第三章 圆锥曲线
3.3.2抛物线的几何性质(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】即，所以其焦点在y轴正半轴，坐标为，故选:D.
2．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点若，则线段的中点到轴的距离为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由抛物线方程，得其准线方程为，设，，
由抛物线的性质得，，中点的横坐标为，
线段的中点到轴的距离为．故选:B．
3．已知抛物线C：的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，若，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点做抛物线准线的垂线，垂足为，
，
在中，，
. 故选:B.
4．若点是抛物线上一点，且点到焦点的距离是它到轴距离的3倍，则的中点到轴距离等于（ ）
A．1 B．
C．2 D．3
【答案】B
【解析】抛物线的准线方程为，，
由抛物线的定义，得点到焦点的距离等于点到准线的距离，
则，解得．
所以的中点的横坐标为，所以的中点到轴距离等于．故选:B．
5．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列选项错误的是（ ）
A. 的准线方程为 B. 线段长度的最小值为4
C. D.
【答案】A
【解析】焦点F到准线的距离为p=2，所以抛物线C的焦点为(1，0)，
准线方程为x=－1，则选项A错误；
当PQ垂直于x轴时长度最小，此时P(1，2)，Q(1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B正确；
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x=my+1，联立x=my+1，y2＝2px ，
消去y可得x2－(4m2+2)x+1=0，消去x可得y2－4my－4=0，
所以x1+x2=4m2+2，y1+y2=4m，
，
当时成立， 则选项C正确；
又x1x2=1，y1y2=－4，所以＝x1x2+y1y2=－3，则选项D正确；故选：A
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若AF＝4，则下列结论中正确的是( )
A. 焦点坐标为(2，0) B. 准线方程为x＝－1
C. 线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为3 D. 点A的坐标为(3，±2)
【答案】BCD
【解析】由题意易知F(1，0)，准线方程为x＝－1，点F到准线的距离为2，点A到准线的距离为AF＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为＝3，所以点A的坐标为(3，±2)．故选：BCD.
7．抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点P(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点 Q(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是( )
A．x1x2＝1 B．kPQ＝－
C．PQ＝ D．l1与l2之间的距离为4
【答案】ABC
【解析】由抛物线的光学性质可知直线PQ过焦点F(1,0)，所以x1x2＝＝1，故A正确．由题意可得点P的坐标为，点Q的坐标为(4，－4)，所以kPQ＝＝－，故B正确．由抛物线的定义可知PQ＝x1＋x2＋p＝＋4＋2＝，故C正确．因为l1与l2平行，所以l1与l2之间的距离d＝|y1－y2|＝5，故D错误 故选：ABC
8．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 为等腰直角三角形
C. 直线AB的斜率为 D. 的面积为4
【答案】AC
【解析】过点向准线作垂线，垂足为，，设，
如下图所示：
A．因为，所以，
又因为，所以，所以平分，
同理可知平分，所以，故结论正确；
B．假设为等腰直角三角形，所以，
所以四点共圆且圆的半径为，
又因为，所以，
所以，所以，所以，显然不成立，故结论错误；
C．设直线的方程为，所以，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，所以直线的斜率为，故结论正确；
D．取，由上可知，所以，
所以，故结论错误 故选：AC.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，线段的中点在直线上，为坐标原点，则的面积为________________
【答案】
【解析】由抛物线，得，
设，，
由题知：，
即
由题意知：，
所以，
故直线.
联立得：.
所以，.
故.
所以.
则的面积为. 故答案为：
10．若点P是以F为焦点的抛物线y2＝4x上的一个动点B （3，2），则|PB|+|PF|的最小值为_________
【答案】 4
【解析】抛物线的准线方程为，过点做，垂直为，
，
当且仅当，三点共线时，等号成立.故答案为：4
11．已知抛物线：的焦点为，准线为．过点作倾斜角为的直线与准线相交于点，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为__________．
【答案】
【解析】由题得直线的方程为，从而；
由消去，得，
解得或（舍去），从而；
由得，，
解得，所以抛物线的标准方程为．
故答案为: 。
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A，B在其准线上．若△ABF是面积为4的等腰直角三角形，求该抛物线的方程．
【答案】y2＝4x或y2＝4x
【解析】当∠AFB＝90°时，因为S△ABF＝AB·p＝p2＝4，所以p＝2，
从而y2＝4x.当∠FAB＝90°或∠FBA＝90°时，因为S△ABF＝·AB·BF＝p2＝4，所以p＝2，从而y2＝4x.
综上，抛物线的方程为y2＝4x或y2＝4x
13．已知直线与抛物线：交于，两点，且的面积为16（为坐标原点）.
（1）求的方程；
（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，证明：为定值.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）将代入，得，
所以的面积为.
因为，所以，
故的方程为.
（2）证明：由题意设直线的方程为，
由，得.
设，，则，
所以.
因为线段的中点的横坐标为，纵坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
令，得，所以的横坐标为，
所以， 故为定值.
14．已知是抛物线：的焦点，点在上，到轴的距离比小1.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于另一点，为的中点，点在轴上，.若，求直线的斜率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设的准线为，过作于，则由抛物线定义，得，
因为到的距离比到轴的距离大1，所以，解得，所以的方程为
（2）由题意，设直线方程为，
由消去，得，
设，，则，所以，
又因为为的中点，点的坐标为，直线的方程为，
令，得，点的坐标为，所以，
解得，所以直线的斜率为.第三章 圆锥曲线
3.3.2抛物线的几何性质(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点若，则线段的中点到轴的距离为( )
A． B．
C． D．
3．已知抛物线C：的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，若，则＝（ ）
A． B． C． D．
4．若点是抛物线上一点，且点到焦点的距离是它到轴距离的3倍，则的中点到轴距离等于（ ）
A．1 B．
C．2 D．3
5．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列选项错误的是（ ）
A. 的准线方程为 B. 线段长度的最小值为4
C. D.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若AF＝4，则下列结论中正确的是( )
A. 焦点坐标为(2，0) B. 准线方程为x＝－1
C. 线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为3 D. 点A的坐标为(3，±2)
7．抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点P(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点 Q(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是( )
A．x1x2＝1 B．kPQ＝－
C．PQ＝ D．l1与l2之间的距离为4
8．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 为等腰直角三角形
C. 直线AB的斜率为 D. 的面积为4
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，线段的中点在直线上，为坐标原点，则的面积为________________
10．若点P是以F为焦点的抛物线y2＝4x上的一个动点B （3，2），则|PB|+|PF|的最小值为_________
11．已知抛物线：的焦点为，准线为．过点作倾斜角为的直线与准线相交于点，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为__________．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A，B在其准线上．若△ABF是面积为4的等腰直角三角形，求该抛物线的方程．
13．已知直线与抛物线：交于，两点，且的面积为16（为坐标原点）.
（1）求的方程；
（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，证明：为定值.
14．已知是抛物线：的焦点，点在上，到轴的距离比小1.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于另一点，为的中点，点在轴上，.若，求直线的斜率.
