鲁教版（五四制）数学六年级上册 认识幻方并探寻其简单的数量关系 教案

综合与实践：探寻神奇的幻方
教材分析：
综合与实践是指一类以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动，可以理解为“数学探究”和“数学建模或数学实际应用”。本课时以探寻三阶幻方的本质特征为载体，提高学生综合运用有理数运算、整式的加减、探索规律、方程的能力，感受图形的对称，体验数形结合的思想.
教学时教师要提供学生充足探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试.
教学目标：
1．借助字母表示数、探索规律揭示几种简单的三阶幻方的本质特征；体验有理数混合运算、字母表示数、探索规律与几种三阶幻方本质特征的内在联系；能够快速对含有具体数字的不完整幻方进行补充，掌握幻方的形成和相等关系的一般性描述.
2.经历观察、猜想、验证、归纳、类比等活动, 初步积累构造三阶幻方的经验，建立数感、符号意识发展抽象思维，体会由特殊到一般的数学思想方法，在合作交流、自主探究中感悟数学的思维方式.
3.借助洛书、杨辉幻方等史料，帮助学生感受祖国文化的博大精深，增强民族自豪感，激发他们将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和决心，从幻方对称的图形、美妙的结论中，初步感受数学的美.
学情分析：
学生此前已完成“有理数及其运算” “整式及其加减”与“一元一次方程”的学习，部分学生对用1～9填成三阶幻方，在方法上有初步的感性认识，但可能仅限于此，并未进行深入研究.
学生通过本“综合实践”课,在问题串引导下综合运用知识解决问题，对解决问题的方法和经验进行反思，从中感受一种全新的以自主探究为特色的学习方式，提高学习数学的兴趣、信心和能力，改变学习方式，加深对数学本质的认识.
教学重点：探索三阶幻方的本质特征
教学难点：构造符合要求的三阶幻方
教学用具：PPT，幻方卡片、学案
教学过程：
课前准备：
1.将1——9九个数字填写在3×3的方格中，使得每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。
2.查阅与幻方有关的资料，了解世界上最早的幻方。
【设计意图】课前安排学生通过上网等方式查阅资料，了解幻方的有关知识，使学生对幻方有更深入、更全面的了解，对所学的知识产生兴趣。自己尝试构建基础三阶幻方，初步感知幻方的特点。
一、展示成果，初识幻方
1.学生展示已完成的课前作业，并介绍自己填写方格的体会与所用的时间。
2.学生介绍自己查找的资料。幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”。据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服.后人称之为"洛书"。
(
2
9
4
3
5
7
8
1
6
)
(
三阶幻方
) (
洛书
)
3. 把洛书用今天的数字翻译出来，就是现在的三阶幻方. 那么什么叫幻方呢？它还有其它名称吗？那什么是三阶幻方？幻方一般有哪些类型？请同学们继续分享查找的资料。
你想了解更多有关幻方的故事吗？ 你知道三阶幻方有哪些特点吗？ 如何能在最短的时间里面构建三阶幻方？ 如果换9个数字，你还能很快地构建广义的三阶幻方吗？那就从 “洛书”这个三阶幻方开始研究吧！
【设计意图】：介绍神话故事和幻方的历史，使学生对幻方简单的了解，不仅有利于学生课余时间对幻方深入探究，还培养了学生民族自豪感。用问题串的设计引入新课，激发学生强烈的求知欲。
二、合作探索，研究幻方
探究1：
观察如图所示的三阶幻方，思考下列问题：
(
2
9
4
3
5
7
8
1
6
)你能发现哪些相等的关系？每行、每列、
每条对角线上的三个数之和分别是多少？
（2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些线段会构成一个怎样的图形？你得到的图形有什么特点？
（3）你能否改变图1所示幻方中数字的位置，使它们仍然满足你发现的那些相等关系？
旋转变换：
(
2
9
4
3
5
7
8
1
6
4
3
8
1
5
9
6
7
2
8
1
6
7
5
3
2
9
4
6
7
2
9
5
1
4
3
8
)
对称变换：
(
8
3
4
9
5
1
2
7
6
) (
2
7
6
1
5
9
8
3
4
) (
4
9
2
7
5
3
6
1
8
) (
6
1
8
3
5
7
4
9
2
)
三阶幻方共有8个,相互之间可以由对称或者旋转得到.
（4）在你构造的幻方中，最核心的位置是什么？在这个位置上出现的数是几？有没有“成对”出现的数？
如图，将九个数字分别用a,b,c,d,e,f,g,h,i来表示，因为1-9个数的和为45，所以每行、每列、每条对角线上的三个数之和都是15，即：
(
c
b
a
d
e
f
g
h
i
)a+e+f=15,c+e+g=15 ,b+e+h=15,三式相加得(a+b+c+i+g+h)+3e=45,因此，e=5
（5）在如图所示三阶幻方中，中心方格中的数5与每行、每列和每条对角线上的三个数之和之间有什么关系？
结论1： 三阶幻方的幻和=中间数×3；
结论2：“成对”数的和=中间数×2；
结论3：角上的数字×2=与之不相邻的两个边块数字的和。
（6）你还有什么新的发现？
方法1：奇偶试验法
方法2：成对试验法
奇数 偶数 奇数
偶数 5 偶数
奇数 偶数 奇数
偶数 奇数 偶数
奇数 5 奇数
偶数 奇数 偶数
(
2
9
4
3
5
7
8
1
6
)
(
（×）
)
【设计意图】问题1、2分别从数与形的角度对三阶幻方进行观察；问题3从变化的角度研究幻方，让学生在变与不变中感受幻方的幻之所在；问题4让学生从感性与理性的双重角度理解中间位置的特殊性，成对数据的必要性；问题5让学生明确幻方中数据之间的结论；问题6给学生开放的空间，通过自由探索得出新的结论。在这一探究活动，有独立思考、小组讨论、合作探究等多种形式穿插进行，让学生基本都能掌握三阶幻方的特点。
三、学以致用，制作幻方
(
-5
-6
-11
) (
-1
4
3
)探究2：在图中所示广义的三阶幻方中分别给出了3个数，你能将其余六上数全填上吗？
【设计意图】初步应用结论填写方格，从数的角度感受数学的对称美，在应用的过程中体会成功探索结论的喜悦，并且形成填写幻方的经验。
探究3：
（1）用2、3、4、5、6、7、8、9、10这九个数如何构造一个广义的三阶幻方？
（2） 用2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数如何构造一个广义的三阶幻方？
（3）用-8、-6、-4、-2、0、2、4、6、8这九个数如何构造一个广义的三阶幻方？
(
图（
1
）
图（
2
）
图（
3
）
备用图
)
（4）说一说，你是用什么方法制作幻方的？
【设计意图】设置多角度的实践机会，对幻方进行拓展变式，帮助每个学生在实践中形成对三阶幻方的感性认识，促使更多学生将感性认识上升到理性结论，并将自己的经验形成方法。
四、梳理小结，共谈体会
请从下列关键词中选出一个或是几个，谈一谈你对这节课的收获与感受。
我了解了 我学会了 我掌握了 我欣赏 我希望 …… 知识 方法 题型 某某同学 自己 ……
【设计意图】学生根据关键词索引进行知识梳理与课堂小结，能够全方位地感知课堂，既有对知识、方法、题型的关注，更有对自己学习过程感受的评价，也有对同学表现的认可，在帮助学生形成知识体系的同时，渗透小结方法，加深同学之间的情谊，更好的促进学生数学学习。
五、课后作业，拓展延伸
1.（必做题）在下列各图的空格里，填上合适的数，使横行、竖列及两条对角线上三个数的和都相等.
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30
(
8
4
2
) (
9
2
10
)
(
第
1
题图（
2
）
) (
第
1
题图（
1
）（）
) (
第
2
题图
)
2.（必做题）利用一个3×3的方框在日历图上任意套出9个数，这9个数能否构造一个广义的三阶幻方？为什么？
3.（选做题）自行选取一组数构造一个三阶幻方，使得每行、每列和每条对角线上的三个数之和都等于60.
(
备用图
) (
第3题图
)
【设计意图】：分层次作业的设置，为学生搭建不同高度的学习平台，满足不同层次学生学习数学的需要，鼓励学有余力的学生课外自主探究。
六、板书设计
电脑屏幕 展开与折叠 1.幻方的概念、分类 2.探索的结论 ① ② ③ ④ 预习展示区 方法总结区