2021-2022学年上海市杨浦区存志学校八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年上海市杨浦区存志学校八年级（上）期中数学试卷
一.选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式有（　　）个．
；；；；．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（3分）已知b（b≠0）为方程x2+ax﹣b＝0的一个根，则下列正确的是（　　）
A．a+b＝1 B．a﹣b＝1 C．a+b＝﹣1 D．a﹣b＝﹣1
3．（3分）已知反比例函数y＝，下列结论正确的是（　　）
A．y随x的增大而减小
B．图象的两支分别在第二、四象限
C．图象与y＝3x的图象有两个交点
D．A（﹣1，3）在函数的图象上
4．（3分）若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，则该函数图象经过的象限是（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、四象限 D．第二、三象限
5．（3分）已知A（﹣3，4），B（3，﹣4），C（2，﹣5），D（﹣5，），其中点（　　）与其它三个点不在同一正比例函数的图象上．
A．A B．B C．C D．D
6．（3分）设m是非零实数，给出下列四个命题：①若﹣1＜m＜0，则＜m；②若m＞1，＜m；③若＜m，则m＞0；④若＞m，则0＜m＜1，其中是真命题的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
二.填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）化简：＝　 　．
8．（3分）方程（x﹣1）2＝3的根是 　 　．
9．（3分）已知函数f（x）＝，f（2）＝　 　．
10．（3分）函数y＝的定义域为 　 　．
11．（3分）“三角形的一个外角大于任何一个内角”是 　 　命题（填“真”或“假”）．
12．（3分）若多项式x2﹣3x+m+2在实数范围内可以因式分解，则m的取值范围是 　 　．
13．（3分）已知反比例函数y＝﹣，当自变量x≤﹣1时，函数值y的取值范围是 　 　．
14．（3分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是双曲线y＝上的两点，当x1＞0＞x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是 　 　．
15．（3分）平面直角坐标系中，点A（，2）向左平移m个单位后恰好落在反比例函数y＝﹣的图象上，则m的值为 　 　．
16．（3分）平面直角坐标系中，函数y＝与函数y＝2x的图象在第一象限相交于点P（a，b），则a﹣b＝　 　．
17．（3分）随着新冠疫情逐渐好转，某口罩厂将减少口罩的出厂量，6月份的出厂量为20000只，若口罩出厂量每月下降百分率为x，8月份的出厂量为y只，则y关于x的函数解析式为 　 　．
18．（3分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，若S四边形ABCD＝6，则m的值是 　 　．
三.简答题（本大题共3题，满分18分）
19．（6分）计算：3 ÷（﹣）
20．（6分）关于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有两个不相等的实数根，求k的最大整数值．
21．（6分）已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与2x+3成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝3时，y＝，求y与x的函数关系式．
四.解答题（本大题共3题，满分28分）
22．（8分）某周末小明到公园画画写生，小明家到彩云湖公园的路程为3.5km，小明步行20分钟后，在家的妈妈发现小明画画的工具没有拿，立即通知小明原地等待，把工具送过去，小明妈妈追上小明把工具交给小明后立即以原来的速度返回，同时，小明以原来1.2倍的速度前往目的地．如图是小明与小明妈妈距家的路程（千米）与小明所用时间（分钟）之间的函数图象，根据图象回答下列问题：
（1）前20分钟小明的速度为 　 　千米/时．
（2）图中A点的实际意义是 　 　．
（3）小明妈妈的速度是 　 　千米/时．
（4）小明妈妈返回家的时间比小明到达目的地早 　 　分钟．
23．（10分）如图，平面直角坐标系中，直线l经过原点O和点A（6，4），经过点A的另一条直线交x轴于点B（12，0）．
（1）求直线l的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线l上求点P，使S△ABP＝S△AOB．
24．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝8cm，∠C＝90°，D，E分别是边BC，BA上的点（不与端点重合），且DE⊥BC，设CD＝xcm，将△BDE沿DE折叠后与梯形ACDE重叠部分的面积为ycm2．
（1）当x＝3时，画出折叠后的示意图，并求出此时重叠部分的面积；
（2）当重叠部分的图形为三角形时，直接写出y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）求当自变量x为何值时，重叠部分的面积是S△ABC的？
五.拓展题（本大题共4题，满分50分）
25．（12分）若α＝为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；
（1）则方程的另外一个根β＝　 　，t＝　 　；
（2）求α6+8β的值．
（3）求作一个关于y的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2．
26．（12分）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0，是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0成立？若存在，请求出实数k的值；若不存在，请说明理由．
27．（12分）解关于x的方程：2x3+（1﹣t）x2﹣2tx+（t2﹣t）＝0．
28．（14分）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点A，且与边CD相交于点E．
（1）若BC＝4，求点E的坐标；
（2）连接AE，OE．
①若△AOE的面积为24，求k的值；
②是否存在某一位置使得AE⊥OA，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年上海市杨浦区存志学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式有（　　）个．
；；；；．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：最简二次根式有，，，共3个，
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开得尽方的因数和因式．
2．（3分）已知b（b≠0）为方程x2+ax﹣b＝0的一个根，则下列正确的是（　　）
A．a+b＝1 B．a﹣b＝1 C．a+b＝﹣1 D．a﹣b＝﹣1
【分析】利用一元二次方程解的定义，把x＝b代入方程，然后两边除以b得到a、b的关系式．
【解答】解：把x＝b代入方程x2+ax﹣b＝0得b2+ab﹣b＝0，
∵b≠0，
∴b+a﹣1＝0，
∴a+b＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．（3分）已知反比例函数y＝，下列结论正确的是（　　）
A．y随x的增大而减小
B．图象的两支分别在第二、四象限
C．图象与y＝3x的图象有两个交点
D．A（﹣1，3）在函数的图象上
【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．
【解答】解：A、反比例函数y＝，当x＞0时，y随着x的增大而减小，故此选项错误；
B、反比例函数y＝，图象在第一、三象限，故此选项错误；
C、反比例函数y＝，图象在第一、三象限，直线y＝3x经过第一、三象限，反比例函数y＝图象与y＝3x的图象有两个交点，故此选项正确；
D、反比例函数y＝，图象经过点（﹣1，﹣3）和（1，3）不经过（﹣1，3），故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
4．（3分）若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，则该函数图象经过的象限是（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、四象限 D．第二、三象限
【分析】根据正比例函数的定义确定m的值，进而利用正比例函数的性质解答即可．
【解答】解：∵y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，
∴，
∴m＝﹣1，
∴m﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2＜0，
∴该函数图象经过的象限是第二、四象限，
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，牢记正比例函数的一般形式是解答本题的关键，难度不大．
5．（3分）已知A（﹣3，4），B（3，﹣4），C（2，﹣5），D（﹣5，），其中点（　　）与其它三个点不在同一正比例函数的图象上．
A．A B．B C．C D．D
【分析】设正比例函数为y＝kx（k≠0）．因为在同一条直线上点所在的直线的斜率k是相同的，所以，只要找出A、B、C、D四点中所在的直线的斜率不同的一点即可．
【解答】解：设正比例函数为y＝kx（k≠0）．（k≠0）．
A．将A（﹣3，4）代入为y＝kx得：k＝﹣，∴点A在正比例函数y＝﹣x上；
B．将B（3，﹣4）代入为y＝kx得：k＝﹣，∴点B在正比例函数y＝﹣x上；
C．将C（2，﹣5）代入为y＝kx得：k＝﹣，∴点C在正比例函数y＝﹣x上；
D．将D（﹣5，）代入为y＝kx得：k＝＝﹣，∴点D在正比例函数y＝﹣x上；
∴只有点C不在同一个正比例函数的图象上；
故选：C．
【点评】本题主要考查的是一次函数图象上点的坐标特征．函数图象上的点都满足函数解析式．
6．（3分）设m是非零实数，给出下列四个命题：①若﹣1＜m＜0，则＜m；②若m＞1，＜m；③若＜m，则m＞0；④若＞m，则0＜m＜1，其中是真命题的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【分析】判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【解答】解：①若﹣1＜m＜0，则＜m，是真命题；
②若m＞1，＜m，是真命题；
③若＜m，则m＞0，或﹣1＜m＜0，是假命题；
④若＞m，则0＜m＜1或m＜﹣1，是假命题；
故选：A．
【点评】此题考查命题与定理，关键是根据不等式的性质解答即可．
二.填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）化简：＝　x　．
【分析】根据当x≥0时，＝x开出来即可．
【解答】解：＝x．
故答案为：x．
【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当x≥0时，＝x，当x≤0时，＝﹣x．
8．（3分）方程（x﹣1）2＝3的根是 　x1＝4，x2＝﹣2　．
【分析】利用直接开平方法解方程即可得出答案．
【解答】解：（x﹣1）2＝3，
（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x1＝4，x2＝﹣2，
故答案为：x1＝4，x2＝﹣2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
9．（3分）已知函数f（x）＝，f（2）＝　2+2　．
【分析】将x＝2代入函数解析式求解．
【解答】解：f（2）＝＝＝＝2+2，
故答案为：2+2．
【点评】本题考查求函数的值，准确代入自变量的值，掌握利用平方差公式进行二次根式分母有理化计算是解题关键．
10．（3分）函数y＝的定义域为 　x＞2　．
【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是二次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
【解答】解：由题可得，x﹣2＞0，
解得x＞2，
∴函数y＝的定义域为x＞2，
故答案为：x＞2．
【点评】本题主要考查了函数自变量取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
11．（3分）“三角形的一个外角大于任何一个内角”是 　假　命题（填“真”或“假”）．
【分析】根据三角形的外角的性质进行分析，即可得出答案．
【解答】解：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故原命题是假命题，
故答案为：假．
【点评】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质和定理．
12．（3分）若多项式x2﹣3x+m+2在实数范围内可以因式分解，则m的取值范围是 　m≤　．
【分析】先确定多项式的二次项系数、一次项系数及常数项，根据b2﹣4ac确定m的范围．
【解答】解：∵b2﹣4ac
＝（﹣3）2﹣4×1×（m+2）
＝9﹣4m﹣8
＝1﹣4m．
当1﹣4m≥0时，
即m≤时，多项式x2﹣3x+m+2在实数范围内可以因式分解．
故答案为：m≤．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握二次三项式当b2﹣4ac是非负数时，整式才能因式分解是解决本题的关键．
13．（3分）已知反比例函数y＝﹣，当自变量x≤﹣1时，函数值y的取值范围是 　0＜y≤2　．
【分析】根据反比例函数的性质得图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，而当x＝﹣1时，y＝2，所以当x≤﹣1时，0＜y≤2．
【解答】解：∵反比例函数的解析式为y＝﹣，﹣2＜0，
∴图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，
x＝﹣1时，y＝2，
∴当x≤﹣1时，0＜y≤2．
故答案为：0＜y≤2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式．
14．（3分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是双曲线y＝上的两点，当x1＞0＞x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是 　m＞﹣1　．
【分析】由当x1＞0＞x2时，有y1＞y2知反比例函数的图象在第一、三象限，根据反比例函数性质知m+1＞0，解之可得．
【解答】解：∵x1＞0＞x2时，有y1＞y2，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，
∴m+1＞0，
解得：m＞﹣1，
故答案为：m＞﹣1．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质．
15．（3分）平面直角坐标系中，点A（，2）向左平移m个单位后恰好落在反比例函数y＝﹣的图象上，则m的值为 　﹣2　．
【分析】根据点的平移规律可得平移后点的坐标是（﹣m，2），再根据反比例函数图象上点的坐标特点可得（﹣m）×2＝﹣2，再解方程即可得到答案．
【解答】解：∵A坐标为（，2），
∴将点A沿x轴向左平移m个单位后得到的点的坐标是（﹣m，2），
∵恰好落在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴（﹣m）×2＝﹣2，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及点的平移规律，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
16．（3分）平面直角坐标系中，函数y＝与函数y＝2x的图象在第一象限相交于点P（a，b），则a﹣b＝　﹣　．
【分析】把点P（a，b）分别代入函数y＝与函数y＝2x即可得到，解得a＝，b＝2，即可求得a﹣b＝﹣．
【解答】解：∵函数y＝与函数y＝2x的图象在第一象限相交于点P（a，b），
∴，解得或，
∵点P（a，b）在第一象限，
∴a＝，b＝2，
∴a﹣b＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数图象上点的坐标特征，把P的坐标代入函数解析式得到关于a、b的方程组，从而求得a、b的值是解题的关键．
17．（3分）随着新冠疫情逐渐好转，某口罩厂将减少口罩的出厂量，6月份的出厂量为20000只，若口罩出厂量每月下降百分率为x，8月份的出厂量为y只，则y关于x的函数解析式为 　y＝20000（1﹣x）2　．
【分析】根据“下降后的出厂量＝下降前的出厂量×（1﹣下降率），可列函数关系式求解．
【解答】解：∵6月份的出厂量为20000只，口罩出厂量每月下降百分率为x，
∴7月份的出厂量为20000（1﹣x），8月份的出厂量为20000×（1﹣x）×（1﹣x），
∴8月份的出厂量为y只，则y关于x的函数解析式为：y＝20000（1﹣x）2，
故答案为：y＝20000（1﹣x）2．
【点评】此题考查了二次函数的应用（增长率问题），解题的关键是表示出下一个月的出厂量，难度不大．
18．（3分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，若S四边形ABCD＝6，则m的值是 　3　．
【分析】根据反比例函数的对称性可知：AB∥CD，AB＝CD，再由反比例函数y＝中k的几何意义，即可得到结论．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A、C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴m＝2S△AOB＝2×＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解反比例函数与一次函数的图形的交点坐标是其解析式联立而成的方程组的解．
三.简答题（本大题共3题，满分18分）
19．（6分）计算：3 ÷（﹣）
【分析】直接利用二次根式乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝3××（﹣）
＝﹣2
＝﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
20．（6分）关于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有两个不相等的实数根，求k的最大整数值．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到k﹣1≠0且Δ＝4k2﹣4（k﹣1）（k+3）＞0，然后求出k的范围，从而得到k的最大整数值．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝4k2﹣4（k﹣1）（k+3）＞0，
解得k＜且k≠1，
所以k的最大整数值为0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
21．（6分）已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与2x+3成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝3时，y＝，求y与x的函数关系式．
【分析】根据题意分别设出y1，y2，代入y＝y1+y2，表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出k与b的值，确定出解析式．
【解答】解：根据题意设y1＝，y2＝k（2x+3），即y＝y1+y2＝+k（2x+3），
将x＝1时，y＝5；x＝3时，y＝分别代入得：，
解得：k＝，m＝﹣3，
则y＝﹣+（2x+3）．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
四.解答题（本大题共3题，满分28分）
22．（8分）某周末小明到公园画画写生，小明家到彩云湖公园的路程为3.5km，小明步行20分钟后，在家的妈妈发现小明画画的工具没有拿，立即通知小明原地等待，把工具送过去，小明妈妈追上小明把工具交给小明后立即以原来的速度返回，同时，小明以原来1.2倍的速度前往目的地．如图是小明与小明妈妈距家的路程（千米）与小明所用时间（分钟）之间的函数图象，根据图象回答下列问题：
（1）前20分钟小明的速度为 　4.2　千米/时．
（2）图中A点的实际意义是 　当小明妈妈出发15分钟时追上小明，此时小明妈妈走的路程是1.4千米　．
（3）小明妈妈的速度是 　5.6　千米/时．
（4）小明妈妈返回家的时间比小明到达目的地早 　10　分钟．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出前20分钟小明的速度；
（2）根据函数图象中的数据，可以得到小明的妈妈追上小明用的时间为35﹣20＝15（分钟），走的路程为1.4千米，从而可以写出点A表示的实际意义；
（3）根据函数图象中的数据，可以计算出小明妈妈的速度；
（4）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明妈妈返回家的时间比小明到达目的地早几分钟，注意时间的换算．
【解答】解：（1）由图象可得，
前20分钟小明的速度为：1.4÷＝1.4×＝4.2（千米/时），
故答案为：4.2；
（2）图中A点的实际意义是当小明妈妈出发15分钟时追上小明，此时小明妈妈走的路程是1.4千米；
故答案为：当小明妈妈出发15分钟时追上小明，此时小明妈妈走的路程是1.4千米；
（3）由图象可得，
小明妈妈的速度为：1.4÷＝1.4×＝5.6（千米/时），
故答案为：5.6；
（4）（35+×60）﹣[35+（35﹣20）]
＝（35+×60）﹣（35+15）
＝（35+25）﹣50
＝60﹣50
＝10（分钟），
即小明妈妈返回家的时间比小明到达目的地早10分钟，
故答案为：10．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（10分）如图，平面直角坐标系中，直线l经过原点O和点A（6，4），经过点A的另一条直线交x轴于点B（12，0）．
（1）求直线l的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线l上求点P，使S△ABP＝S△AOB．
【分析】（1）设直线l的表达式为y＝kx，把A（6，4）代入，利用待定系数法即可求解；
（2）根据三角形面积公式即可求解；
（3）设P点坐标为（x，x）．当直线l上的点P使S△ABP＝S△AOB时，分两种情况：①，点P在线段OA上；②点P在线段OA的延长线上．
【解答】解：（1）设直线l的表达式为y＝kx，
把A（6，4）代入，得4＝6k，
解得k＝，
所以直线l的表达式为y＝x；
（2）∵A（6，4），B（12，0），
∴△AOB的面积＝×12×4＝24；
（3）当直线l上的点P使S△ABP＝S△AOB时，分两种情况：
设P点坐标为（x，x）．
①如图1，点P在线段OA上，则AP＝OA，
根据题意得，＝＝，
解得x＝4，
则P（4，）；
②如图2，点P在线段OA的延长线上，则AP＝OA，
根据题意得，＝＝，
解得x＝8，
则P（8，）．
故所求P点坐标为（4，）或（8，）．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，解本题的关键是求出直线l的解析式以及利用分类讨论的思想．
24．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝8cm，∠C＝90°，D，E分别是边BC，BA上的点（不与端点重合），且DE⊥BC，设CD＝xcm，将△BDE沿DE折叠后与梯形ACDE重叠部分的面积为ycm2．
（1）当x＝3时，画出折叠后的示意图，并求出此时重叠部分的面积；
（2）当重叠部分的图形为三角形时，直接写出y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）求当自变量x为何值时，重叠部分的面积是S△ABC的？
【分析】（1）当x＝3时，重合部分是梯形，可推出梯形的上底CF＝CB′＝B′D﹣CD＝BD﹣CD，DE＝BD，进而求得结果；
（2）当4≤x＜8时，重合部分是三角形，三角形的面积就是△BDE的面积；
（3）分为重合部分是梯形和三角形两种，当为梯形时，DE＝BD＝8﹣x，CF＝8﹣2x，△ABC的面积是32，列出方程求得，同样可求出重合部分是三角形的情形．
【解答】解：（1）如图1，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，
∴∠B＝∠A＝45°，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DEB＝∠B＝45°，
∴DE＝BD，
同理可得：CF＝CB′，
∵CD＝3，
∴B′D＝DE＝BD＝BC﹣CD＝5，
CF＝B′C＝2，
∴S四边形CDEF＝＝，
即重合的面积是；
（2）如图2，
当4≤x＜8时，重合部分是三角形，
由（1）知，DE＝BD＝8﹣x，
∴y＝（8﹣x）2，（4≤x＜8）；
（3）当4≤x＜8时，
∵y＝S△ABC，
∴＝，
∴x1＝4，x2＝12（舍去），
如图3，
当0＜x＜4时，
DE＝BD＝8﹣x，
CF＝CB′＝DB′﹣CD＝BD﹣CD＝8﹣2x，
∴（8﹣2x+8﹣x） x＝××82，
∴x1＝，x2＝4（舍去），
综上所述：x＝4或．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确画出图形，弄清各个线段的数量以及正确分类．
五.拓展题（本大题共4题，满分50分）
25．（12分）若α＝为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；
（1）则方程的另外一个根β＝　　，t＝　﹣1　；
（2）求α6+8β的值．
（3）求作一个关于y的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2．
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系列出等式即可求解；
（2）利用一元二次方程根的意义将α6适当变形后，再利用根与系数的关系解答即可求得结论；
（3）分别计算α2+β2与α2 β2的值，再依据求作一个一元二次方程的公式解得即可．
【解答】解：（1）由根与系数的关系，α+β＝1，αβ＝t，
∴β＝1﹣α＝1﹣＝，
∴t＝αβ＝×＝﹣1，
故答案为：，﹣1；
（2）∵α＝为一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，
∴α2﹣α﹣1＝0．
∴α2＝1+α．
∴α6＝（α2）3
＝（1+α）3
＝1+3α+3α2+α3
＝1+3α+3（1+α）+α（1+α）
＝1+3α+3+3α+α+α2
＝1+3α+3+3α+α+1+α
＝8α+5．
∴α6+8β
＝8α+5+8β
＝8（α+β）+5
＝8×1+5
＝13．
（3）∵α+β＝1，αβ＝﹣1，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝1+2＝3，
α2 β2＝（αβ）2＝1，
∴两根分别为α2，β2，关于y的一元二次方程，二次项系数为1的方程是：y2﹣3y+1＝0．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，将α6适当变形后，再利用根与系数的关系解答是解题的关键．
26．（12分）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0，是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0成立？若存在，请求出实数k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】先利用根的判别式求出k≤，再利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝k2﹣3，接着把（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0变形为9x1x2﹣2（x1+x2）2+20＝0，所以9（k2﹣3）﹣2（2k﹣1）2+20＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：存在．
∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数解，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，
解得k≤，
根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝k2﹣3，
∵（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0，
∴5x1x2﹣2（x12+x22）+20＝0，
∴9x1x2﹣2（x1+x2）2+20＝0，
∴9（k2﹣3）﹣2（2k﹣1）2+20＝0，
整理得k2+8k﹣9＝0，解得k1＝1，k2＝﹣9，
∵k≤，
∴当k＝1或﹣9时，（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0成立．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
27．（12分）解关于x的方程：2x3+（1﹣t）x2﹣2tx+（t2﹣t）＝0．
【分析】把t看成主元，将方程整理为t2﹣（x2+2x+1）t+2x3+x2＝0，然后对左边因式分解，即可解出方程．
【解答】解：原方程可化为：t2﹣（x2+2x+1）t+2x3+x2＝0，
（t﹣2x﹣1）（t﹣x2）＝0，
∴t﹣2x﹣1＝0或t﹣x2＝0，
当t 0时，
解得，
当t＜0时，
解得．
【点评】本题考查了高次方程的解法，关键是先把t看成主元，将方程重新整理．
28．（14分）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点A，且与边CD相交于点E．
（1）若BC＝4，求点E的坐标；
（2）连接AE，OE．
①若△AOE的面积为24，求k的值；
②是否存在某一位置使得AE⊥OA，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝BC＝4，求得A（2，4），得到k＝2×4＝8，于是求得点E的坐标为；
（2）①设A（a，2a）（a＞0），则点，根据梯形的面积公式即可得到答案；
②根据余角的性质得到∠OAB＝∠BAE，根据全等三角形的性质得到OB＝DE，由①可知，A（a，2a）（a＞0），则点，求得OB＝a，，推出k＝0，于是得到答案．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC＝4，
∴A（2，4），
∵A（2，4）在的图像上，
∴k＝2×4＝8，
∵OC＝OB+BC＝6，
∴xE＝6，
将xE＝6代入中，得：，
∴点E的坐标为；
（2）①设A（a，2a）（a＞0），则点，
∵S梯形ABCE＝S△AOE＝24，
∴得a2＝9，
∴k＝2a2＝18；
②答：不存在，
理由：∵AE⊥OA，
∴∠OAB+∠BAE＝90°，
∵∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝90°，
∴∠OAB＝∠BAE，
∵∠ABO＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△OAB △EAD（ASA），
∴OB＝DE，
由①可知，A（a，2a）（a＞0），则点，
∴OB＝a，，
∴，
∴a＝0，
∴k＝0，
∵k＞0，
∴不符合题意，不存在．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2021/12/9 8:09:22
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