的直径，弦
AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
例2：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，
圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。
变式1:在半径为5 ㎝的圆O中，有长8 ㎝的
弦AB，求点O与AB的距离。
E
2：在半径为5 ㎝的圆O中，圆心O到弦AB的距离为3 ㎝，求AB的长。
O
A
B
例5．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．
如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备半径多大的管道？
A
B
O
拓展
1.如图，AB,CD是⊙O的两条平行弦，AC与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
2.在半径为5cm的⊙ O中，弦AB∥CD,且AB=6cm,CD=8cm,求AB,CD之间的距离
3.如图，∠C=90°，⊙C与AB交于点D，AC=5,CB=12,求AD的长
B
O
C
D
A
D
B
C
A
四、圆的问题可以化归为直线型问题解决。这是
一种研究数学的重要思想
二、垂径定理：
一、圆是轴对称图形，其对称轴是
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
三、垂径定理和勾股定理相结合，构造
直角三角形，可解决计算弦长、半
径、圆心到弦的距离等问题．
任意一
条过圆心的直线（或直径所在直线．）
小结
沪科版九年级数学下
第24章 圆
24.2 圆的基本性质
第二课时 垂径定理及其推论
复习：
定义一： 在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
１、从运动和集合的观点理解圆的定义：
定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
.
o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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点与圆的位置关系有三种：
点在圆内，
点在圆上，
点在圆外
点和圆的位置关系
1. 一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远距离为10cm,
则这个圆的半径是______cm.
2.CD为⊙O的直径,∠EOD=72°,AE交⊙O于B,
且AB=OC,则∠A=_______.
3.如图点A、D、G、M在半圆O上,四边形ABOC、DEOF、
AMNO均为矩形,设BC=a,EF=b,NH=c,则a,b,c的大小关系。
7或3
第2题
24°
第3题
D
O
A
B
E
C
垂直于弦的直径
什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．
回 顾
线段
角
等腰三角形
矩形
菱形
等腰梯形
正方形
圆
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。它有无数条对称轴
●O
·
O
A
B
C
D
E
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E．
求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．
⌒
⌒
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⌒
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E．
求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．
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证明：连结OA、OB，则OA＝OB．∵ 垂直于弦AB的直径CD所在的直线
既是等腰三角形OAB的对称轴又
是⊙ O的对称轴．
∴ 当把圆沿着直径CD折叠时，
CD两侧的两个半圆重合，
A点和B点重合，
AE和BE重合，
AC、AD分别和BC、BD重合．
∴ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
⌒
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叠合法
D
O
A
B
E
C
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
题设
结论
（1）直径
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
③AE=BE,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
⌒
⌒
④AC=BC,
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
条件
CD为直径
CD⊥AB
CD平分弧ADB
CD平分弦AB
CD平分弧ACB
结论
① 直径过圆心
③ 平分弦
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论1
D
O
A
B
E
C
∵ CD是直径，AB是弦，CD平分AB
∴ CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
⌒
一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．
O
A
B
M
N
C
D
注意
为什么强调这里的弦不是直径？
① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
③ 平分弦
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
垂径定理的推论1
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
∵ CD是直径，AB是弦，并且AC＝BC
∴ CD平分AB，CD ⊥AB，AD＝BD
⌒
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D
O
A
B
E
C
① 直径过圆心
⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
② 垂直于弦
垂径定理的推论1
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
∵ CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD
∴ CD平分AB，CD ⊥AB，AC＝BC
⌒
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D
O
A
B
E
C
② 垂直于弦
③ 平分弦
① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论1
∵ AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB，
∴ CD是直径，AD＝BD，AC＝BC
⌒
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D
O
A
B
E
C
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
垂径定理及其的推论：
直线CD （1） 过圆心 （2）垂直于弦 （3） 平分弦 （4）平分弦所对的劣弧 （5）平分弦所对的优弧 以上五个中只要符合两个条件，就能得到其它三个结论。
A
P
D
C
B
O
┓
定理辨析
垂径定理的几个基本图形
E
O
A
B
D
C
E
A
B
C
D
E
O
A
B
D
C
E
O
A
B
C
E
O
C
D
A
B
练习1
O
B
A
E
D
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等
的线段或相等的圆弧.
O
判断下列图形，能否使用垂径定理？
注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！
2、判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..( )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..( )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………………...( )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………( )
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
×
√
×
×
√
8cm
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 。
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
距离为3cm，则弦AB的长是 。
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是 。
练习 2
A
B
O
E
A
B
O
E
O
A
B
E
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
垂径定理经常和勾股定理结合使用。
E
.
A
C
D
B
O
.
A
B
O
∴AM＝BM，
CM＝DM
⌒
⌒
⌒
⌒
垂径定理的推论2
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
M
O
A
B
N
C
D
证明：作直径MN垂直于弦AB
∵ AB∥CD
∴ 直径MN也垂直于弦CD
∴AM－CM ＝BM－DM
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
即 AC＝BD
A
B
C
D
两条弦在圆心的同侧
两条弦在圆心的两侧
垂径定理的推论2有这两种情况：
O
O
A
B
C
D
C
D
A
B
E
已知：AB．
求作：AB的中点．
⌒
⌒
点E就是所求AB的中点．
⌒
作法：
1． 连结AB．
2． 作AB的垂直平分线 CD，交AB于点E．
⌒
小练习
A
B
C
D
E
已知：AB．
求作：AB的四等分点．
⌒
⌒
作法：
1． 连结AB．
3． 连结AC．
2． 作AB的垂直平分线 ，交AB于点E．
⌒
4． 作AC的垂直平分线 ，交AC于点F．
⌒
5． 点G同理．
点D、C、E就是AB的四等分点．
⌒
A
B
C
作AC的垂直平分线
作BC的垂直平分线
这种方法对吗？
等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线．
×
C
A
B
O
你能确定AB的圆心吗？
⌒
作法：
1． 连结AB．
2． 作AB的垂直平分线 ，交AB于点C．
⌒
3． 作AC、BC的垂直平分线．
4． 三条垂直平分线交于一点O．
点O就是AB的圆心．
⌒
你能破镜重圆吗？
A
B
C
m
n
O
作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．
作法：
依据：
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理三角形
d + h = r
d
h
a
r
有哪些等量关系？
在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．
你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m．
赵州桥主桥拱的半径是多少？
实际问题
垂径定理的应用
问题 ：你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
A
B
O
D
C
解：用AB表示主拱桥，设AB所在圆的
圆心为O，过点O作AB的垂线交AB于C。
由垂径定理可知，D是AB的中点，C是AB
的中点，CD就是拱高。
AB=37.4，CD=7.2 ，∴AD=18.7，设OA=OC=R
OD=OC-CD=R-7.2.
在Rt△AOD中，OA2 = AD2 + OD2
即 R2 = 18.72 + (R-7.2)2 解得 R≈27.9
因此，赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米。
课堂小结
1． 圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
O
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
2． 垂径定理
D
O
A
B
E
C
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．
3． 解决有关弦的问题
1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧． （ ）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧． （ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．
（ ）
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
（ ）
√
√
随堂练习
2． 在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
解：
答：⊙O的半径为5cm．
3． 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证：四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形．
4． 在直径是20cm的⊙O中， 的度数是60°，那么弦AB的弦心距是________．
cm
5． 弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为________．
cm
6． 已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm，，那么过P点的最短的弦等于____________．
cm
8． 已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3cm，AE＝BE．
∵AB＝8cm ∴AE＝4cm
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm
∴⊙O的半径为5cm．
．
A
E
B
O
9． 在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
求证：AC＝BD．
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BD
E
．
A
C
D
B
O
10． 已知：⊙O中弦AB∥CD．
求证：AC＝BD
⌒
⌒
证明：作直径MN⊥AB．
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD．
则AM＝BM，CM＝DM
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
．
M
C
D
A
B
O
N
4.如图，已知圆O的直径AB与
弦CD相交于G，AE⊥CD于E，
BF⊥CD于F，且圆O的半径为
10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
5.:如图，CD为圆O的直径，弦
AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
例2：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，
圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。
变式1:在半径为5 ㎝的圆O中，有长8 ㎝的
弦AB，求点O与AB的距离。
E
2：在半径为5 ㎝的圆O中，圆心O到弦AB的距离为3 ㎝，求AB的长。
O
A
B
例5．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．
如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备半径多大的管道？
A
B
O
拓展
1.如图，AB,CD是⊙O的两条平行弦，AC与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
2.在半径为5cm的⊙ O中，弦AB∥CD,且AB=6cm,CD=8cm,求AB,CD之间的距离
3.如图，∠C=90°，⊙C与AB交于点D，AC=5,CB=12,求AD的长
B
O
C
D
A
D
B
C
A
四、圆的问题可以化归为直线型问题解决。这是
一种研究数学的重要思想
二、垂径定理：
一、圆是轴对称图形，其对称轴是
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
三、垂径定理和勾股定理相结合，构造
直角三角形，可解决计算弦长、半
径、圆心到弦的距离等问题．
任意一
条过圆心的直线（或直径所在直线．）
小结