利用导数研究函数的单调性（第三课时） --构造函数专题（含解析）

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利用导数研究函数的单调性（第三课时）
————构造函数专题
1．对于R上可导的任意函数，对任意实数都有，则有（ ）
A．； B．；
C．； D．；
2．若函数的导函数为，对任意恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
3．定义在上的可导函数，当时，恒成立，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数满足：，，且.若角满足不等式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．定义在上的函数的导函数为，满足：，，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．定义在上的函数满足，，则不等式(为自然对数的底数)的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．已知0＜α，，且，则（ ）
A．α＜β2 B．α＞β2 C．α＞2β D．α＜2β
9．在上的导函数为，，则下列不等式成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．已知奇函数在R上的导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的导函数为，满足，且，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知定义域为的函数的图象经过点，且对，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
13.已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，若，，，则a，b，c的大小关系正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
14．已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f'（x），当x≠0时，f'（x）0，若a，则a，b，c的大小关系正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
利用导数研究函数的单调性（第三课时）
————构造函数专题
1．对于R上可导的任意函数，对任意实数都有，则有（ ）
A．； B．；
C．； D．；
解：令，求导
又对任意实数，都有，故，即函数在R上单调递增，
由，得，即
由，得，即故选：A
2．若函数的导函数为，对任意恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
解：因为任意恒成立，
即任意恒成立，又时，，
所以，所以在上单调递减，
因为，所以，即，
所以，故选：C.
3．定义在上的可导函数，当时，恒成立，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
解：构造函数，当时，
，即函数单调递增，
，所以，即，故选：B．
4．已知函数满足：，，且.若角满足不等式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：令因为，所以为R上的单调减函数，
又因为，所以，
即，即，所以函数为奇函数，
故，即为，
化简得，即，即，
由单调性有，解得，故选:B.
5．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
解：设，，则恒成立，∴函数在上单调递增，又，，，∵，，∴，故选：D.
6．定义在上的函数的导函数为，满足：，，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
解：令，则，即是上奇函数，而时，，，在上递增，于是在上递增，又，，
所以，不等式的解集为，A正确.
7．定义在上的函数满足，，则不等式(为自然对数的底数)的解集为（ ）
A． B． C． D．
解：设，因为，所以，所以是上的增函数，
不等式可化为，即，所以．故选：A．
8．已知0＜α，，且，则（ ）
A．α＜β2 B．α＞β2 C．α＞2β D．α＜2β
解：设，，则即f(x)在（0，）上单调递增，所以f(x)＞f（0）＝0，故x＞sinx，因为，
所以，所以g（α）＜g（2β），
令g(x)＝3x+x，显然g(x)单调递增，所以α＜2β．故选：D．
9．在上的导函数为，，则下列不等式成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
解：令，则，因为在上的导函数为，所以在上，即在上为增函数.所以，即.故选：A.
10．已知奇函数在R上的导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
解：因，即，令，则，在上递减，又是R上的奇函数，则也是R上的奇函数，从而有在R上单调递减，显然，则有
由在R上单调递减得，所以所求不等式的解集为.故选：C
11．已知函数的导函数为，满足，且，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
解：，令
而，则c=0，即，，
0，，即，则b12．已知定义域为的函数的图象经过点，且对，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
解： 设函数，则，
所以函数在区间 上是单调递增函数，
而，，
故不等式可化为，即，
所以.故选：B
13.已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，若，，，则a，b，c的大小关系正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
解：构造函数g（x），∴g′（x），∵xf′（x）﹣f（x）＜0，
∴g′（x）＜0，∴函数g（x）在（0，+∞）单调递减．∵函数f（x）为奇函数，∴g（x）是偶函数，∴cg（﹣3）＝g（3），∵ag（e），bg（ln2），∴g（3）＜g（e）＜g（ln2），∴c＜a＜b，故选：D．
14．已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f'（x），当x≠0时，f'（x）0，若a，则a，b，c的大小关系正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
解：根据题意，设g（x）＝xf（x），
若y＝f（x）为奇函数，则g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝xf（x）＝g（x），则函数g（x）为偶函数，当x＞0时，g′（x）＝（x）′f（x）+xf′（x）＝f（x）+xf（x）＝x[f′（x）]，
又由当x≠0时，f'（x）0，则g′（x）＜0，则函数g（x）在（0，+∞）上为减函数，af（）＝g（），b＝﹣2f（﹣2）＝g（﹣2）＝g（2），c＝（ln） f（ln）＝g（ln）＝g（ln3），且ln3＜2，则有b＜c＜a；故选：B．
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