5.2.2同角三角函数基本关系 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
5.2.2同角三角函数基本关系
人教A（2019）版
必修一
新知导入
1.任意角的三角函数的单位圆定义:
温故知新
2、任取任意角终边上一点P（x,y），r=|OP|，则：
3、任意角三角函数在各象限的符号：
x
y
x
x
O
y
O
y
O
sinα
cosα
tanα
+
-
+
-
+
-
+
-
+
+
-
-
4、诱导公式一：
新知讲解
三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系．我们讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系．
如图，设点P(x,y)是角α的终边与单位圆的交点．过P作x轴的垂线，交x轴于M，则△OMP是直角三角形，而且OP＝１．由勾股定理有:
P
O
x
y
M
1
OM2＋MP2=1
即：sin2 ＋ cos2 ＝1，
因此，x2+y2=1，
当α的终边与坐标轴重合时，OM=1，MP=0或MP=1，OM=0，显然这个公式也成立．
（平方关系）
同角三角函数基本关系
设角α的终边与单位圆交于点 P（x，y），根据三角函数定义，有
， ， ， 由此可得sinα，cosα，tanα满足什么关系？
由
（商数关系）
基本关系式
说明：商数关系有其成立的条件，cosα≠0 即α≠
平方关系
商数关系
基本关系式反映同一个角的三角函数之间的两个基本恒等关系
新知讲解
合作探究
基本变形
变形一：(1)知sinα、cosα一个，求另一个：
sin2α=1-cos2α，
变形二：化“1”为三角函数：
1±2sinαcosα=(sinα±cosα)2
证明：
同理可证：
cos2α=1-sin2α
(2)
例1、已知sinα＝ ，求cosα，tanα的值．
合作探究
解：因为sinα<0，sinα≠-1，所以α是第三或第四象限角．
由sin2α＋cos2α＝１得
cos2α＝1-sin2α＝1- ＝
如果α是第三象限角，那么cosα<0．于是
cosα=
从而
tanα＝
如果α是第四象限角，那么
合作探究
例2 已知 tan ＝－ ， 且 是第二象限的角，求角 的正弦和余弦值．
解：由题意得
①
②
代入①整理得
代入式③ 得
因为 是第二象限角，所以 ，
由②得
③
合作探究
例3、化简：
解：原式＝
＝
＝ cos
例4、化简
解：原式
例5、求证：
证明 : 原式左边
=右边
所以
合作探究
例6、已知tan α=2,下列各式的值：
求关于sinα、cosα的分式齐次式,将其分子、分母同除以cosα
的整数次幂,用tanα表示,将tanα值整体代入求其值.
合作探究
课堂练习
1、已知 ，且 是第二象限的角，求 角 的余弦和正切值．
解 由 sin2 ＋ cos2 ＝1，得
因为 是第二象限角，
2、化简
解：原式
课堂练习
3、求证：
证明：原式右边
= 左边，
所以
4、已知tan α=2,下列式子的值：
课堂练习
课堂总结
基本关系式
平方关系
商数关系
变形：
sin2α=1-cos2α，
cos2α=1-sin2α
1±2sinαcosα=(sinα±cosα)2
sinα=cosαtanα
应用：
求值、化简、证明
板书设计
同角三角函数基本关系
平方关系
商数关系
基本关系式变形
sin2α=1-cos2α，
cos2α=1-sin2α
1±2sinαcosα=(sinα±cosα)2
sinα=cosαtanα
作业布置
1、化简下列各式:
3、课本P184练习1、2、3、4
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