江苏省盐城景山中学2012—2013学年度第一学期高二数学月考试卷

盐城景山中学2012—2013学年度第一学期
阶段考试高二数学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1. 函数的最小正周期是 ▲ .
2. 集合，，则 ▲ .
3.两根相距6m的木杆上系一根绳子, 并在绳子上挂一盏灯, 则灯与两端距离都大于2m的概率为 ▲ .
4 .经统计, 在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下:
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概 率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
则至少3人排队等候的概率为 ▲ .
5．已知向量且∥，则= ▲ .
6．等差数列中，若 HYPERLINK "http://www." , ，则 HYPERLINK "http://www." ▲ .
7．设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，有下面四个命题：
① ；②；③ ；④.其中真命题的序号是 ▲ .
8.设x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的最大值为 ▲ .
9 如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形
估计这次环保知识竞赛的及格率（分及以上为及格）为 ▲ .
10．阅读右图的程序框图，若输入，，则输出 ▲ .
11.已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为 ▲ .
12．用三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色, 每个矩形只涂一种颜色, 则3个矩形颜色都不同的概率为 ▲ .
13. 设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1，则= ▲ .
14. 直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，则的可能值个数是 ▲ 个.
二、解答题（本大题共有6小题，共计90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题共14分）在△ABC中，BC=1，，
（Ⅰ）若，求AB；
（Ⅱ）若，求．
16．（本小题满分14分）
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
（I）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：
品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406
品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数．
17．(本小题满分14分)已知 的值域为集合A，定义域为集合B，其中．
（Ⅰ）当，求；
（Ⅱ）设全集为R，若，求实数m的取值范围．
18. （本小题满分16分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1 中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1 不重合），且EH∥A1 D1. 过EH的平面与棱BB1 ，CC1 相交，交点分别为F，G。
证明：AD∥平面EFGH；
（Ⅱ）设AB=2AA1=2a .在长方体ABCD－A1B1C1D1 内随机选取一点。记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p，当点E，F分别在棱A1B1，B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值.
19．(本小题满分16分)已知⊙和点.
（Ⅰ）过点向⊙引切线，求直线的方程；
（Ⅱ）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为 4的⊙的方程；
（Ⅲ）设为（Ⅱ）中⊙上任一点，过点向⊙引切线，切点为Q. 试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
20. （本小题满分16分)
已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.
（Ⅰ）对任意实数，证明：数列不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
盐城景山中学2012—2013学年度第一学期
阶段考试高二数学答题卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1、_______________； 2、_____________; 3、________________ ；
4、_______________； 5、_____________； 6、________________;
7、______________ ； 8、_____________; 9、________________;
10、______________ ； 11、_____________; 12、_______________
13、______________ ； 14、_____________.
二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题共14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
16．（本题共14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
17．（本题共14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
18. （本题共16分,第1小题满分6分，第2小题满分10分)
19. （本题共16分,第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分)
20. （本题共16分,第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
盐城景山中学2012—2013学年度第一学期
阶段考试高二数学答案
1．2 ； 2. ；3. ；4 . 0.44 ； 5．；6． ；7． ①③ ；
8.5； 9 ( http: / / wxc. / ) ； 10．12； 11.4； 12． ；13. ； 14. 2
15．解：（Ⅰ）依题意：，
即，解之得，（舍去） …………7分
（Ⅱ），∴ ，，
∴ ． …………14分
16．解：（I）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，
令事件A=“第一大块地都种品种甲”.
从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；
（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.
而事件A包含1个基本事件：（1，2）.
所以 ………………7分
（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
………………10分
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
………………13分
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. ……14分
17．解： ………6分
………10分
，此时成立. ……… 13分
综上所述，实数m的取值范围为. ……… 14分
18.解：
证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1 中，AD∥A1 D1
又∵EH∥A1 D1 ，∴AD∥EH.
∵AD￠平面EFGH
EH 平面EFGH
∴AD//平面EFGH.
… 6分
设BC=b，则长方体ABCD－A1B1C1D1 的体积V=AB·AD·AA1 =2a2b，
几何体EB1F-HC1G的体积V1 =（EB1 ·B1F）·B1C1 =·EB 1 ·B1 F …9分
∵EB12 + B1 F2=a2
∴≤ = ,当且仅当EB 1 =B1 F=时等号成立
从而V1 ≤ . ……12分
故 p=1- ≥ 当且仅当EB 1 =B1 F= 时等号成立
∴p的最小值为 ………16分
19. 解：（Ⅰ）设切线方程为 ，易得，解得
…3分
∴切线方程为 …………………………………………5分
（Ⅱ）圆心到直线的距离为 ………………7分
设圆的半径为，则 …………………………………9分
∴⊙的方程为 ……………………………………… 10分
（Ⅲ）假设存在这样的点，点的坐标为，相应的定值为，
根据题意可得，∴…………………12分
即 （*），
又点在圆上∴，即，代入（*）式得：
……………………14分
若系数对应相等，则等式恒成立，∴，
解得，
∴可以找到这样的定点，使得为定值. 如点的坐标为时，比值为；
点的坐标为时，比值为…………………………………………16分
20．（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即
矛盾.
所以｛an｝不是等比数列. ……… 4分
(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)
=(-1)n·（an-3n+21）=-bn
又b1=-（λ+18）,所以
当λ＝－18，bn=0,此时｛bn｝不是等比数列：
当λ≠－18时，b1=-(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴
故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列. ……10分
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得
Sn=-
要使a即a<-(λ+18)·［1－（－）n］〈b
………12分
设
当n为正奇数时，1∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,
于是，得 a<-(λ+18)< ………14分
当a当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a且λ的取值范围是（－b-18,-3a-18）. ………16分
开始
n整除a
是
输入
结束
输出
否
M
x
y
o
·
第19题
姓名：____________班级：____________学号：____________