5.4 三角函数的图象与性质

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三角函数图像与性质
知识点1 正弦函数的图像与性质
研究的图像（五点法作图）→
1、利用五个关键点作图
2、利用诱导公式，函数于的图像完全一致，因此将的图像不断的进行向左，向右平移个单位，可以得到的图像。
正弦函数性质
定义域： （2）值域： 最大值为1，最小值为
（3）奇偶性：奇函数
（4）单调区间：在单调递增
在单调递减
对称轴：
对称中心： （7）最小正周期
知识点2 余弦函数的额图像与性质
，利用诱导公式，由向左平移个图像得到
余弦函数的五个关键点
余弦函数的性质
（1）定义域： （2）值域： 最大值为1，最小值为
（3）奇偶性：偶函数
（4）单调区间：在单调递增
在单调递减
（5）对称轴： （6）对称中心：
（7）最小正周期
知识点3 正切函数的图像和性质
正切函数性质
周期性： 利用诱导公式
奇偶性：奇函
定义域 （4）值域：，无最值
单调区间： （6）对称中心： （7）无对称轴2、正切函数图像
例1。（1）已知函数．
（1）求的最小正周期，对称轴和对称中心；
（2）求的单调递增区间和单调递减区间．
（3）当，求值域．
【答案】（1）最小正周期为，对称轴为；（2）单调递增区间为，单调递减区间为；（3）.
【详解】（1）∴，
令，则，
故最小正周期为，对称轴为.
（2）∵，
∴，∵，
∴，∴的单调递增区间为，
的单调递减区间为.
（3）∵，∴，
∴，∴的值域为.
（2）．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．g（x）的图象关于直线对称 B．g（x）的图象关于点对称
C．g（x）在区间上单调递增 D．g（x）在区间上有两个零点
【答案】AC【详解】
A选项，，取到最大值，A选项说法正确；
B选项，的图象为向上平移1个单位，
故对称中心的纵坐标为1，B选项说法错误；C选项，当时，，
又在上单调递增，所以单调递增，C选项说法正确；
D选项，令，得，
即，故在区间上没有零点，D选项说法错误．
故选：AC．
举一反三：
【变式1】函数的定义域为　　
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C【解析】由，得，．
【变式2】函数的最小正周期为　　
A． B． C． D．
【答案】C【解析】：函数的最小正周期为
【变式3】函数的单调递增区间是　　
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B【解析】：由 即，，
故函数的单调性增区间为，，
【变式4】设函数，则下列结论错误的是　　
A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为 D．在，单调递减
【答案】D【解析】．函数的周期为，当时，周期，故正确，
．当时，为最小值，此时的图象关于直线对称，故正确; 当时，，则的一个零点为，故正确 ．当时，，此时函数不是单调函数，故错误，
例题2．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】
由解析式知：定义域为，关于原点对称，
且，所以为奇函数，排除B、D，
当时，，，可得，可排除C；
举一反三：
【变式1】．函数的部分图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】
定义域为，关于原点对称，
，所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D；当时，令可得或，所以时，两个相邻的零点为和，
当时，，，，
【变式2】．函数的部分图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A【详解】
，为偶函数，排除BD，
又，排除C．
例题3．已知函数的部分图象如图所示，若在上有2个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】【详解】由图可得，解得，
，所以，即，∴，
由五点作图法可得：，即，∴，
令，得或，
解得或，∴函数的零点为，，，
因为在上有2个零点，∴实数的取值范围是，
举一反三：
【变式1】．若函数（）图象的一条对称轴是，则的最小值为__________．
【解析】由题意得 ，因为 ,所以的最小值为
【变式2】．已知函数图象的一个对称中心为，则________.
【答案】或
【详解】由正切函数的性质可知，即，
因为，所以或.
【变式3】．若函数在区间上的最大值为，则实数的值为______．
【答案】
【详解】因，且，则，
又的最大值为，，于是可得，
从而得在单调递增，，即，则，得，
所以实数的值为.
【变式4】．已知（其中），且在闭区间上是严格减函数，则实数的值是______．
【答案】【详解】由，，
得，，
因函数在闭区间上是严格减函数，
所以，又因，所以.
例题4．（2021 郑州期末）已知曲线，，则下面结论正确的是　　
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的是，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
解：，
把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数图象，
再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，即曲线，
举一反三：
【变式1】．（2021 苏州期末）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点　　
A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍
B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍
C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
【解答】解：把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，可得的图象；
再将横坐标变为原来的倍，可得的图象．
或把函数图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到的图象；
再向左平移个单位长度，可得的图象．
【变式2】．（2021 山东期末）将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是　　
A．点，是函数图象的对称中心 B．函数在上单调递减
C．函数的图象与函数的图象相同
D．若，是函数的零点，则是的整数倍
【解答】解：将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
可得的图象；再向左平移个单位，得到 的图象．
令，求得，故排除．
在上，，，故 单调递减．故正确．
，
显然，的周期为，故正确．
若，是函数的零点，则，
则是或的整数倍，故不正确，故选：．
【变式3】．（2021春 南通期末）将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则　　．
【解答】解：将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，可得的图象；
再把图象向右平移个单位长度得到的图象．
再根据所得图象为，，求得，且，
，
则．
例题5．已知函数（，）图象的一条对称轴方程为，且相邻的两个零点间的距离为.
（1）求的解析式；
（2）求方程在区间内的所有实数根之和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）相邻的两个零点间的距离，
的最小正周期，
.
又函数图象的一条对称轴方程为，
，即，
而，.
故.
（2）因为的最小正周期为，所以在内恰有个周期.
令，解得，即函数的对称轴为，
因为，作出与的大致图象如图.
由图可知两个图象在内有个交点，横坐标依次为，，，，
且与关于对称，与关于对称，
所以，，故所有实数根之和为
举一反三：
【变式1】．已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为．
（1）求函数的解析式和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值．
【答案】（1），；（2）最小值，最大值.
【详解】（1）由已知的图象的对称中心到对称轴的最小距离为，则，，
，解得：.
所以函数的解析式是.
函数的增区间：令，
解得：，
所以函数的增区间为
（2）由（1）知，函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.
因为，，，
故函数在区间上的最大值为，最小值为.
【变式2】．已知函数，．
（）求函数的单调区间；
（）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；
（2）.
【详解】（1）令，解得，
令，解得，
故函数在上单调递增，在上单调递减.
（2），
令，则，，
故或，
解得或，
因为在上有两个零点，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
【变式3】．已知函数图象的两条对称轴的最小距离为.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）；（2）单调递增区间为，单调递减区间为.
【详解】（1）因为函数图象的两条对称轴间的最小距离为，，
所以，函数的最小正周期为，于是，解得；
（2）由（1）知，
由，，得，.
由，，得，.
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
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