2021-2022学年人教版九年级数学下册28.2解直角三角形及其应用 同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》同步练习题（附答案）
1．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
2．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（　　）
A． B． C． D．
3．如图所示，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D为AB上一点，且AD：DB＝1：3，DE⊥AC于点E，连接BE，则tan∠CBE的值等于（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tanB的值为　 　．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，tanB＝，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝　 　．
7．安徽滁州琅琊山会峰阁更名为琅琊阁，如图①是悬挂着巨大匾额的琅琊阁，如图②，线段BC是悬挂在墙壁AM上的匾额的截面示意图．已知BC＝2米，∠MBC＝34°，从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B，仰角∠AEB＝56°，且DE＝4.4米，求匾额悬挂的高度AB的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）
8．如图是某款手机支架摆放手机时的侧面示意图，现测得支撑板AC＝10cm，CE＝7cm，∠ACE＝65°，∠CAB＝60°，求手机底端E到底座AB的距离，（精确到0.1，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）
9．一辆汽车在A处测得东北方向（北偏东45°）有一古建筑C，汽车向正东方向以每小时40公里的速度行驶1小时到达B处时，又观测到古建筑C在北偏东16°方向上，求此时汽车与古建筑相距多少公里？（sin45°＝0.71，sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）
10．如图，一艘船由A港沿北偏东70°方向航行60海里到达B港，然后再沿北偏西35°方向航行至C港，C港在A港北偏东25°方向，求A、C两港之间的距离为多少海里（结果保留根号）．
11．如图，某数学兴趣小组要测量某购物广场大楼上安装的显示屏的高度，在点A处测得大楼上显示屏的顶端C点的仰角∠BAC为45°，底端D点的仰角∠BAD为30°，沿水平地面向前走20米到达E处，测得顶端C的仰角∠BEC为71.6°，点C，D，B在同一条竖直线上，求显示屏的高度CD约为多少米？（结果精确到1米）
（参考数据：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.36，tan71.6°≈3.00，≈1.41，≈1.73）
12．中国古代人在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣．”如图1所示．其工作原理主要利用光的反射原理，在图2中，A、B、C共线，OB⊥AC于点B，入射角∠COD＝30°，∠OAE＝15°（入射角等于反射角），AC＝12米，求OB的高度．（参考数据：）
13．如图，旗杆AB竖立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为i＝．小明从与点C相距115米的点D处向上爬12米到达建筑物DE的顶端点E．在此测得旗杆顶端点A的仰角为39°，求旗杆的高度AB．（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）
14．为测量一古塔的高度，数学建模小组同学先在该古塔附近一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是16m，试求该古塔的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
15．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）．
16．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E，F两点的俯角分别为∠ACE＝60°，∠BCF＝45°，这时点F相对于点E升高了3cm．求该摆绳CD的长度．（≈1.7，≈1.4）
17．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
18．如表是小安填写的数学实践活动报告的部分内容．
题目 测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据 CD＝20m，α＝45°，β＝52°
求铁塔的高度FE．（结果精确到1米）
【参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28】
19．如图1是一款可调节儿童书桌椅，图2是它的示意图，座位DE宽度为40cm，其竖直高度CD为30cm，O为桌面板AB的中点，某儿童坐在座位上眼睛F距离水平地面的高度为100cm．研究表明：当桌面板与竖直方向夹角∠AOC＝80°，视线FO与桌面板所成锐角∠FOA＝30°时最舒适，问此时OD高度应调节为多少？（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，结果精确到1cm）
20．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．
（1）求tan∠DCE的值；
（2）求的值．
21．为积极宣传国家相关政策，某村在一山坡的顶端的平地上竖立一块宣传牌AB．小明为测得宣传牌的高度，他站在山脚C处测得宣传牌的顶端A的仰角为40°，已知山坡CD的坡度i＝1：2，山坡CD的长度为4米，山坡顶端D与宣传牌底端B的水平距离为2米，求宣传牌的高度AB（精确到1米）
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈2.24）
22．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．
（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；
（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cosA的值；
（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．
23．《奔跑吧》节目组，设计了一款新游戏：“奔跑”路线需经A、B、C、D四地．如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C地在A地北偏东75°方向，且BD＝BC＝30m．求从A地跑到D地的路程．
24．“低碳环保，你我同行”．近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝30cm，DF＝20cm，AF＝25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，且∠EAB＝75°．
（1）求AD的长；
（2）求点E到AB的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
25．如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC与未折断树杆AB形成60°的夹角．树杆AB旁有一座与地面垂直的铁塔DE，测得BE＝6米，塔高DE＝9米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB落在地面的影子FB长为4米，且点F、B、C、E在同一条直线上，点F、A、D也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．
26．如图，三条平行的高速公路l1、l2、l3分别经过A、B、C三个城市，AB、AC分别为两条连接城市的普通公路，AB、AC分别与l1成30°、45°角，已知AB＝200千米，AC＝400千米，求两条高速公路l2、l3之间的距离（结果保留根号）．
27．某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上探测点A、B相距4m，探测线与地面的夹角分别是30°和60°，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
参考答案
1．解：取格点E，连接AE、BE，如图：
设网格中的小正方形的边长为1，
则BE＝，
AE＝，
AB＝．
∵BE2+AE2＝2+8＝10，
AB2＝10，
∴BE2+AE2＝AB2．
∴∠AEB＝90°．
由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°．
∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，
∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45+∠PBD，
∴∠APD＝∠ABE．
在Rt△ABE中，cos∠ABE＝．
∴cos∠APD＝．
故选：C．
2．解：如图，作OH⊥AB于H．
由题意：AB＝8，OA﹣OH＝3，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝4，
∵AH2+OH2＝OA2，
∴42＝（OA+OH）（OA﹣OH），
∴OA+OH＝，
∴OA＝，OH＝，
∴cos∠OAB＝＝＝，
故选：B．
3．解：如图，作DE∥AC交AB于E．
在Rt△ABD中，∵tanB＝＝
∴可以假设AD＝5k，AB＝3k，
∴BD＝k，CD＝k，
∵DE∥AC，
∴∠DAC＝∠ADE，＝＝，
∴BE＝2k，
∴AE＝k，
∴tan∠CAD＝tan∠ADE＝＝＝，
故选：D．
4．解：设AB＝4a，
∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D为AB上一点，且AD：DB＝1：3，
∴BC＝2a，AC＝2a，AD：AB＝1：4，
∵∠C＝90°，DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠C，
∴DE∥BC，
∴△AED∽△ACB，
∴，
∴，
∴AE＝，
∴EC＝AC﹣AE＝，
∴tan∠CBE＝，
故选：C．
5．解：如图，取格点E，连接AE，EC，则B，A，E共线，∠E＝90°．
∵EC＝＝，BE＝＝2，
∴tanB＝＝．
故答案为：．
6．解：在Rt△ABC中，AC＝2，tanB＝，
∴BC＝＝，
如图，过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，
∴DE＝DF，
由三角形的面积公式得，
AC DF+BC DE＝AC BC，
即：2DE+DE＝2×，
解得，DE＝，
7．解：过点C作CN⊥AB，CF⊥AD，垂足为N、F，如图所示：
在Rt△BCN中，
CN＝BC sin∠MBC＝2×0.56＝1.12（米），
BN＝BC×cos34°＝2×0.83＝1.66（米），
在Rt△ABE中，
AE＝AB tan∠EBA＝AB×tan34°＝0.67AB，
∵∠ADC＝45°，
∴CF＝DF，
∴BN+AB＝AD﹣AF＝AD﹣CN，
即：1.66+AB＝0.67AB+4.4﹣1.12，
解得，AB≈4.9（米）．
答：匾额悬挂的高度AB的长约为4.9米．
8．解：过点C作CF⊥AB于点F，过点E作EG⊥CF于G，过点E作EH⊥AB于H，则，
在Rt△ACF中，∠A＝60°，AC＝10cm，∠ACF＝30°，
∵sin，
∴CF＝AC sin60°＝10×＝5≈8.65cm，
在Rt△CGE中，∠GCE＝65°﹣30°＝35°，CE＝7cm，
∵cos，
∴CG＝7×cos∠GCE＝7×cos35°＝7×0.82＝5.74cm，
∴EH＝GF＝CF﹣CG＝8.65﹣5.74＝2.9（cm），
答：手机底端E到底座AB的距离大约为2.9cm．
9．解：过B作BD⊥AC，垂足为D，过B作BE⊥AB，交AC于E．
Rt△ABD中，∠DAB＝45°，AB＝40×1＝40（公里），
∴BD＝ABsin45°＝40×＝20（公里），
Rt△CBD中，∠CBD＝∠CBE+∠EBD＝45°+16°＝61°，
∴BC＝≈＝（公里），
答：此时汽车与古建筑相距公里．
10．解：作BD⊥AC于点D，如右图所示，
由已知可得，
∠1＝25°，∠2＝70°，∠3＝35°，AB＝60海里，
∵m∥n，
∴∠2＝∠4＝70°，
∴∠CBA＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣35°﹣70°＝75°，
∵∠1＝25°，∠2＝70°，
∴∠CAB＝45°，
∵BD⊥AC，AB＝60海里，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∴AD＝BD＝60海里，∠CBD＝30°，
∴CD＝BD tan∠CBD＝60×＝20（海里），
∴AC＝AD+CD＝（60+20）（海里），
答：A、C两港之间的距离为（60+20）海里．
11．解：由已知可得，
∠BAC＝45°，∠BAD＝30°，∠CEB＝71.6°，AE＝20米，
∵BE＝，AB＝，AE＝AB﹣BE，
∴20≈﹣，
解得BC＝30米，
∴AB＝30米，
∴BD＝AB tan30°＝30×，
∴CD＝BC﹣BD＝30﹣30×≈13（米），
即显示屏的高度CD约为13米．
12．解：∵∠COD＝30°，（入射角等于反射角），
∴∠AOD＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵AE⊥AB，OB⊥AB，∠OAE＝15°，
∴AE∥BO，∠OBA＝∠OBC＝90°，
∴∠OAE＝∠AOB＝15°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝45°，
∴∠C＝∠BOC，
∴OB＝BC，
作AF⊥OC交OC于点F，
∵AC＝12，∠C＝45°，
∴AF＝6，
∵∠AFO＝90°，∠AOF＝60°，
∴AO＝＝＝4，
设BC＝x，则AB＝12﹣x，OB＝x，
∵∠OBA＝90°，
∴AB2+OB2＝OA2，
∴（12﹣x）2+x2＝（4）2，
解得x1＝6+2，x2＝6﹣2，
∵OB＞AB，
∴6﹣2不合题意，
∴OB＝6+2≈6+2×1.7＝9.4（米），
即OB的高度是9.4米．
13．解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥BF，垂足为G，
在Rt△BCF中，
由斜坡BC的坡度i＝，
得，＝,
∵BC＝65米，
设BF＝12x（米），FC＝5x（米），
由勾股定理得，（12x）2+（5x）2＝652，
∴x＝5，
∴BF＝60米，FC＝25米，
∵DC＝115米，
∴DF＝DC﹣FC＝115﹣25＝90（米）＝EG，
在Rt△AEG中，AG＝EG tan39°≈90×0.81＝72.9（米），
∴AB＝AG+FG﹣BF＝72.9+12﹣60＝24.9（米），
答：旗杆的高度AB为24.9米．
14．解：∵顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°，
∴∠ADB＝30°，
在Rt△ABD中，AB＝16m，tan30°＝＝，
∴AD＝AB＝16（m），
∵在一楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，
∴CD＝AD tan65°≈16×2.14≈59.2（m）．
答：该古塔的高度约为59.2米．
15．解：过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，
∴BE＝16+x，
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°＝＝≈0.40，
解得：x≈10.7（m），
∴AD≈10.7+1.6＝12.3（m），
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m．
16．解：分别过点E、F作EG⊥CD，FH⊥CD，垂足分别为G、H，
设摆绳CD的长度为xcm．则CE＝CF＝xcm．
由题意知：HG＝3，∠CEG＝60°，∠CFH＝45°．
在Rt△CEG中，sin∠CEG＝，
∴CG＝CE sin∠CEG＝x sin60°，
在Rt△CFH中，sin∠CFH＝，
∴CH＝CF sin∠CFH＝x sin45°．
∵HG＝CG﹣CH，
∴x sin60°﹣x sin45°＝3，
解得x＝6（+）≈18.6．
答：摆绳CD的长度为18.6cm．
17．解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴＝，
设AH＝5km，则PH＝12km，
由勾股定理，得AP＝13km．
∴13k＝26． 解得k＝2．
∴AH＝10（m）．
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．
（2）延长BC交PQ于点D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ．
∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH．
∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD．
设BC＝x，则x+10＝24+DH．∴AC＝DH＝x﹣14．
在Rt△ABC中，tan76°＝，即≈4.0，
解得x＝，即x≈19，
答：古塔BC的高度约为19米．
18．解：∵在Rt△DFH中，α＝45°，
∴DH＝FH，
∵四边形DCEH是矩形，
∴DH＝CE，
∴FH＝CE，
设FE＝x米，则CE＝（x﹣20）米，
在Rt△EFC中，tanβ＝，
即x＝（x﹣20）tan52°，
解得：x≈91，
答：铁塔FE的高度约为91米．
19．解：如图2，作OH⊥FG，垂足为H，延长FE交水平线CG于点G，
则OH＝40，∠FOH＝20°．
在直角△FHO中，tan∠FOH＝，即，tan20°＝．
∴FH＝tan20°×40≈0.36×40＝14.4（cm）．
∴OD＝100﹣14.4﹣30≈56（cm）．
答：此时OD的高度应调节为56cm．
20．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝＝，
∴CD＝5，
由勾股定理得：AD＝＝12，
∵E是AD的中点，
∴ED＝AD＝6，
∴tan∠DCE＝＝；
（2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示：
∵BC＝8，CD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝3，
∵DG∥CF，
∴＝＝，＝＝1，
∴AF＝FG，
设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x
∴＝．
21．解：延长AB 交CE于点E，过点D作DF⊥CE于点F，则四边形BDFE是矩形，
∴BD＝EF，BE＝DF．
在直角△CDF中，∵山坡CD的坡度i＝1：2，
∴设DF＝x米，则CF＝2x米．
由勾股定理，得x2+（2x）2＝（4）2．
解得x＝4．则DF＝4米，CF＝8米．
∴CE＝CF+EF＝8+2＝10米．
在直角△ACE中，∵tan40°＝，
∴AE≈10×0.84＝8.4（米）．
∴AB＝AE﹣BE＝8.4﹣4≈4（米）．
答：宣传牌的高度AB约为4米．
22．解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，
∴CP＝4，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，
∴BP＝2，
∵D是边AB的中点，P为AC的中点，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE＝BP＝；
（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，
∴，
∵BD＝DA，
∴FD＝DC，BF＝AC，
∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，
∴EF＝8，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
设CP＝k，则PA＝3k，
∵PD⊥AB，D是边AB的中点，
∴PA＝PB＝3k
∴BC＝2k，
∴AB＝2k，
∵AC＝4k，
∴cosA＝；
（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴CD＝BD＝AB，
∵PB2＝2CD2，
∴BP2＝2CD CD＝BD AB，
∵∠PBD＝∠ABP，
∴△PBD∽△ABP，
∴∠BPD＝∠A，
∵∠A＝∠DCA，
∴∠DPE＝∠DCP，
∵∠PDE＝∠CDP，
∴△DPE∽△DCP，
∴PD2＝DE DC，
∵DE＝3，DC＝5，
∴PD＝．
23．解：如图，过点D作DH垂直于AC，垂足为H，
由题意可知：
∠DAC＝75°﹣30°＝45°，∠DCA＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵BC＝CD，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠DBC＝60°，BD＝BC＝CD＝30（m），
∴DH＝×30＝15（m），
∴AD＝DH＝15（m）．
答：从A地到D地的距离是15m．
24．解：（1）在Rt△ADF中，由勾股定理得，
AD＝＝＝15（cm；
（2）AE＝AD+CD+EC＝15+30+15＝60（cm），
如图②，过点E作EH⊥AB于H，
在Rt△AEH中，sin∠EAH＝，
则EH＝AE sin∠EAH＝AB sin75°≈60×0.97＝58.2（cm）．
答：点E到AB的距离为58.2 cm．
25．解：根据题意得：AB⊥EF，DE⊥EF，
∴∠ABC＝90°，AB∥DE，
∴△ABF∽△DEF，
∴，即，
解得：AB＝3.6，
∵cos∠BAC＝，
∴AC＝＝7.2米，
∴AB+AC＝3.6+7.2＝10.8米．
答：这棵大树没有折断前的高度为10.8米．
26．解：过A作AD⊥l2于D，延长AD交l3于E，
在RT△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝200，
∴AD＝100，
在RT△ACE中，∠ACE＝45°，AC＝400，
∵sin∠ACE＝，
∴AE＝AC sin45°＝200，
∴DE＝AE﹣DE＝200﹣100，
答：两条高速公路l2、l3之间的距离为（200﹣100）千米．
27．解：由对顶角相等易得∠DAC＝30°．
∴∠BCA＝30°，
∴BC＝AB＝4．
作CD⊥AB于点D．
∴CD＝BC×sin60°＝2≈3.5（m）．