任意角及任意角的三角函数

(共36张PPT)
要点梳理
1.角的有关概念
(1)角:角可以看做平面内由_________绕着端点从
一个位置____到另一个位置所成的____.旋转开始
时的射线叫做角α的____,旋转终止时的射线叫做
角α的____,射线的端点叫做角α的____.
(2)角的分类:角分____、____、 ____(按角的旋转
方向).
§3.1 任意角及任意角的三角函数
基础知识 自主学习
一条射线
旋转
图形
始边
终边
顶点
正角
零角
负角
(3)在直角坐标系内讨论角
①象限角:角的顶点为坐标原点,始边在___________
上,建立平面直角坐标系,这样角的终边在第几象限,
就说这个角是___________.
②象限界角:若角的终边在______上，就说这个角不
属于任何象限,它叫象限界角.
③与角α终边相同的角的集合:
________________________.
(4)弧度制
①1弧度的角：______________________________叫
做1弧度的角.
x轴的正半轴
第几象限角
坐标轴
{β|β=k·360°+α,k∈Z}
长度等于半径的圆弧所对的圆心角
②规定:正角的弧度数为____,负角的弧度数为____,
零角的弧度数为__,|α|=____,l是以角α作为圆心角
时所对圆弧的长,r为半径.
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比
值 与所取的r的大小__关,仅与__的大小有关.
④弧度与角度的换算:360°=___弧度;180°=__弧度.
⑤弧长公式:_______,
扇形面积公式:S扇形=______=________.
正数
负数
0
l=|α|r
无
角
2.任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数定义
设α是一个任意角,角α的终边上任意一点P(x,y),
它与原点的距离为r(r>0),那么角α的正弦、余弦、
正切分别是:sin α=___,cos α=___,tan α=___,
它们都是以角为______,以比值为_______的函数.
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是:__________
____________________.
自变量
函数值
一全正、二
正弦、三正切、四余弦
3.设角α的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,
终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直于x轴于M,
则点M是点P在x轴上的正射影.由三角函数的定义
知,点P的坐标为(cos α,sin α),即P(cos α,
sin α),其中cos α=____,sin α=___,单位圆与x
轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与α的终
边或其反向延长线相交于点T(T′),则tan α=___.
我们把有向线段OM、MP、AT(或AT′)叫做α的
______、______、_______.
OM
MP
AT
余弦线
正弦线
正切线
基础自测
1.A={小于90°的角},B={第一象限的角},则A∩B=
______(填序号).
①{小于90°的角} ②{0°~90°的角}
③{第一象限的角} ④以上都不对
解析 小于90°的角由锐角、零角、负角组成,而
第一象限角包含锐角及其他终边在第一象限的角,
所以A∩B是由锐角和终边在第一象限的负角组成,
又{0°~90°的角}={θ|0°≤θ<90°}，故①、
②、③都不对.
④
2.已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,则扇形的中
心角的弧度数是_______.
解析 设此扇形的半径为r,弧长是l,
1或4
3.已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cos 2),
则sin α=________.
解析 ∵角α终边上一点P(2sin 2,-2cos 2),
∴x=2sin 2,y=-2cos 2,
-cos 2
4.α是第二象限角，P(x， )为其终边上一点，且
cos α= 则sin α=____.
解析
【例1】若α是第二象限的角，试分别确定2α,
的终边所在位置.
判断角θ 在哪个象限,只需把θ 改写成θ0+
k·360° (k∈Z),其中0°<θ0<360°.
解 ∵α是第二象限的角,
∴k·360°+90°<α(1)∵2k·360°+180°<2α<2k·360°+360°
(k∈Z),
∴2α是第三或第四象限的角,或角的终边在y轴的
非正半轴上.
典型例题 深度剖析
分析
(2)∵k·180°+45°< 当k=2n(n∈Z)时,
n·360°+45°< 当k=2n+1(n∈Z)时,
n·360°+225°< ∴ 是第一或第三象限的角.
(3)∵k·120°+30°< 当k=3n(n∈Z)时,
n·360°+30°< 当k=3n+1(n∈Z)时,
n·360°+150°< 当k=3n+2(n∈Z)时,
n·360°+270°< ∴ 是第一或第二或第四象限的角.
跟踪练习1 (2010·淮安月考)已知α为第三象限的角,
则 在第______ 象限.
解析 由题意得,
当k=2n(n∈Z)时,
为第二象限角;
当k=2n+1(n∈Z)时,
为第四象限角.
二或四
【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是
R,若扇形的周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度
时,该扇形有最大面积？
考查扇形的面积、弧长公式,求最值需转化
为基本不等式或二次函数.
解 设扇形的弧长为l,则2R+l=c,即2R+αR=c,
当且仅当α=2时,等号成立,即当α为2弧度时,该扇
形有最大面积
分析
跟踪练习2 已知扇形的面积为S,当扇形的中心角为
多少弧度时,扇形的周长最小？并求出此最小值.
解 设l为扇形的弧长,由
故扇形的周长 即2r2-c·r+2S=0.
由于r存在,故方程有解,
因此有Δ=c2-16S≥0,
即c≥ ∴周长c的最小值为
所以当扇形的中心角为2 rad时,扇形的周长最小,
最小值为
【例3】(2008·全国Ⅱ)若sin α<0且tan α>0,则
α是第___象限角.
解析 ∵sin α<0,∴α是第三、四象限角;
又tan α>0,∴α是一、三象限角.
故α是第三象限角.
跟踪练习3 如果点P(sin θ cos θ ,2cos θ )位于第
三象限,那么角θ 所在的象限是第___象限.
解析 因为点P(sin θ cos θ ，2cos θ )位于第三
象限,所以sin θ cos θ <0,2cos θ <0,
即 ,θ 为第二象限角.
三
二
【例4】(14分)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求
sin α,cos α,tan α的值.
本题求α的三角函数值.依据三角函数的定
义,可在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),
求出r,由定义得出结论.
解题示范
解 ∵角α的终边在直线3x+4y=0上,
∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0), [2分]
则x=4t,y=-3t,
当t>0时,r=5t,
分析
[8分]
当t<0时,r=-5t,
[12分]
[14分]
跟踪练习4 已知角α的终边在y轴上，求sin α、
cos α、tan α的值.
解 ∵角α的终边在y轴上,
∴可在α的终边上任取一点(0,t)(t≠0),即x=0,y=t.
综上可知,sin α=±1,cos α=0,tan α不存在.
高考中主要考查对三角函数定义的理解和运用,如三
角函数值的符号选取及基本运算能力.题型多为填空
题,题目难度不大.
1.准确理解弧度制、三角函数的定义、象限角等基本
概念是关键.
2.象限角与区间角不同，如：第一象限角与区间角
(0, )不等价,后者是前者的子集.
思想方法 感悟提高
高考动态展望
方法规律总结
3.用弧度制表示终边相同的角α+2kπ(k∈Z)时，式
子中是π的偶数倍,而不是π的整数倍,如α+9π与
α终边不相同.
4.三角函数是用比值来定义的,所以三角函数的定义
域是使比值有意义的角的范围.
5.三角函数定义及所在象限的符号是三角函数两大重
要概念,利用三角函数的定义解三角题是一种最基
本的方法.
6.在扇形的有关问题中,要充分揭示图形的性质及联
系,抓住圆心角、半径、弧长、面积这些量中知二
求其余的关键.
一、填空题
1.(2009·江苏常州一模)已知角α是第三象限角,则
角-α的终边在第___象限.
解析 ∵α是第三象限角,
∴k·360°+180°<α则-k·360°-270°<-α<-k·360°-180°,k∈Z,
则-α的终边在第二象限.
二
定时检测
2.(2010·连云港模拟)与610°角终边相同的角表示
为_____________________.
解析 与610°角终边相同的角为n·360°+610°
=n·360°+360°+250°
=(n+1)·360°+250°
=k·360°+250° (k∈Z,n∈Z).
k·360°+250°(k∈Z)
3.(2010·浙江潮州月考)已知 则θ 所在
象限为第_______象限.
解析
∴sin 2θ >0,
∴2kπ<2θ <π+2kπ (k∈Z),
∴kπ<θ < +kπ (k∈Z).
∴θ 表示第一或第三象限的角.
一或三
4.(2010·南通模拟)已知角θ 的终边经过点
P(-4cos α,3cos α) 则sin θ +
cos θ =____.
解析
=5|cos α|=-5cos α,
5.（2010·福州调研）已知θ ∈ 且sin θ +
cos θ =a,其中a∈(0,1),则关于tan θ 的值，以下
四个答案中,可能正确的是____(填序号).
解析 在单位圆中,由三角函数线可知a<1,
∴θ 不在第一象限,θ ∈
又∵a>0,∴sin θ +cos θ >0,
∴θ ∈ ∴tan θ ∈(-1,0).
③
6.(2009·江西九江模拟) 若角α的终边与直线y=3x
重合且sin α<0,又P(m,n)是角α终边上一点,且
|OP|= 则m-n=____.
解析 依题意知
解得:m=1,n=3或m=-1,n=-3,
又sin α<0,∴α的终边在第三象限,
∴n<0,∴m=-1,n=-3,
∴m-n=2.
2
7.(2010·山东济南月考)已知角α的终边落在直线
y=-3x (x<0)上,则 =____.
解析 ∵角α的终边落在直线y=-3x (x<0)上,
在角α的终边上取一点P(x0,-3x0)(x0<0),
∴-3x0>0,∴P在第二象限,
2
8.(2010·南京模拟)某时钟的秒针端点A到中心点O
的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0
时,点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的
距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d=___________,
其中t∈［0,60］.
解析 将解析式可写为 的形式,
由题意易知A=10,当t=0时,d=0,得 =0;
当t=30时,d=10,可得
9.(2010·泰州模拟)若0(用“>”,“<”或“=”填空).
解析 利用数形结合,作出
在 的图象,
同时作出x∈(0, )内的正
弦线,由图象易得答案.
>
二、解答题
10.（2010·镇江模拟）已知角θ 的终边上一点
P( ,m)，且sin θ = 求cos θ 与tan θ
的值.
解
若m=0,则cos θ =-1,tan θ =0.
综上可知,当m=0时,cos θ=-1,tan θ=0;
11.(2010·江苏南京模拟)在单位圆中画出适合下列
条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:
作出满足 的角的终
边,然后根据已知条件确定角α终边的范围.
解 (1)作直线 交单位圆
于A、B两点,连结OA、OB，则
OA与OB围成的区域即为角α的
终边的范围,故满足条件的角α
的集合为
分析
(2)作直线 交单位圆于C、D
两点，连结OC、OD,则OC与OD围
成的区域(图中阴影部分)即为角α
终边的范围.故满足条件的角α的集
合为
12.(2010·佳木斯模拟)角α终边上的点P与A(a,2a)
关于x轴对称(a≠0),角β终边上的点Q与A关于直
线y=x对称,求sin α·cos α+sin β·cos β+
tan α·tan β的值.
解 由题意得,点P的坐标为(a,-2a),
点Q的坐标为(2a,a).
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