2021-2022学年苏科版九年级数学下册5.2二次函数图像与性质练习（Word版含答案）

九下5.2二次函数图像与性质练习
一、选择题
1.下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝x﹣1 B．y＝
C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y＝﹣2x2＋1
2.已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（　　）
A．y＝2x2+4x﹣1 B．y＝x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x+1 D．y＝2x2+4x+1
3.关于二次函数y=2x2+3，下列说法中正确的是（　　）
A．它的开口方向是向下； B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；
C．它的对称轴是x=2； D．当x=0时，y有最大值是3．
4.抛物线共有的性质是（ ）
A．开口向上 B．都有最高点 C．对称轴是轴 D．随的增大而减小
5.在同一坐标系中，作y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2的图象，他们共同的特点是（ ）
A．都关于y轴对称，抛物线开口向上 B．都关于y轴对称，抛物线开口向下
C．都关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 D．都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
6.在平面直角坐标系中，设二次函数，已知点 P(p，m)和 Q(1， n)在二次函数的图象上，若 m＜n，则 p 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
填空题
7.抛物线的开口________，对称轴是_________，顶点坐标是__________．
8.已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是________．
9.如果抛物线y＝ax2＋bx＋c在对称轴左侧呈上升趋势，那么a的取值范围是_____．
10.已知点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）都在二次函数的图象上，那么与的大小关系是_____．
11.若对于任意非零实数，抛物线总不经过点，则所有符合条件的点的坐标为______．
12.二次函数，当时，y的最大值与最小值的差为5，则a的值为______．
解答题
13.如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求，的值；
（2）求点的坐标；
（3）求．
14.已知一个二次函数图象的顶点是，且与轴的交点的纵坐标为4．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当取哪些值时，的值随值的增大而增大？
（3）点在这个二次函数的图象上吗？
15.如图，某小区在墙体OM上的点A处安装一抛物线型遮阳棚，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立直角坐标系，已知遮阳棚的高度y（m）与地面水平距离x（m）之间的关系式可以用yx2+bx+c表示，且抛物线经过B(2，)，C(5，)．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求遮阳棚跨度ON的长；
（3）现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢架GEF对遮阳棚进行加固（点F，G分别在x轴，y轴上，且轴，轴），现有库存10米的钢材是否够用？
参考答案
一、选择题
1.下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝x﹣1 B．y＝
C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y＝﹣2x2＋1
【答案】D
【分析】
整理成一般形式，根据二次函数定义即可解答．
【详解】
解：A、该函数中自变量x的次数是1，属于一次函数，故本选项错误；
B、该函数是反比例函数，故本选项错误；
C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x＋1，属于一次函数，故本选项错误；
D、该函数符合二次函数定义，故本选项正确．
故选：D．
2.已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（　　）
A．y＝2x2+4x﹣1 B．y＝x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x+1 D．y＝2x2+4x+1
【答案】A
【分析】
将2组x、y值代入函数，得到关于a、c的二元一次方程，求解可得函数表达式.
【详解】
解：根据题意得，解得，
所以抛物线解析式为y＝2x2+4x﹣1．
故选A．
3.关于二次函数y=2x2+3，下列说法中正确的是（　　）
A．它的开口方向是向下； B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；
C．它的对称轴是x=2； D．当x=0时，y有最大值是3．
【答案】B
【解析】解：A、∵二次函数y=2x2+3中，x=2＞0，∴此抛物线开口向上，而不是向下，故本选项错误；B、∵抛物线的对称轴x==0，∴当x＜﹣1时函数图象在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故本选项正确；C、抛物线的对称轴为x=0，而不是x=2，故本选项错误；D、∵抛物线开口向上，∴此函数有最小值，当x=0时，y有最小值是3而不是最大值，故本选项错误．故选B．
4.抛物线共有的性质是（ ）
A．开口向上 B．都有最高点 C．对称轴是轴 D．随的增大而减小
【答案】C
【解析】解：在中，可知其开口向下，对称轴为y轴，有最高点，x＜0时，随的增大而增大，x＞0时，随的增大而减小；
在中，可知其开口向下，对称轴为y轴，有最高点，x＜0时，随的增大而增大，x＞0时，随的增大而减小；
在中，可知其开口向上，对称轴为y轴，有最低点，x＜0时，随的增大而减小，x＞0时，随的增大而增大；
∴三抛物线共有的性质是对称轴为y轴，故选：C．
5.在同一坐标系中，作y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2的图象，他们共同的特点是（ ）
A．都关于y轴对称，抛物线开口向上 B．都关于y轴对称，抛物线开口向下
C．都关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 D．都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
【答案】D
【解析】解：由题意得：三个二次函数的解析式形式为 ，它们的顶点为原点，对称轴为y轴，故选项D正确，其它均错误．故选：D．
6.在平面直角坐标系中，设二次函数，已知点 P(p，m)和 Q(1， n)在二次函数的图象上，若 m＜n，则 p 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式可知函数的对称轴为：，则点在二次函数对称轴的右侧，再求出点的对称点的横坐标，根据m＜n，结合图像即可确定p 的取值范围．
【详解】
设二次函数与轴的交点分别为，
则为二次函数与坐标轴的交点坐标
∴函数的对称轴为：
设关于对称的点为
在二次函数的图象上， m＜n
．
故选C．
填空题
7.抛物线的开口________，对称轴是_________，顶点坐标是__________．
【答案】向下 y轴 （0，0）
【解析】二次函数解析式，
开口朝下，对称轴为（或y轴），顶点坐标为
故答案为：向下，y轴，
8.已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是________．
【答案】
【解析】解：的对称轴为，，开口向上
又∵
∴当时，最小为，时，最大为∴，故答案为：
9.如果抛物线y＝ax2＋bx＋c在对称轴左侧呈上升趋势，那么a的取值范围是_____．
【答案】a＜0
【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，即可求解．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c在对称轴左侧呈上升趋势，
∴抛物线开口向下，
∴a＜0，
故答案为a＜0.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键
10.已知点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）都在二次函数的图象上，那么与的大小关系是_____．
【答案】．
【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】∵二次函数的开口向下，对称轴为y轴，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
11.若对于任意非零实数，抛物线总不经过点，则所有符合条件的点的坐标为______．
【答案】（ 7，0）或（ 2， 15）
【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2＋ax 2a总不经过点P（x0 3，x02 16），即可求得点P的坐标，从而可以解答本题．
【详解】解：∵对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2＋ax 2a总不经过点P（x0 3，x02 16），
∴x02 16≠a（x0 3）2＋a（x0 3） 2a
∴（x0 4）（x0＋4）≠a（x0 1）（x0 4）
∴（x0＋4）≠a（x0 1）
∴x0＝ 4或x0＝1，
∴点P的坐标为（ 7，0）或（ 2， 15）
故答案为：（ 7，0）或（ 2， 15）．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12.二次函数，当时，y的最大值与最小值的差为5，则a的值为______．
【答案】
【解析】解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴是直线x＝-=1，
∴当a＞0时，当x≤1时，y随x的增大而减少，当x≥1时，y随x的增大而增大
∴当时，当x=1时，y最小值=2-a
当x=-1时，y最大值=3a+2
∴3a+2-（2-a）=5解得a=
当a＜0时，当x≤1时，y随x的增大而增大，当x≥1时，y随x的增大而减少
∴当时，当x=1时，y最大值=2-a
当x=-1时，y最小值=3a+2
∴2-a -（3a+2）=5解得a=-故答案为：．
解答题
13.如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求，的值；
（2）求点的坐标；
（3）求．
【答案】（1），；（2）；（3）3
【解析】（1）二次函数与一次函数的图象相交于，
则，解得，，解得
二次函数解析式为：，一次函数解析式为：
（2）由题意可知，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点
联立解得
（3）设直线与轴的交点为,如图，
由，令，解得
，
14.已知一个二次函数图象的顶点是，且与轴的交点的纵坐标为4．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当取哪些值时，的值随值的增大而增大？
（3）点在这个二次函数的图象上吗？
【答案】（1）；（2）当时，y的值随值的增大而增大；（3）点P（3，5）不在这个二次函数的图象上
【分析】(1)设顶点式，然后把(0，4)代入求出a即可得到这个二次函数解析式；
(2)根据二次函数的性质求解；
(3)通过计算自变量为3对应的函数值可判断点P(3，5)是否在这个二次函数的图象上．
【详解】(1)设抛物线解析式为，
把(0，4)代入得，
解得：，
所以这个二次函数解析式为；
(2)抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，
所以当时，y的值随值的增大而增大；
(3)当时，，
所以点P(3，5)不在这个二次函数的图象上．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及用待定系数法求二次函数的解析式：当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．
15.如图，某小区在墙体OM上的点A处安装一抛物线型遮阳棚，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立直角坐标系，已知遮阳棚的高度y（m）与地面水平距离x（m）之间的关系式可以用yx2+bx+c表示，且抛物线经过B(2，)，C(5，)．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求遮阳棚跨度ON的长；
（3）现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢架GEF对遮阳棚进行加固（点F，G分别在x轴，y轴上，且轴，轴），现有库存10米的钢材是否够用？
【答案】（1）yx2；（2）8；（3）现有库存10米的钢材够用
【分析】
（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式计算即可；
（2）令y＝0，即可得解；
（3）设出点E，表示出GE+EF，再根据二次函数的最大值判断即可；
【详解】解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为：yx2；
（2）yx2，
令y＝0，解得：x＝﹣2（舍去）或8，
故ON＝8；
（3）设点E（x，x2），
由题意得：GE+EF＝xx2（x）2，
∵0，
∴GE+EF的最大值为，
∵10，
故现有库存10米的钢材够用．
【得解】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数解析式求解和二次函数的最大值求解，准确计算是解题的关键．