第三章 圆锥曲线
3.3.2抛物线的几何性质(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．抛物线的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
3．动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是（ ）．
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
4．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：
①直线与直线的斜率乘积为；
②轴；
③以为直径的圆与抛物线准线相切.
其中，所有正确判断的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若AF＝4，则下列结论中正确的是( )
A. p＝2 B. F为AD的中点
C. BD＝2BF D. BF＝2
7．抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则下列选项错误的是（ ）
A. 以线段为直径圆与直线相离 B. 以线段为直径的圆与轴相切
C. 的最小值为6 D.当时，
8．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论不正确的是（ ）
A．点P的轨迹曲线是一条线段
B．点P的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点
C．不是“最远距离直线”
D．是“最远距离直线”
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知抛物线焦点为F，是C上一点，，则=________
10．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为________
11．抛物线：的焦点坐标是________；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则________.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．(1) 求顶点在原点，以x轴为对称轴，且通径的长为8的抛物线方程，并写出它的焦点坐标和准线方程；
(2) 已知抛物线关于y轴对称，顶点在坐标原点，且过点M(，－2)，求其标准方程．
13．已知抛物线上的点到焦点F的距离为.
（1）求的值；
（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线方程.
14．已知直线与抛物线交于两点，
（1）若，求的值；
（2）以为边作矩形，若矩形的外接圆圆心为，求矩形的面积.第三章 圆锥曲线
3.3.2抛物线的几何性质(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．抛物线的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】抛物线是顶点在原点，开口向下的抛物线，，
准线方程为，故选:D．
2．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得. 故选：C.
3．动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是（ ）．
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
【答案】D
【解析】因为动点到点的距离比它到直线的距离大1，所以动点到点的距离等于它到直线的距离，所以由抛物线的定义知该动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线．故选:D．
4．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，
与抛物线方程联立，消元整理得：，
解得，又，
所以，
从而可以求得，故选：D.
5．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：
①直线与直线的斜率乘积为；
②轴；
③以为直径的圆与抛物线准线相切.
其中，所有正确判断的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】B
【解析】由题意，可设直线的方程为，
代入抛物线的方程，有．
设点，的坐标分别为，，
则，．
所．
则直线与直线的斜率乘积为．所以①正确．
将代入抛物线的方程可得，，从而，，
根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称，
所以直线轴．所以②正确．
如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，
则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，
则．所以③不正确．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若AF＝4，则下列结论中正确的是( )
A. p＝2 B. F为AD的中点
C. BD＝2BF D. BF＝2
【答案】A
【解析】如图，过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点C，E，作AM⊥x轴于点M.因为直线l的斜率为，所以tan∠AFM＝，则∠AFM＝.因为AF＝4，所以MF＝2，AM＝2，所以点A，代入抛物线方程，得p＝2，故A正确；由上，得NF＝FM＝2，易得△AMF≌△DNF，所以AF＝DF，所以F为AD的中点，故B正确；因为∠BDE＝，所以BD＝2BE＝2BF，故C正确；因为BD＝2BF，BD＋BF＝DF＝AF＝4，所以BF＝，故D错误．故选：ABC.
7．抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则下列选项错误的是（ ）
A. 以线段为直径圆与直线相离 B. 以线段为直径的圆与轴相切
C. 的最小值为6 D.当时，
【答案】AD
【解析】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：
对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.
对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得，
，所，. 故选:AD.
8．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论不正确的是（ ）
A．点P的轨迹曲线是一条线段
B．点P的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点
C．不是“最远距离直线”
D．是“最远距离直线”
【答案】BCD
【解析】由题意可得，点P到点M的距离比到直线l的距离小1，
即等价于“点P到点M的距离等于到直线：的距离”
故P点轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，
其方程是，故A错误
点P的轨迹方程是抛物线，它与直线没交点，
即两者是没有交会的轨迹，故B正确
要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线有交点，
把代入抛物线，
消去y并整理得
因为，无解，
所以不是“最远距离直线”，故C正确；
把代入抛物线，
消去y并整理得，
因为，有解，
所以是“最远距离直线”，故D正确．故选：BCD．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知抛物线焦点为F，是C上一点，，则=________.
【答案】1
【解析】由抛物线可得，
准线方程，
，是上一点，，．
，
解得．故答案为：1
10．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为________.
【答案】1
【解析】
如图所示，设此抛物线的焦点为，准线．
过点作，垂足为．
则，到轴的距离，
则点到点的距离与到轴的距离之和为
设，因此当、、三点共线时，取得最小值．
．
即的最小值为，
所以则点到点的距离与到轴的距离之和为. 故答案为：1
11．抛物线：的焦点坐标是________；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则________.
【答案】 (1). (2). 9
【解析】抛物线：的焦点．
过作准线交准线于，过作准线交准线于，过作准线交准线 于，
则由抛物线的定义可得．
再根据为线段的中点，
，
∴，
故答案为：焦点坐标是，．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．(1) 求顶点在原点，以x轴为对称轴，且通径的长为8的抛物线方程，并写出它的焦点坐标和准线方程；
(2) 已知抛物线关于y轴对称，顶点在坐标原点，且过点M(，－2)，求其标准方程．
【答案】（1）y2＝－8x，焦点坐标为(－2，0)，准线方程为x＝2；（2）x2＝－y
【解析】(1) 当焦点在x轴正半轴上时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由题意，得2p＝8，所以y2＝8x，焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2；当焦点在x轴负半轴上时，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，由题意，得2p＝8，所以y2＝－8x，焦点坐标为(－2，0)，准线方程为x＝2.
(2) 由题意可设该抛物线的方程为x2＝－2py，p>0.将点M(，－2)代入方程，得3＝4p，解得p＝，所以抛物线的标准方程为x2＝－y.
13．已知抛物线上的点到焦点F的距离为.
（1）求的值；
（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线方程.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由抛物线焦半径公式知：，解得：，
，，解得：.
（2）设，，则，两式作差得：，
，为的中点，，，
直线的方程为：，即.
14．已知直线与抛物线交于两点，
（1）若，求的值；
（2）以为边作矩形，若矩形的外接圆圆心为，求矩形的面积.
【答案】（1）-8；（2）30.
【解析】（1） 与联立得
由得，设，则
∵，∴∴， ∴ ∴ ，满足题意.
（2）设弦的中点为,则，，设圆心
∵ ∴ ∴，则，∴，∴
∴ ∴
∴面积为.
