河北唐山一中2012—2013学年度高三数学第一学期第一次月考 理

唐山一中2012～2013学年第一学期高三第一次月考
理科数学试卷
命题人：姚洪琪 审核人：毛金丽
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知集合，，且，那么的值可以是（ ）
A. B. 0 C. 1 D.
2.若，则角是 （ ）
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角 D.第二或第四象限角
3．在中，，，则 ( )
A. B. C.或 D. 或
4.为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的（ ）
A.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度
B.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度
C.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度
D.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度
5.“”是“”的 （ ）
A .充分不必要条件 B.必要不充分条件
C .充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 设，，，则 （ ）
A. B. C. D.
7.设直线m、n和平面,下列四个命题中，正确的是 （ ）
A. 若 B. 若
C. 若 D. 若
8. 已知函数的简图如下图，则 的值为 ( )
A. B. C. D.
9．若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间
(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范
围是 (　 　)
A．[1，＋∞) B．[1，) C．[1,2) D．[，2)
10.如右图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为 (　 　)
A. B. C. D.
11．已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是 ( )
A .∪ B. ∪
C. ∪ D. ∪
12.点是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，点是坐标原点. 给出三个命题：①；②的周长有最小值；③曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形．其中真命题的个数是
A.１ B.２ 　　 　C.３ 　 D.０
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将正确答案写在答题纸上。）
13.若，则= .
14．函数的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为
15．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．
16. 有下列命题：
①在函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为；
②函数的图象关于直线对称，则；
③关于的方程有且仅有一个实数根，则实数；
④已知命题：，都有，则是：，使得.
其中真命题的序号是_______.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分10分）函数在P点处的切线平行于直线，求的值。
18. （本小题满分12分）已知函数．
（1）求的值；
（2）若对于任意的，都有，求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）设函数的导函数为，若函数的图像关于直线对称，且.
（1）求实数a、b的值
（2）若函数恰有三个零点，求实数的取值范围。
20. （本小题满分12分）在中，角所对的边为，已知。
（1）求的值；
（2）若的面积为，且，求的值。
21．（本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在点，使// 平面？ 若存在，求出；若不存在，说明理由．
22.（本小题满分12分）已知函数（）．
（1）试讨论在区间上的单调性；
（2）当时，曲线上总存在相异两点，，使得曲线在点，处的切线互相平行，求证：.
唐山一中2012～2013学年第一学期高三第一次月考
理科数学参考答案
一、选择题：DDCA BADB BACC
二、填空题：13. 14. 15. 3 16. ②④
三、解答题：
17.解：由，得 ………………5分
所以
即,所以 ………………10分
18. 解：（1）． ………………4分
（2）
． ………………8分
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时，取得最大值． ………………10分
所以 ， 等价于 ．
故当 ，时，的取值范围是． ………………12分
19.解：（1）
则其对称轴为，由已知可得，所以a=3
又由可得，b=-12 ………………5分
（2）由（1）得：
所以
当时，，时，，时，
故函数在和上递增，在上递减
所以函数的极大值为，极小值为 ………………10分
而函数恰有三个零点，故必有，解得： …………12分
20.解：（1） …… 4分
（2） ，由正弦定理可得：
由（1）可知
，得到 …………………………8分
由余弦定理
可得 …………………………10分
由可得或， 所以或 ………12分
21.解：（1）证明：取中点，连结，．
因为，所以．
因为四边形为直角梯形，，，
所以四边形为正方形，所以．
所以平面． 所以 ． ………………4分
（2）解法1：因为平面平面，且
所以BC⊥平面
则即为直线与平面所成的角
设BC=a，则AB=2a，，所以
则直角三角形CBE中，
即直线与平面所成角的正弦值为． ………………8分
解法2：因为平面平面，且 ，
所以平面，所以．
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，
则．
所以 ，平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
所以 ，
即直线与平面所成角的正弦值为． ………………8分
（3）解：存在点，且时，有// 平面．
证明如下：由 ，，所以．
设平面的法向量为，则有
所以 取，得．
因为 ，且平面，所以 // 平面．
即点满足时，有// 平面． ………………12分
22.解：
（1）由已知，.
由，得，. 因为，所以,且．
所以在区间上，；在区间上，.
故在上单调递减，在上单调递增． ……………6分
（2）证明：由题意可得，当时，（，且）.
即 ，
所以，. ……………8分
因为，且，所以恒成立，
所以，又，
所以，整理得.
令，因为，所以在上单调递减，
所以在上的最大值为， 所以.…………12分