2021-2022学年高二上学期数学沪教版（2020）必修第三册12.4.2 事件的独立性“四基”测试题

四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验 【建议用时：40分钟】
【学生版】
《 第12 章 概率初步》【12.4.2 事件的独立性】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、掷一枚骰子一次，设事件A：“掷出偶数点”，事件B：“掷出3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　)
A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥
【提示】
【答案】
【解析】
【考点】
2、若，，，则事件与的关系是（ ）
A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．无法判断
【提示】
【答案】
【解析】
【考点】
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、已知甲运动员的投篮命中率为，乙运动员的投篮命中率为；
（1）若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为 ；
（2）若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为 ；
【提示】
【答案】
【解析】
【考点】
4、某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，，，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为
【提示】
【答案】
【解析】
【考点】
5、一件产品要经过两道独立的工序， 第一道工序的次品率为a, 第二道工序的次品率为b, 则该产品的正品率为________
【提示】
【答案】
【解析】
【考点】
6、某同学在参加一次考试时，有三道选择题不会，每道选择题他都随机选了一个答案，且每道题他猜对的概率均为；则（1）该同学三道题都猜对的概率为 ；（2）则该同学至少猜对一道题的概率为 .
【提示】
【答案】
【考点】
7、分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是 （(填序号）；
①A，B；②A，C；③B，C.
【提示】
【答案】
【解析】
【考点】
8、设、为两个随机事件，给出以下命题：
①若、为互斥事件，且，，则；
②若，，，则、为相互独立事件；
③若，，，则、为相互独立事件；
④若，，，则、为相互独立事件；
⑤若，，，则、为相互独立事件；
其中正确命题的序号为
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、甲、乙两人各掷一个骰子，观察朝上的面的点数，
记事件：甲得到的点数为2，：乙得到的点数为奇数；
（1）求，判断事件与是否相互独立；（2）求：
10、甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响；
（1）求3人同时被选中的概率；
（2）求3人中至少有1人被选中的概率；
【附录】相关考点
考点一 两个事件与（相互）独立 两个事件与（相互）独立是指：它们同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积，即：；
【教师版】
《 第12 章 概率初步》【12.4.2 事件的独立性】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、掷一枚骰子一次，设事件A：“掷出偶数点”，事件B：“掷出3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　)
A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥
【提示】注意：事件性质“事件A：“掷出偶数点””，“事件B：“掷出3点或6点””；
【答案】B；
【解析】由题意，得：事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件A∩B＝{6}，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝×，即P(A∩B)＝P(A)P(B)，因此事件A与B相互独立；
当“掷出6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件；
【考点】独立事件，互斥事件；
2、若，，，则事件与的关系是（ ）
A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．无法判断
【提示】注意：通过概率运算进行判别；结合利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可；
【答案】B；
【解析】因为，所以，又，所以事件与事件不对立，
又因为，所以有，所以事件与相互独立但不一定互斥；故选：B；
【考点】独立事件，互斥事件和对立事件；
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、已知甲运动员的投篮命中率为，乙运动员的投篮命中率为；
（1）若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为 ；
（2）若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为 ；
【提示】注意：独立事件；
【答案】（1）；（2）；
【解析】“甲运动员的投篮命中”记作：事件，则；
“乙运动员的投篮命中”记作：事件，则；
（1）“甲、乙各投篮一次，则都命中的概率” 为：；
（2）“甲投篮两次，则恰好投中一次的概率”为：
；
【考点】两个事件相互独立；对立事件；
4、某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，，，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为
【提示】利用相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解；
【答案】；
【解析】由题意，该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为；
【考点】两个事件相互独立；
5、一件产品要经过两道独立的工序， 第一道工序的次品率为a, 第二道工序的次品率为b, 则该产品的正品率为________
【提示】注意审题“两道独立”；
【答案】(1－a)(1－b)；
【解析】由题意可知，该产品为正品是第一道工序和第二道工序都为正品，
故该产品为正品的概率为(1－a)(1－b)；
【考点】两个事件相互独立；对立事件；
6、某同学在参加一次考试时，有三道选择题不会，每道选择题他都随机选了一个答案，且每道题他猜对的概率均为；则（1）该同学三道题都猜对的概率为 ；（2）则该同学至少猜对一道题的概率为 .
【提示】答“三道选择题”，相互间是独立事件
【答案】（1）；（2）；
【考点】两个事件相互独立及其推广；多个事件相互独立的概念是比较抽象的，主要利用独立性去求解相关的概率；问题（2）既可以利用对立事件求解，也可以分成猜对一道题、猜对两道题、猜对三道题三种情况求解，培养学生从正难则反思想和分类讨论能力.
7、分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是 （(填序号）；
①A，B；②A，C；③B，C.
【提示】结合概念或概率运算进行检验；
【答案】①②③
【解析】根据事件相互独立性的定义判断，只要P(A∩B)＝P(A)P(B)，P(A∩C)＝P(A)P(C)，P(B∩C)＝P(B)P(C)成立即可；
利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，
P(A∩B)＝0.25，P(A∩C)＝0.25，P(B∩C)＝0.25；
可以验证P(A∩B)＝P(A)P(B)，P(A∩C)＝P(A)P(C)，P(B∩C)＝P(B)P(C)．
所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立；
【考点】两个事件相互独立；
8、设、为两个随机事件，给出以下命题：
①若、为互斥事件，且，，则；
②若，，，则、为相互独立事件；
③若，，，则、为相互独立事件；
④若，，，则、为相互独立事件；
⑤若，，，则、为相互独立事件；
其中正确命题的序号为
【提示】结合概念或概率运算进行检验；
【答案】①，②，③，⑤
【解析】解：在①中，若、为互斥事件，且，，
则，故①正确；
在②中，若，，，
则由相互独立事件乘法公式知、为相互独立事件，故②正确；
在③中，若，，，
则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知、为相互独立事件，故③正确；
在④中，若，，，
当、为相互独立事件时，，故④错误；
⑤若，，，
则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知、为相互独立事件，故⑤正确；
【考点】两个事件相互独立；
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、甲、乙两人各掷一个骰子，观察朝上的面的点数，
记事件：甲得到的点数为2，：乙得到的点数为奇数；
（1）求，判断事件与是否相互独立；（2）求：
【解析】如果用表示甲得到的点数，乙得到的点数，
则样本空间可以记为：；
而且这个样本空间可用如图直观表示：
（1）不难看出，图中橙色框中的点代表事件，绿色框中的点代表事件
因此，可以算出
又因为，所以；
因为，所以与相互独立；
（2）由与相互独立可知，与也相互独立，因此：
；
【考点】两个事件相互独立；有两种方法判断两事件是否具有独立性：1、定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响；2、公式法：检验P(A∩B)＝P(A)P(B)是否成立；
10、甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响；
（1）求3人同时被选中的概率；
（2）求3人中至少有1人被选中的概率；
【解析】设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
（1）3人同时被选中的概率：P1＝P(A∩B∩C)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝；
（2）3人中有2人被选中的概率
P2＝P(A∩B∩＋A∩∩C＋∩B∩C)
＝××＋××＋××＝；
3人中只有1人被选中的概率
P3＝P(A∩∩＋∩B∩＋∩∩C)
＝××＋××＋××＝.
故3人中至少有1人被选中的概率为：P1＋P2＋P3＝＋＋＝；
【考点】两个事件相互独立；求相互独立事件同时发生的概率的步骤:1、首先确定各事件之间是相互独立的；2、确定这些事件可以同时发生；3、求出每个事件的概率，再求积。
【附录】相关考点
考点一 两个事件与（相互）独立 两个事件与（相互）独立是指：它们同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积，即：；
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普通高中教科书 数学 必修 第三册（上海教育出版社）