2021-2022学年山东省青岛二十六中、五十九中九年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年山东省青岛二十六中、五十九中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.
1．（3分）正方形ABCD的一条对角线长为6，则这个正方形的面积是（　　）
A．9 B．18 C．24 D．36
2．（3分）方程2x2+5＝7x根的情况是（　　）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
3．（3分）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
4．（3分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（　　）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
5．（3分）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
6．（3分）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　）
A．抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．任意写一个正整数，它能被5整除的概率
D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
7．（3分）某市2012年年底自然保护区覆盖率（即自然保护区面积占全市国土面积的百分比）仅为8.5%，经过两年努力，该市2014年年底自然保护区覆盖率达10.8%．设该市这两年自然保护区面积的年均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．8.5%（l+x）＝10.8%
B．8.5%（1+x）2＝10.8%
C．8.5（1+x）÷8.5（1+x）2＝10.8
D．8.5%（l+x）+8.5%（l+x）2＝10.8%
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为（　　）
A．5 B．2﹣2 C．6 D．2+2
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）若，则＝　 　．
10．（3分）已知一元二次方程x2﹣11x+28＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为 　 　．
11．（3分）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏．同时转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则同时转动两个转盘可配成紫色的概率是 　 　．
12．（3分）如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝8，则DE＝　 　．
13．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，以DC为边在菱形的外部作正三角形CDE，连接AE与BD相交于点F，则∠AFB＝　 　°．
14．（3分）已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE，如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N．
①若BE＝1，那么CN的长 　 　；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长 　 　．
三、作图题（本题满分4分）
15．（4分）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．
求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）（1）解方程：
（1）x2+6x﹣2＝0（配方法）；
（2）16x2+8x＝3（公式法）．
17．（6分）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．
18．（6分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
19．（6分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
20．（8分）如图1，长、宽均为3cm，高为8cm的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6cm，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度是多少厘米？将这个情景转化成几何图形，如图3所示，请同学们借助图3利用相似的知识解答CF的高是多少？
21．（8分）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
22．（10分）某超市拟于十月一前50天里销售某种水果，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：
①当1≤x≤30时，y＝43；当31≤x≤50时，y与x满足为y＝﹣x+55；
②销售量m与x的关系如图所示．
（1）求m与x的关系式；
（2）超市在第几天销售可获利4250元？
23．（10分）【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN．求证：∠ABC＝∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连接CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
24．（12分）矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是对角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/s．过点P作BC的垂线段PH，运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接HQ交AC于点O．若点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s）（0＜t＜1.5），解答下列问题：
（1）求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形；
（2）是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在，请求出t值；如果不存在，请说明理由；
（3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的，如果存在，请求出t值；如果不存在，请说明理由．
2021-2022学年山东省青岛二十六中、五十九中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.
1．（3分）正方形ABCD的一条对角线长为6，则这个正方形的面积是（　　）
A．9 B．18 C．24 D．36
【分析】正方形对角线长相等，因为正方形又是菱形，所以正方形的面积可以根据S＝ab（a、b是正方形对角线长度）计算．
【解答】解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为6，
∵正方形又是菱形，
菱形的面积计算公式是S＝ab（a、b是正方形对角线长度）
∴S＝×6×6＝18，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形对角线相等的性质，解本题的关键是清楚正方形面积可以按照菱形面积计算公式计算，并熟记菱形的面积计算公式．
2．（3分）方程2x2+5＝7x根的情况是（　　）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先把方程化为一般式，然后计算判别式的值后判断方程根的情况．
【解答】解：方程化为2x2﹣7x+5＝0，
因为Δ＝（﹣7）2﹣4×2×5＝9＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．（3分）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【分析】利用x＝3.24，ax2+bx+c＝﹣0.02，而x＝3.25，ax2+bx+c＝0.03，则可判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【解答】解：∵x＝3.24，ax2+bx+c＝﹣0.02，
x＝3.25，ax2+bx+c＝0.03，
∴3.24＜x＜3.25时，ax2+bx+c＝0，
即方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
4．（3分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（　　）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【分析】由直线a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由AC＝4，CE＝6，BD＝3，即可求得DF的长，则可求得答案．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，
∵AC＝4，CE＝6，BD＝3，
∴，
解得：DF＝，
∴BF＝BD+DF＝3+＝7.5．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
5．（3分）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【分析】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；
乙：根据题意得：AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，则A′B′＝C′D′＝3+2＝5，A′D′＝B′C′＝5+2＝7，则可得，即新矩形与原矩形不相似．
【解答】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，则A′B′＝C′D′＝3+2＝5，A′D′＝B′C′＝5+2＝7，
∴，，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法正确．
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6．（3分）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　）
A．抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．任意写一个正整数，它能被5整除的概率
D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【解答】解：A、掷一枚硬币，连续两次出现正面的概率为，故此选项不符合题意；
B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，此选项符合题意；
C、任意写出一个正整数，能被5整除的概率为，故此选项不符合题意；
D、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
7．（3分）某市2012年年底自然保护区覆盖率（即自然保护区面积占全市国土面积的百分比）仅为8.5%，经过两年努力，该市2014年年底自然保护区覆盖率达10.8%．设该市这两年自然保护区面积的年均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．8.5%（l+x）＝10.8%
B．8.5%（1+x）2＝10.8%
C．8.5（1+x）÷8.5（1+x）2＝10.8
D．8.5%（l+x）+8.5%（l+x）2＝10.8%
【分析】本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
【解答】解：设该市总面积为1，该市这两年自然保护区的年均增长率为x，根据题意得
1×8.5%×（1+x）2＝1×10.8%，
即8.5%（l+x）2＝10.8%．
故选：B．
【点评】本题考查了增长率的问题，要记牢增长率计算的一般规律，然后读清题意找准关键语．
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为（　　）
A．5 B．2﹣2 C．6 D．2+2
【分析】作CB关于DA的对称点C'B'，以AB中的O为圆心作半圆O，连C′O分别交DA及半圆O于P、F．将PC+PF转化为C′F找到最小值．
【解答】解：如图：
取点C关于直线DA的对称点C′．以AB中点O为圆心，OA为半径画半圆．
连接OC′交DA于点P，交半圆O于点F，连AF．连BF并延长交DA于点E．
由以上作图可知，AF⊥EB于F．
PC+PF＝PC'′+EF＝C'F
由两点之间线段最短可知，此时PC+PF最小．
∵C'B'＝4，OB′＝6
∴C'O＝，
∴C'F＝2，
∴PC+PF的最小值为2﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）若，则＝　　．
【分析】根据比例的性质求出的值，然后两边加1进行计算即可得解．
【解答】解：∵，
∴﹣2＝，
＝2+＝，
∴+1＝+1，
即＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，根据已知条件求出的值是解题的关键．
10．（3分）已知一元二次方程x2﹣11x+28＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为 　15或18　．
【分析】求出方程的解确定出等腰三角形的底边与腰长，求出三角形周长即可．
【解答】解：方程x2﹣11x+28＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣7）＝0，
解得：x＝4或x＝7，
若4为底边，7为腰，此时△ABC周长为4+7+7＝18；
若4为腰，7为底，此时△ABC周长为4+4+7＝15；
则△ABC周长为15或18．
故答案为：15或18．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（3分）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏．同时转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则同时转动两个转盘可配成紫色的概率是 　　．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，同时转动两个转盘可配成紫色的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，同时转动两个转盘可配成紫色的结果有5种，
∴同时转动两个转盘可配成紫色的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（3分）如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝8，则DE＝　12﹣4　．
【分析】根据黄金比值是计算即可．
【解答】解：∵△ABC是黄金三角形，AB＝8，
∴BC＝AB＝×8＝4﹣4，
∵△BDC是黄金三角形，
∴DC＝BC＝×（4﹣4）＝12﹣4，
∵△DEC是黄金三角形，
∴DE＝DC＝12﹣4，
故答案为：12﹣4．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值为是解题的关键．
13．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，以DC为边在菱形的外部作正三角形CDE，连接AE与BD相交于点F，则∠AFB＝　60　°．
【分析】由菱形的性质可得AD＝CD，∠ADB＝∠BDC＝∠ADC，由等边三角形的性质可得CD＝DE，∠CDE＝60°，即可求∠DAE的度数，由三角形的外角性质可求∠AFB的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AD＝CD，∠ADB＝∠BDC＝∠ADC，
∵△CDE是等边三角形
∴CD＝DE，∠CDE＝60°，
∴AD＝DE，∠ADE＝∠ADC+60°
∴∠DAE＝＝60°﹣，
∵∠AFB＝∠DAE+∠ADB
∴∠AFB＝+60°﹣＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
14．（3分）已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE，如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N．
①若BE＝1，那么CN的长 　　；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长 　2或　．
【分析】①求出CE＝BC﹣BE＝3，证明△ABE∽△ECN，得出＝，即可得出结果；
②过点E作EF⊥AD于F，则四边形ABEF是矩形，得出AB＝EF＝2，AF＝BE，由折叠的性质得出CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，证明△EC′F∽△NC′D，得出＝＝，则＝＝，由＝，得出＝，则＝＝，得出C′D＝BE，设BE＝x，则C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，则＝，＝，求出DN＝x（2﹣x），CN＝，由CN+DN＝CD＝2，即可得出结果；
【解答】解：①∵BE＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BEA+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△ABE∽△ECN，
∴＝，
∴＝，
解得：CN＝；
故答案为：；
②过点E作EF⊥AD于F，如图所示：
则四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝2，AF＝BE，
由折叠的性质得：CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，
∴∠NC′D+∠EC′F＝90°，
∵∠C′ND+∠NC′D＝90°，
∴∠EC′F＝∠C′ND，
∵∠D＝∠EFC′，
∴△EC′F∽△NC′D，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴C′D＝BE，
设BE＝x，则C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，
∴＝，＝，
∴DN＝x（2﹣x），CN＝，
∴CN+DN＝x（2﹣x）+＝CD＝2，
解得：x＝2或x＝，
∴BE＝2或BE＝．
故答案为：2或．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、三角形面积的计算等知识，综合性强、涉及面广，难度大，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、作图题（本题满分4分）
15．（4分）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．
求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．
【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，
∴点P在∠ABC的平分线上；
∵线段BD为等腰△PBD的底边，
∴PB＝PD，
∴点P在线段BD的垂直平分线上，
∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，
如图所示：
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）（1）解方程：
（1）x2+6x﹣2＝0（配方法）；
（2）16x2+8x＝3（公式法）．
【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）x2+6x﹣2＝0，
x2+6x＝2，
x2+6x+9＝2+9，即（x+3）2＝11，
∴x+3＝，
∴x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
（2）16x2+8x＝3，
16x2+8x﹣3＝0，
∵a＝16，b＝8，c＝﹣3，
∴Δ＝82﹣4×16×（﹣3）＝256＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（6分）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次数字之和为奇数的结果数和两次数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后通过比较概率大小判断这个游戏对双方是否公平．
【解答】解：这个游戏对双方不公平．理由如下：
画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数5，两次数字之和为偶数的结果数为4，
所以小明胜的概率＝，小亮胜的概率＝，
而＞，
所以这个游戏对双方不公平．
【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
18．（6分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
【解答】（1）解：设每千克核桃应降价x元． …1分
根据题意，得 （60﹣x﹣40）（100+×20）＝2240． …4分
化简，得 x2﹣10x+24＝0 解得x1＝4，x2＝6．…6分
答：每千克核桃应降价4元或6元． …7分
（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．
此时，售价为：60﹣6＝54（元），
设按原售价的m折出售，则有：60×＝54，
解得m＝9
答：该店应按原售价的九折出售．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
19．（6分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
【分析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解答．
【解答】解：设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，
依题意得：3x 2x 100+30（3x 2x﹣50×40）＝642000
解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．
所以3x＝90，2x＝60，
答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，总价＝单价×数量的运用，解答时找准题目中的数量关系是关键．
20．（8分）如图1，长、宽均为3cm，高为8cm的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6cm，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度是多少厘米？将这个情景转化成几何图形，如图3所示，请同学们借助图3利用相似的知识解答CF的高是多少？
【分析】设DE＝x厘米，则AD＝（8﹣x）厘米，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△CBF的比例线段求得结果即可．
【解答】解：如图所示：
设DE＝x厘米，则AD＝（8﹣x）厘米，
根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，
解得：x＝4，
∴DE＝4厘米，
∵∠E＝90°，
由勾股定理得：CD＝＝＝5（厘米），
∵∠BCE＝∠DCF＝90°，
∴∠DCE＝∠BCF，
∵∠DEC＝∠BFC＝90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴＝，
即＝，
∴CF＝（厘米），
答：CF的高是厘米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．
21．（8分）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，证出EG＝CF，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵EG＝AE，
∴EG＝CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）某超市拟于十月一前50天里销售某种水果，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：
①当1≤x≤30时，y＝43；当31≤x≤50时，y与x满足为y＝﹣x+55；
②销售量m与x的关系如图所示．
（1）求m与x的关系式；
（2）超市在第几天销售可获利4250元？
【分析】（1）观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法即可求出m与x的关系式；
（2）分1≤x≤30及31≤x≤50两种情况考虑，当1≤x≤30时，利用每天销售这种水果获得的总利润＝每千克的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值；当31≤x≤50时，利用每天销售这种水果获得的总利润＝每千克的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设m与x的关系式为m＝kx+b（k≠0），
将（2，60），（40，250）代入m＝kx+b得：，
解得：，
∴m与x的关系式为m＝5x+50．
（2）当1≤x≤30时，（43﹣18）（5x+50）＝4250，
解得：x＝24；
当31≤x≤50时，（﹣x+55﹣18）（5x+50）＝4250，
整理得：x2﹣64x+960＝0，
解得：x1＝24（不合题意，舍去），x2＝40．
答：超市在第24天或40天销售可获利4250元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键：（1）根据图中点的坐标，利用待定系数法求出m与x的关系式；（2）分1≤x≤30及31≤x≤50两种情况，找出关于x的方程．
23．（10分）【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN．求证：∠ABC＝∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连接CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论；
（2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样．
（3）首先得出∠BAC＝∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到＝，根据∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM＝∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN．
（2）解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立；
理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN．
（3）解：∠ABC＝∠ACN；
理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，
∴底角∠BAC＝∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴＝，
又∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC＝∠ACN．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论．
24．（12分）矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是对角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/s．过点P作BC的垂线段PH，运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接HQ交AC于点O．若点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s）（0＜t＜1.5），解答下列问题：
（1）求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形；
（2）是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在，请求出t值；如果不存在，请说明理由；
（3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的，如果存在，请求出t值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用相似三角形的性质求出PH，CH（用t表示），再根据PH＝CQ，构建方程求解即可；
（2）证明△HCQ∽△ABC，可得＝，由此构建方程求解即可；
（3）根据矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的，根据方程求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°．
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵PH⊥BC，
∴∠CHP＝∠B＝90°．
∵∠PCH＝∠ACB，
∴△PCH∽△ACB．
∴＝＝，
∴＝＝，
∴PH＝（5 t），CH＝（5 t），
当PH＝CQ时，四边形PHCQ是矩形，
∴（5 t）＝2t，
解得：t＝，
∴当t＝时，四边形PHCQ是矩形；
（2）当HQ⊥AC时，∠QHC+∠ACB＝90°，
∵∠ACB+∠BAC＝90°，
∴∠QHC＝∠BAC，
∵∠HCQ＝∠ABC，
∴△HCQ∽△ABC，
∴＝，
∴（5 t）×4＝3×2t，
解得：t＝＞1.5
∴不存在t，使HQ与AC互相垂直；
（3）存在，理由如下：
由题意得：12＝××[2t+（5 t）]××（5 t），
解得：t＝1或（舍去），
∴t＝1时，矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
2021/12/9 8:13:45
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