高一数学《131 函数的单调性》课件（人教版必修一）

(共40张PPT)
深圳市年生产总值统计表
年份
生产总值
（亿元）
图示是某市一天24小时内的气温变化图。气温θ是关于时间 t 的函数，记为θ＝ f (t) ，观察这个气温变化图，说说气温在哪些时间段内是逐渐上升或下降的？
O
x
y
O
x
y
O
x
y
2
1
y
O
x
同学们能用数学语言把上面函数图象上升或下降的特征描述出来吗？
x
y
y = x
O
1
1
·
·
实例分析：画出函数y = x的图象
观察函数图象,并指出函数的变化趋势
x
y
y = x
O
1
1
·
·
实例分析：画出函数y = x的图象
观察函数图象,并指出函数的变化趋势
f(x1)
x1
x
y
y = x
O
1
1
·
·
实例分析：画出函数y = x的图象
观察函数图象,并指出函数的变化趋势
x1
f(x1)
x
y
y = x
O
1
1
·
·
实例分析：画出函数y = x的图象
观察函数图象,并指出函数的变化趋势
x1
f(x1)
x
y
y = x
O
1
1
·
·
实例分析：画出函数y = x的图象
观察函数图象,并指出函数的变化趋势
x1
f(x1)
x
y
y = x
O
1
1
·
·
实例分析：画出函数y = x的图象
观察函数图象,并指出函数的变化趋势
x1
f(x1)
O
x
y
实例2：分析二次函数的图象
O
x
y
实例2：分析二次函数的图象
O
x
y
实例2：分析二次函数的图象
O
x
y
实例2：分析二次函数的图象
O
x
y
实例2：分析二次函数的图象
O
x
y
实例2：分析二次函数的图象
O
x
y
实例2：分析二次函数的图象
O
x
y
实例2：分析二次函数的图象
O
x
y
实例2：分析二次函数的图象
O
x
y
实例2：分析二次函数的图象
那么就说 函数f (x)在区间D上为增函数。
O
x
y
如何用x与 f(x)来描述上升的图象？
如何用x与 f(x)来描述下降的图象？
O
x
y
函数单调性的定义
那么就说 函数f (x)在区间D上为减函数。
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
x
·
·
·
·
在区间I内 在区间I内
图象 y=f(x) y=f(x)
图象特征 从左至右，图象上升 从左至右，图象下降
数量 特征 y随x的增大而增大
当x1＜x2时， f(x1) < f(x2) y随x的增大而减小
当x1＜x2时， f(x1) > f(x2)
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
判断1：函数 f (x)= x2 是单调增函数；
x
y
o
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
y
x
O
1
2
f(1)
f(2)
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数；
（3） x 1, x 2 取值具有任意性
⑷，对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
⑸，函数在定义域内的两个区间A,B上都是
增（或减）函数，一般不能认为函数在
A∪B上是增（或减）函数
增区间
减区间
[-2，1]
[3，5]
[-5，-2]
[1，3]
说出函数f(x)=1/x 的单调区间，并指明在该区间的单调性
y
x
o
解：
（-∞，0）和 （0，+∞）都是函数f(x)的单调区间，在各个区间上都是递减的
注意:
不能说成（-∞，0） （0，+∞）
是减函数
说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，可以通过图象法直接从图上进行观察，它是一种常用而又粗略的方法，但当函数的图象很难画出来时这种方法是不行的。这个时候，我们可以根据定义去证明函数的单调性。
问题1：你能判断函数
的单调性吗？
利用定义判定(证明)函数的增减性
a、任取定义域内某区间上的两变 量x1，x2，设x1b、判断f(x1) – f(x2)的正、负情况；
c、得出结论
我们回顾定义
问题2：如何从定义的角度证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数？
f(x1)-f(x2)=(3 x1 +2)-(3 x2+2)
由x1即 f(x1)证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1=3( x1- x2)
于是 f(x1)-f(x2)<0
所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
取值
定号
变形
作差
判断
证明函数单调性的步骤
第一步：取值.即任取区间内的两个值，且x1第二步：作差变形.将f(x1)－f(x2)通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。
第三步：定号.确定差的符号，适当的时候需要进行讨论。
第四步：判断.根据定义作出结论。
取值
作差
变形
定号
判断
归纳：
解：二次函数 的对称轴为 ,
由图象可知只要 ，即 即可.
o
x
y
1
x
y
1
o
若二次函数 在区间 上单调递增，求a的取值范围。
（3）单调性的理论证明
（1）函数单调性的概念；
（2）判断函数单调区间的常用方法
方法二：通过定义去判断。
方法一：分析函数的图象。
2 若函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在［1,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.
练习
1 下列函数，在区间(0,2)上是增函数的是（ ）
A.y= B.y=2x-1
C.y=1-2x D.y=(2x-1)2