北师大版八年级下册数学 1.2直角三角形全等的判定（HL定理）教学设计（表格式）

教学设计
授课教师 课题 直角三角形全等的判定（HL定理）
知识点来源 □学科：数学 □年级： 八年级下 □教材版本：北师大 □所属章节：第一章第二节第二课时
设计思路 本节课是在学生已经历了一般三角形全等的判定、勾股定理及其逆定理的验证等相关知识的基础上，对直角三角形全等的判定作进一步深入和拓展，这些都为“HL定理”的合情推理奠定了基础；另一方面，“HL定理”是一般三角形全等判定的延伸，但学生知识迁移能力处于弱势，数学思想方法的灵活运用也有待提高，因此本节课着眼于基础，注重能力的培养，从趣味情境中引出数学问题，然后引导学生借助于直角三角形有关性质、全等三角形的有关知识进行探索和证明，渗透转化的思想，规范定理应用的书写格式以及引导学生关注该定理的使用条件，进一步感受证明的必要性，为了使学生较好地运用“斜边、直角边”解决有关问题，设计了3道题目分解本节课难点，第一道直接利用HL定理证明全等后证得线段相等，较为基础；第二道是第一道的变式，需先将已知边相等转化成先证直角三角形中的边对应相等，再使用HL定理证全等，属于间接使用HL定理；第三道是实际应用问题，需先将题目条件转化成数学问题中的数量关系，再通过HL定理证出全等后转化角，得到两个角之间的关系，3道题目，层层突破，既进一步强化学生对公理的认识，又能激发学生的学习兴趣，提高学生学习的主动性，培养学生灵活运用知识的能力，并加强了数学与实际生活的联系，本节微课最后从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个维度去对本节课进行系统的回顾，帮助学生积累属于自己的数学活动经验。
教学设计
内 容
教学目的 ★知识与技能 ①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性； ②熟练利用“斜边、直角边”定理判定两个直角三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。 ★过程与方法 ①经历探索、证明HL定理的过程，发展合情推理和演绎推理的能力； ②“HL”定理是综合运用了勾股定理等相关旧知化为一般三角形全等的判定而获得，而定理在实际生活中的应用又是数学建模的过程。因此，本节的灵魂是化归思想、类比思想、模型思想、特殊与一般思想的具体化身。 ★情感态度价值观 ①让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。 ②通过定理的证明，范例的分析过程的教学，培养观察分析问题、把实际问题抽象概括成数学问题、并加以论证解决的能力。 ③通过“HL”定理的推导渗透转化的思想，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。
教学重点 难点 教学重点：理解并掌握三角形全等的判定方法 —“斜边、直角边”定理。 教学难点：经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”解决有关问题。
教学过程
教学 环节 教 学 内 容 教师 活动 学生 活动 依据或意图
（一） 创设 情境 引入 新知 引入：很多同学喜欢玩游戏，在游戏里面，很多英雄都有自己的专属装备，直角三角形作为特殊的三角形，要判定其全等，也有自己的专属方法，这也就是我们今天要研究的直角三角形全等的判定——HL定理. 下面请同学们看一个问题情境： 【情境引入】 学校文艺汇演的舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量 问题：如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？ 引导学生将实际问题抽象成数学问题 对问题学生回答出现误区或者难以回答时，教师可以引导学生对工作人员提出的办法及结论进行思考，并验证它们的方法，从而展开对直角三角形特殊的判定全等方法的探索. 学生预设回答：没有量角器，只有卷尺，那么他只能量出斜边长度和不被遮住的直角边边长，可是它们又不是“两边夹一角的关系”，所以没法判定它们全等. 而工作人员的做法引出了直角三角形另一种判定全等方法，与学生认知发生冲突，看似是SSA，但却可以判定全等，激发了学生证明数学问题的兴趣. 类比日常生活学生感兴趣的游戏经验，引入本课，激发学生探究兴趣，给学生留下深刻印象. 从学生熟悉的校园舞台背景中给出关于直角三角形全等的问题情境，让学生感受到数学就在身边，激发学生学习兴趣。 这里因为工具的限制为HL定理的引入作了很好铺垫，通过问题驱动的方式为后面验证的过程埋下伏笔。
（二） 验证 猜想 收获 新知 【定理证明】 命题：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 将这个问题转化成数学语言即为： 已知：在△ABC和△A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°, AB=A′B′，AC=A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明： 在△ABC中， ∵∠C=90°， ∴（勾股定理）. 同理， ∵AB=A′B′，AC=A′C′， ∴BC=B′C′. ∴Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′（SSS）. 【归纳定理】： 定理的三种语言 文字语言: 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.（简写为“斜边、直角边”或“HL”） 。 符号语言: 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中 ∵ AB=A′B′ AC=A′C′ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL） 图形语言： 回归情境，问题解决： 你是否明白了工作人员做法中蕴含的道理？ 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？ 师：对于猜想的结论要进行严谨的证明才能说明它是真命题，在进行证明定理时，提示学生首先要画出图形，写出“已知”“求证”，再进行证明. 对于证法，先独立思考，再小组交流，说出证明思路。（结合课堂评价绩效表进行评价） 教师小结证明方法，并提问为什么想到要去证另一条边相等？ 和学生一起总结“HL”定理及其注意点，强调“HL定理”使用前提，必须是在直角三角形中，除了“满足斜边和直角边对应相等，还有隐含条件“Rt△”，因此同样需要三个条件，规范学生的数学语言表达. 引导学生回到引入时的情境，并借助情境进行定理的简单应用。 学生独立思考 完成证明，小组合作交流 生：因为题目中的情况属于两边及其中一边对角相等，不能直接用来判定三角形全等，通过转化的方法，证出另一条边相等后，利用基本事实SSS或SAS就可以用于判定全等 生：归纳整理，用文字语言和数学语言、图形语言表示定理. 顿悟、齐答。 让学生从小组活动中得到一些启示：通过与他人交流，交换对问题的思考，利于寻找解题思路。 通过“HL”定理的推导渗透转化的思想，体验从特殊到一般的思维方式，发展合情推理与演绎推理的能力，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，培养学生严谨的治学态度和创造性的解决问题的能力。 学生通过前面的探究过程，到定理的归纳，加深了对定理的认识和正确使用，进一步感受证明的必要性 回归引入时的情境，让学生明白数学来源于实际，并反过来作用于实际。培养学生的逻辑思维能力和实践能力，并逐步向学生渗透实践—认识—再实践—再认识的辩证唯物主义观点。
（三） 例题 精讲 收获 新知 例1.如图,已知：AD=BC，∠C=∠D=90°， 求证：BD=AC. 变式训练：如图,已知AD=BC，AE=BF，∠C=∠D=90°, 求证:△ADF≌△BCE. 师： 倾听学生对理由的阐述，捕捉其思维的亮点，同时引导学生用“HL”判定三角形全等时对条件的确定。 2、巡视指导，积极评价，提高学生学习热情。 生： 用自己的语言清楚地表达自己的想法，并能将解题过程规范地书写出来。 学生代表上台展示其思路，并板演例题的证明过程。 3、完成后相互评价、补充。 第一道证明线段相等，可转化为用HL定理证明直角三角形全等来解决，只需挖掘到隐含条件有公共斜边即可证，较为基础，目的主要是为了加强学生对定理的熟悉以及巩固定理使用的书写格式，第二道在例1基础上做了变式，不同之处是需先将边相等的条件利用等式基本性质转化成直角三角形中的边对应相等，再应用HL完成证明，培养学生灵活运用知识的能力。
（四） 实际 应用 巩固 深化 例2：如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 教师巡视指导，为了让学生体会数学结论在实际中的应用，教学中引导学生能用数学的语言清楚地表达自己的想法，并能按要求将推理证明过程写出来。 1、独立完成本题 2、通过“兵教兵”方式进行互评 运用数学结论解决实际问题，培养学生的应用意识，体会数学模型思想。
（五）小结 归纳 检测 反馈 小结： 判定两个直角三角形全等的条件有哪些？ HL定理的使用需要几个条件？在哪里使用？ 在课堂上，我们探究HL定理经历了怎样的过程？通过这个过程，你有什么感受和体会？ 引导学生对本节课的知识和思想方法进行系统地总结。 积极思考、 畅所欲言。 通过师生共同反思，优化学生的认知结构，自主回顾表达知识建构过程，培养学生的归纳能力。
课堂检测（仅作为课后续补充） 1.如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是　 　． 2．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件　 　． 如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝　 　． 4.已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE. 教师巡视、批改先完成的同学。 组内批改完后老师收上来检查. 优先完成的学生由老师批改，再由小组里正确解答的同学批改组内其他同学，进行组内交流辅导. 既实现了自主完成的课堂学习检验，又达到了以优秀带动后进的目的，实现了师生协作的合作学习效果。 第1、2题均为让学生去增加条件判定全等，不同之处是，第1题没有限定判定方法，开放式答案，目的是让学生总结出判定直角三角形全等的方法，第2题限定了今日学的HL定理，设计意图是让学生提炼HL定理需要哪些条件，巩固本节课的知识，第3,4题考察学生对HL定理的证明及应用、训练学生对HL定理的灵活运用及几何语言书写。
八 教学反思 本节课教学中，我以问题研究为明线，将合情推理和演绎推理相融合，以数学思想方法的渗透为暗线，分散难点、突破难点。 通过让学生在回顾一般三角形全等的判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，在探索定理的过程中，我引导学生动手实验操作，通过作图、剪纸、叠合、思考，合作探究等方式（因时长限时，尺规作图这块没有进行，课堂教学可进行），参与定理的验证过程，化解本节课的难点，巩固训练设计变式，这样既进一步强化学生对公理的认识，又能激发学生的学习兴趣，提高学生学习的主动性，培养学生的能力，设计了一个利用HL定理解决的实际问题，使学生体会数学结论在实际中的应用，问题解决中注重培养学生学会抽象出几何图形，建立模型，研究具体问题，起到了较好的作用，学生也体会到数学与现实的联系，以及学习处理此类问题的方法， 纵观整个教学，如果有较充足的时间，还会补充设计出让学生通过动手尺规作图——实验操作等方式去探索“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等的”这个结论，这样得到猜想后再去给予证明，有利于学生更加直观去理解HL定理，也给予学生充分实践和探索的空间.
九 板书设计
附录 课堂评价表 内容 学生 姓名独立思考专心听讲大胆质疑点评题目小 组 评 价ABCABCABCABC1、2、3、4、5、6、
说明：根据学生课堂的参与度与过程性学习情况进行多元化的评价，其中 赋分情况如下：A—3分，B—2分，C—1分， 小组评价标准：5分以下—不合格，5～6分—合格，7～8分—良好，9分以上—优秀