7.5.1 三角形内角和定理的证明 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
北师版八年级上册 平行线的证明
§7.5.1 三角形内角和定理的证明
1．掌握三角形内角和定理的证明及其简单应用.
（1）会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°(重点)；
（2）会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）；
2.初步掌握利用辅助线证明，体会思维实验和符号化的作用.
3.通过一题多解，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展.
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关.
思考：你都有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢
折叠
可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？
情境导入
锐角三角形
测量
480
720
600
600＋480＋720＝1800
（学生运用学科工具—量角器测量演示）
剪拼
A
B
C
2
1
（小组合作，讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程）
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
还有其他的拼接方法吗？
三角形的内角和定理的证明
探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
新知探究
三角形三个内角的和等于180°.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
合作共学
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
合作共学
C
B
A
E
D
F
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想：同学们还有其他的方法吗？
合作共学
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
合作共学
C
2
4
A
B
3
E
Q
D
F
P
G
H
1
B
G
C
2
4
A
3
E
D
F
H
1
试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？
合作共学
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
归纳总结
如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，
求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
典例精讲
1.已知∶如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.
求证∶∠A=∠DCB.
跟踪练习
解：∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
∵CD⊥AB
∴∠CDB=90°
∴∠DCB+∠B=90°
∴∠A=∠DCB（等量代换）
2.已知∶如图，AB//CD，点E在AC上. 求证∶∠A=∠CED+∠D.
跟踪练习
证明：∵AB//CD
∴∠A+∠C=180°
∵∠C+∠CED+∠D=180°
∴∠A+∠C=∠C+∠CED+∠D
∴∠A=∠CED+∠D（等量代换）
3.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A=65°，求∠F的度数.
跟踪练习
解：∵∠A=65°，∴∠ACB+∠ABC=115°
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB
∴∠A+∠C=180°
∴∠FBC+∠FCB= ×115°=57.5°
∴∠F=122.5°
在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，
∠C为(x ＋ 15)°， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
典例精讲
在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．
解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数．
比例关系可考虑用方程思想求角度.
合作共学
解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，
设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.
∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝ ×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是
_________三角形 .
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= .
③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= .
102°
直角
60°
50°
70°
跟踪练习
求三角形内角的度数的方法
1、若已知两个角的度数，求第三个角的度数，直接利用三角形内角和定理求解；
2、若已知一个角的度数及另两个角之间的等量关系； 或不知任何一个角的度数，只知道三个角之间的关系，一般根据“三角形内角和为180°”这个隐含的等量关系列方程（或方程组）求解.
归纳总结
如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°.求∠DAE的度数．
分析：∠DAE在△AED中，而∠DAE＝∠BAD－∠BAE， 要求∠DAE的度数，
需先求出∠BAD和∠BAE的度数．
典例精讲
解： 在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°.
又因为AE是∠BAC的平分线，
所以∠BAE＝ ∠BAC=50°.
在△ABD中，∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°.
又因为AD是高，
所以∠BAD＝180°－20°－90°＝70°.
所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝70°－50°＝20°.
如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
挑战自我
1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于180 °
2、通过探索过程，理解要证明三角形三个内角的和等于180 °需转化为：平角或两直线平行同旁内角和等于180°。
3、通过本节课内容的探索和交流，使学生深刻体会“平移变换”在解题中
的重要作用。